劉志剛 黃剛鵬 張 旭 劉清建

（1.天津理工大學(xué)天津市先進(jìn)機(jī)電系統(tǒng)設(shè)計(jì)與智能控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300384；2.天津理工大學(xué)機(jī)電工程國(guó)家級(jí)實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心，天津 300384）

在復(fù)雜的曲面加工過(guò)程中，通常會(huì)根據(jù)各種約束條件將曲線段離散為微小線段，然后按照直線段進(jìn)行速度規(guī)劃，但如果要求擬合精度高，離散后的小線段往往存在計(jì)算量增多、加速度頻繁變化等問(wèn)題，從而影響加工效率[1-2]。

數(shù)控系統(tǒng)中速度規(guī)劃的核心是加減速控制算法。國(guó)內(nèi)學(xué)者針對(duì)速度控制算法進(jìn)行了大量研究，但是這些算法并沒(méi)有從本質(zhì)上解決計(jì)算量大等問(wèn)題。曲線擬合算法可以根據(jù)實(shí)際需求選擇不同的曲線模型進(jìn)行擬合。張等[3]提出了一種基于二次B 樣條曲線的擬合及插補(bǔ)方法，該算法通過(guò)自適應(yīng)的方法選取特征點(diǎn)，然后通過(guò)曲線擬合加工路徑，避免了高次方程的求解。常見(jiàn)的曲線擬合算法在利用多項(xiàng)式進(jìn)行擬合的過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生大量方程，很難做到實(shí)時(shí)處理。

基于此，該文提出了一種基于T 型加減速的曲線擬合算法。該算法在一定程度上改善了上述缺陷，并且將擬合點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算為簡(jiǎn)單的二次方程，在保證加工精度的前提下，減少了計(jì)算量，可滿足高速、高精的加工需求。

1 T 型速度規(guī)劃參數(shù)求解

該節(jié)中介紹了傳統(tǒng)的T 型加減速算法，然后根據(jù)其核心公式的變形求解出擬合坐標(biāo)所需的速度規(guī)劃參數(shù)。

1.1 T 型加減速算法介紹

T 型加減速的基本原理是在指定的時(shí)間內(nèi)，先以最大加速度加速到達(dá)目標(biāo)速度，然后以最大減速度減速停止。該算法可以確保設(shè)備在規(guī)定時(shí)間內(nèi)平滑地從靜止?fàn)顟B(tài)加速到目標(biāo)速度，到達(dá)目標(biāo)位置時(shí)平滑地停止。在T 型加減速中，速度的突變往往來(lái)源于加工路徑的變化，加速度的突變體現(xiàn)在加速度的從無(wú)到有[4-5]。T 型加減速曲線分為加速階段、勻速階段和減速階段，基本公式如公式（1）所示。

式中：vs（mm/s）是運(yùn)動(dòng)的初始速度；v（mm/s）是經(jīng)過(guò)一段加速或減速階段后的速度；a（mm/s2）是加速度；S（mm）是位移；t是任意時(shí)刻的運(yùn)行時(shí)間。

1.2 求解速度規(guī)劃參數(shù)

先對(duì)要加工的線段的距離進(jìn)行求解，根據(jù)幾何學(xué)中平面內(nèi)任意2 個(gè)點(diǎn)間距離公式（2），可計(jì)算AB段和BC段的長(zhǎng)度，如公式（2）所示。

式中：lAB為AB段的長(zhǎng)度；lBC為BC段的長(zhǎng)度；A（xA，yA）為首點(diǎn)坐標(biāo)；C（xC，yC）為尾點(diǎn)坐標(biāo)；B（xB，yB）為待擬合曲線在點(diǎn)A處的切線矢量和在點(diǎn)C處的切線矢量的交點(diǎn)坐標(biāo)。其中，x、y為空間直角坐標(biāo)系的2 個(gè)坐標(biāo)軸，（xA，yA）為第一個(gè)分段點(diǎn)的坐標(biāo)，（xC，yC）為第二個(gè)分段點(diǎn)的坐標(biāo)。

AB段、BC段運(yùn)動(dòng)圖示如圖1、圖2 所示。

圖1 AB 段運(yùn)動(dòng)圖示

圖2 BC 段運(yùn)動(dòng)圖示

圖1 中，在直線段AB上，從點(diǎn)A開(kāi)始進(jìn)行減速，直到點(diǎn)B時(shí)速度減為0，且A點(diǎn)的速度不能為0；圖2 中，在直線段BC上，從點(diǎn)B開(kāi)始進(jìn)行加速，直到點(diǎn)C時(shí)速度最大，同樣這里C點(diǎn)的速度也不能為0。在運(yùn)行時(shí)間t時(shí)刻內(nèi)，直線段AB與直線段BC上的運(yùn)動(dòng)是同時(shí)開(kāi)始、同時(shí)結(jié)束的，即當(dāng)在直線段AB上運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，在直線段BC上運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C（在T 型加減速中，加速階段和減速度階段的加速度大小相同，方向相反，即AB段的加速度aAB、BC段的加速度aBC大小相同，方向相反）。

根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律公式（3）、公式（4），可以求得A點(diǎn)的速度、B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的速度，然后根據(jù)加速度的求解公式對(duì)AB段、BC段的加速度進(jìn)行求解。這樣就得到了T 型加減速的基礎(chǔ)參數(shù)。

式中：SAB為t時(shí)刻運(yùn)行的距離；lAB為AB段的長(zhǎng)度，設(shè)定運(yùn)行的距離為整段AB 段的長(zhǎng)度；vA為A點(diǎn)的速度；aAB為直aAB線段AB的加速度。

式中：SBC為t時(shí)刻運(yùn)行的距離；lBC為BC段的長(zhǎng)度，設(shè)定運(yùn)行的距離為整段BC段的長(zhǎng)度；vC為C點(diǎn)的速度；aBC為直線段BC的加速度。

2 擬合點(diǎn)坐標(biāo)求解

在上一節(jié)已經(jīng)計(jì)算出SAB、vA、aAB、SBC、vC、aBC等參數(shù)，該節(jié)討論擬合點(diǎn)坐標(biāo)的求解。

2.1 求解速度矢量

根據(jù)平面內(nèi)矢量的減法原則，可以計(jì)算直線段AB的矢量方向，如公式（5）所示。

式中：vf_AB為直線段AB的矢量方向；xA、yA分別為A點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)值；xB、yB分別為B點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)值；SAB為t時(shí)刻運(yùn)行的距離；vf_AB_x為vf_AB在x軸方向的分量；vf_AB_y為vf_AB在y軸方向的分量。

矢量同時(shí)具有大小和方向，即矢量=矢量大小×矢量方向。根據(jù)公式（5）已經(jīng)得到直線段AB的矢量方向，再根據(jù)公式（1）可求得t時(shí)刻的速度大小，即vt_AB=vA-aAB×t，最后根據(jù)已求出的直線段AB的矢量方向和速度大小，可以求解速度矢量，具體如公式（6）所示。

式中：為直線段AB上t時(shí)刻的速度矢量；vt_AB為直線段AB上t時(shí)刻的速度大小；vf_AB_x為已求出的直線段AB的矢量方向在x軸方向的分量；vf_AB_y為已求出的直線段AB的矢量方向在y軸方向的分量。

同理可求得直線段BC的速度矢量方向及大小，此時(shí)BC段t時(shí)刻的速度大小計(jì)算公式為vt_BC=vB+aBC×t。直線段BC的矢量方向求解公式如公式（7）所示，速度矢量求解公式如公式（8）所示。

式中：vf_Bc為直線段BC的矢量方向；xB、yB分別為B點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)值；xc、yc分別為C點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)值；SBC為t時(shí)刻運(yùn)行的距離；vf_AB_x為vf_AB在x軸方向的分量；vf_AB_y為vf_AB在y軸方向的分量。

式中：為直線段BC上任意時(shí)刻t的速度矢量；vt_BC為直線段BC 上任意時(shí)刻t的速度；vf_BC_x為已求出的直線段BC的矢量方向在x軸方向的分量；vf_BC_y為已求出的直線段BC的矢量方向在y軸方向的分量。

速度矢量關(guān)系圖如圖3 所示。

圖3 速度矢量關(guān)系圖

如圖3 所示，四邊形DEBF是平行四邊形，根據(jù)幾何關(guān)系可推得在矢量三角形ABC中，切線矢量即為合成速度矢量。根據(jù)圖3 中的矢量三角形矢量的合成關(guān)系，可以推出速度矢量的求解公式，如公式（10）所示。

式中：是直線段AB上t時(shí)刻的速度矢量，是直線段BC 上t時(shí)刻的速度矢量；是合成速度矢量。

2.2 求解距離矢量St

首先利用公式（1）的變形對(duì)t時(shí)刻AB、BC這2 段距離矢量的大小進(jìn)行求解，再結(jié)合2.1 節(jié)中求解出的速度矢量方向?qū)嚯x矢量進(jìn)行求解，距離矢量的求解方式和速度矢量的求解方式相似，如公式（10）、公式（11）所示。

式中：為經(jīng)過(guò)t時(shí)刻在直線段AB上的距離矢量；vA為A點(diǎn)的速度；aAB為AB減速段的加速度；st_AB為AB直線段的距離矢量大??；vf_AB_x為已求出的直線段AB的矢量方向在x軸方向的分量；vf_AB_y為已求出的直線段AB的矢量方向在y軸方向的分量。

式中：為經(jīng)過(guò)任意時(shí)刻t在直線段BC上的距離矢量；aAB為BC加速段的加速度；st_BC為BC直線段的距離矢量大小；vf_BC_x為已求出的直線段BC的矢量方向在x軸方向的分量；vf_BC_y為已求出的直線段BC的矢量方向在y軸方向的分量。

2.3 求解擬合點(diǎn)坐標(biāo)

先求解合成的距離矢量。在2.2 節(jié)中已經(jīng)求出直線段AB上的距離矢量和直線段BC上的距離矢量，根據(jù)公式（12）對(duì)距離矢量進(jìn)行求解，Pt為擬合點(diǎn)，距離矢量即擬合點(diǎn)的坐標(biāo)，由此可得擬合點(diǎn)坐標(biāo)Pt=[xt，yt]。合成的距離矢量如公式（12）所示。

式中：是合成的距離矢量；是經(jīng)過(guò)t時(shí)刻在直線段AB上的距離矢量；是經(jīng)過(guò)t時(shí)刻在直線段BC上的距離矢量。

式中：xt為擬合點(diǎn)的橫坐標(biāo)；yt為擬合點(diǎn)的縱坐標(biāo)；vf_AB_x為vf_AB在x軸方向分量；vf_AB_y為vf_AB在y軸方向分量；vf_BC_x為已求出的直線段BC的矢量方向在x軸方向的分量；vf_BC_y為已求出的直線段BC的矢量方向在y軸方向的分量。

將公式（13）展開(kāi)可得公式（14）、公式（15）。

公式（14）、公式（15）中的各變量已經(jīng)在之前計(jì)算中進(jìn)行推導(dǎo)，均為已知變量。

根據(jù)公式（14）、公式（15）可知，該算法并沒(méi)有出現(xiàn)高次方程，只是簡(jiǎn)單的二次方程計(jì)算，和其他曲線擬合方法相比，該算法更易于在數(shù)控系統(tǒng)上實(shí)現(xiàn)，能夠減少數(shù)控系統(tǒng)的處理量并減輕計(jì)算負(fù)擔(dān)。該算法也可以在加減速過(guò)程中實(shí)現(xiàn)更靈活和平滑的速度控制，提高數(shù)控系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)精度和平穩(wěn)性，只需要通過(guò)調(diào)整擬合參數(shù)就可以提高加工的精度。

2.4 誤差分析

設(shè)點(diǎn)A與點(diǎn)C的中點(diǎn)為點(diǎn)M，M點(diǎn)坐標(biāo)為設(shè)首點(diǎn)與尾點(diǎn)之間的擬合曲線上時(shí)刻t/2 對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)點(diǎn)為P2，將P2與中點(diǎn)M的距離作為擬合誤差ε進(jìn)行誤差相關(guān)計(jì)算，計(jì)算過(guò)程不再展開(kāi)，具體誤差在第3 節(jié)仿真分析的結(jié)果中有所體現(xiàn)。

3 仿真分析

在數(shù)控系統(tǒng)中，通過(guò)輸入待擬合曲線的參數(shù)，并根據(jù)設(shè)定的離散段數(shù)量N對(duì)待擬合曲線進(jìn)行分段，可以得到各分段點(diǎn)的坐標(biāo)及各分段點(diǎn)處的切線矢量，并在該基礎(chǔ)上進(jìn)行相關(guān)速度規(guī)劃。為驗(yàn)證算法的正確性，對(duì)數(shù)控加工中常見(jiàn)的二次曲線橢圓弧和圓弧進(jìn)行相關(guān)驗(yàn)證。

設(shè)定圓弧方程為x2+y2=r2，設(shè)初始3 個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為A2（0，0）、B2（1，1）、C2（0，1），運(yùn)行時(shí)間t=10s。

采用MATLAB 軟件進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果如圖4、圖5 所示。

圖4 橢圓擬合曲線圖

圖5 橢圓擬合誤差圖

圖4 和圖5 是采用T 型加減速曲線擬合算法處理的橢圓弧擬合曲線圖和圓弧擬合曲線圖。由圖4、圖5 可知，生成的擬合曲線滿足平滑度要求，并且接近加工路徑，滿足G1 連續(xù)的要求，比離散成小線段的路徑更光滑，加工質(zhì)量也更高，該算法后續(xù)也可以與實(shí)際的速度規(guī)劃和插補(bǔ)結(jié)合，簡(jiǎn)化后續(xù)計(jì)算強(qiáng)度。

圖6 和圖7 是采用T 型加減速曲線擬合算法處理的誤差圖。由圖5 可知，在橢圓擬合中，原始橢圓的弧長(zhǎng)約為51.4mm，該算法很好地將擬合誤差值控制在了0.4mm，誤差百分比約為0.07%。由圖6 可知，在圓弧擬合中，原始圓弧的弧長(zhǎng)約為1.57mm，該算法很好地將擬合誤差值控制在了0.06mm 內(nèi)，誤差百分比約為0.38%。并且2 種曲線的加工誤差最大的地方基本也在T 型曲線的中點(diǎn)位置與被擬合曲線中點(diǎn)的距離，滿足加工要求的同時(shí)降低了誤差。

圖6 圓弧擬合曲線圖

圖7 圓弧擬合誤差圖

4 結(jié)語(yǔ)

該文針對(duì)傳統(tǒng)的、基于多項(xiàng)式等的曲線擬合算法存在的計(jì)算冗長(zhǎng)、復(fù)雜等問(wèn)題，提出了一種基于T 型加減速的曲線擬合算法。該算法通過(guò)T 型加減速控制得到的相關(guān)參數(shù)對(duì)擬合點(diǎn)進(jìn)行精準(zhǔn)計(jì)算。該算法將擬合點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算為簡(jiǎn)單的二次方程，滿足了G1 連續(xù)的特性。通過(guò)試驗(yàn)驗(yàn)證，該算法能夠在滿足約束條件的情況下，較好地控制誤差且整體運(yùn)行簡(jiǎn)單。