林春雨,郭進(jìn)利

(上海理工大學(xué) 管理學(xué)院,上海 200093)

1 引 言

城市交通建設(shè)與經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平密切相關(guān),穩(wěn)定高效的交通運(yùn)行系統(tǒng)可以促進(jìn)城市社會經(jīng)濟(jì)的可持續(xù)發(fā)展.但是近年來,伴隨著人口的增長與流動,城市交通需求大幅增加,中大型城市擁擠問題日益突出,氣候變化和極端天氣也加劇了城市的脆弱性,如鄭州720特大暴雨事件極大影響了城市生產(chǎn)活動的進(jìn)行與居民的日常生活.城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)(Urban Rail Transit Network,URTN)作為城市綜合運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)的骨干網(wǎng)絡(luò),聯(lián)系著城市主要客流集散點(diǎn),是市民市內(nèi)出行的主要交通方式,在中大型城市交通中占有非常重要的地位;且與道路基礎(chǔ)設(shè)施網(wǎng)絡(luò)相比,URTN更容易受到不同程度的損害和威脅.因此,運(yùn)用網(wǎng)絡(luò)的理論與方法探究URTN的安全性與穩(wěn)定性,具有非常重要的研究意義.

針對交通網(wǎng)絡(luò)魯棒性的研究主要分為兩大類:

第1類是靜態(tài)魯棒性評價,其從網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的角度,通過去除節(jié)點(diǎn)或邊而引起的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋵傩缘淖兓芯烤W(wǎng)絡(luò)魯棒性.例如,李衛(wèi)東等[1]構(gòu)建了紐約軌道交通加權(quán)網(wǎng)絡(luò)模型,發(fā)現(xiàn)加權(quán)網(wǎng)絡(luò)的魯棒性較無權(quán)網(wǎng)絡(luò)差;羅海秀等[2]構(gòu)建了城市公交超網(wǎng)絡(luò)模型,提出了應(yīng)對蓄意攻擊的站點(diǎn)減壓策略;wang等[3,4]分析了全球33個地鐵網(wǎng)絡(luò)在隨機(jī)攻擊和蓄意攻擊下的魯棒性,發(fā)現(xiàn)東京和羅馬地鐵網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性最強(qiáng);Li等[5]構(gòu)建了重慶市公交-地鐵雙層網(wǎng)絡(luò)模型,發(fā)現(xiàn)兩者的配合優(yōu)化了城市公共交通系統(tǒng)的魯棒性.

第2類是從級聯(lián)故障角度研究網(wǎng)絡(luò)的動態(tài)魯棒性.由于交通網(wǎng)絡(luò)的高度復(fù)雜性,當(dāng)網(wǎng)絡(luò)受到自然災(zāi)害、交通事故與故意攻擊等時,一個或少數(shù)幾個站點(diǎn)故障可能通過客流再分配導(dǎo)致其他站點(diǎn)級聯(lián)故障,該過程反復(fù)進(jìn)行,最終導(dǎo)致相當(dāng)一部分站點(diǎn)甚至整個網(wǎng)絡(luò)崩潰.如張振江等[6]構(gòu)建了鐵路貨運(yùn)網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效模型,研究了在不同攻擊策略下網(wǎng)絡(luò)的動態(tài)魯棒性;樊成[7]等提出了考慮過載狀態(tài)和失效概率的航空網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)故障模型,發(fā)現(xiàn)在一定范圍內(nèi)提升過載系數(shù)有助于提升網(wǎng)絡(luò)魯棒性;Sun等[8]提出了基于耦合映像格子的北京地鐵網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效模型,發(fā)現(xiàn)當(dāng)環(huán)線遭到攻擊時,系統(tǒng)的魯棒性較低;沈犁等[9]研究了擁擠失效下公交-地鐵網(wǎng)絡(luò)的級聯(lián)故障,為應(yīng)急計劃與交通管理提供了理論依據(jù);Ma等[10]研究了暴雨對公交-地鐵網(wǎng)絡(luò)魯棒性的影響,發(fā)現(xiàn)客流過載可能使網(wǎng)絡(luò)發(fā)生兩級級聯(lián)故障.

當(dāng)前針對軌道交通魯棒性的研究,大多集中在靜態(tài)特性方面,對于級聯(lián)故障等動態(tài)特性的研究較少.此外,目前關(guān)于級聯(lián)故障魯棒性的研究主要集中在普通網(wǎng)絡(luò)中,對基于超圖的超網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效現(xiàn)象研究較少.但隨著網(wǎng)絡(luò)規(guī)模的擴(kuò)大,節(jié)點(diǎn)類型呈多樣化發(fā)展,節(jié)點(diǎn)間聯(lián)系復(fù)雜多變,對于結(jié)構(gòu)復(fù)雜的軌道交通系統(tǒng)而言,基于普通圖的建模方式在刻畫其特征時存在一定的局限性.

綜上,本文結(jié)合城市軌道交通系統(tǒng)的拓?fù)渑c功能特性,以線路為節(jié)點(diǎn)、站點(diǎn)為超邊,基于超圖的超網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建負(fù)載-容量級聯(lián)故障模型.并以上海軌道交通網(wǎng)絡(luò)為例,討論線路負(fù)載與容量間的關(guān)系;提出節(jié)點(diǎn)功能重要性評估指標(biāo),結(jié)合拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)指標(biāo),討論在最優(yōu)容量下不同攻擊策略對網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)故障的影響;對比超網(wǎng)絡(luò)上的級聯(lián)故障模型與普通網(wǎng)絡(luò)上的傳統(tǒng)級聯(lián)故障模型,驗證本文模型的有效性.所做研究有助于解釋過載引起的級聯(lián)失效過程,進(jìn)而優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),以最小成本最大程度提升網(wǎng)絡(luò)魯棒性.

2 理論與模型

2.1 超網(wǎng)絡(luò)與超圖

超圖可以描述同一類節(jié)點(diǎn)間以及不同類節(jié)點(diǎn)間的高階關(guān)系.如圖1所示,以線路為節(jié)點(diǎn)V、站點(diǎn)為超邊E,位于同一超邊中的節(jié)點(diǎn)是相鄰的,超邊間通過公共節(jié)點(diǎn)相連,由此不僅可以得到節(jié)點(diǎn)間的關(guān)系、超邊間的關(guān)系以及節(jié)點(diǎn)與超邊之間的關(guān)系,還可以表示三者及以上的高階關(guān)系,即可以得到線路包含的站點(diǎn)數(shù)、站點(diǎn)經(jīng)過的線路數(shù)以及線路間的換乘信息等.而在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)普通圖中,二分圖可以描述兩類節(jié)點(diǎn)間的兩兩關(guān)系,但忽略了同類節(jié)點(diǎn)間的內(nèi)在聯(lián)系;投影圖可以描述同類節(jié)點(diǎn)間的兩兩關(guān)系,但割裂了異類節(jié)點(diǎn)間的關(guān)聯(lián),如文獻(xiàn)[15]所述.因此,超圖能更全面地描述真實系統(tǒng)的信息.

圖1 超圖Fig.1 Hypergraph

2.2 超網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涮匦灾笜?biāo)

(1)

式(1)中,N表示網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)總數(shù)(下同).如圖1所示,D1=2,表示線路V1分別與V4交匯于站點(diǎn)E1、與V3交匯于E2,因此V1的相鄰線路有2條.

(2)

圖1中DH1=2,表示線路V1經(jīng)過E1與E2兩個站點(diǎn).

3)距離dij定義為節(jié)點(diǎn)間的最短路徑長度,即連接兩節(jié)點(diǎn)的最少超邊數(shù).如圖1所示,V1與V4通過E1相連,V4與V2通過E4相連,V1與V2的最短連接路徑為V1-E1-V4-E4-V2,V1與V2通過2條超邊連接,因此d1,2=2.

平均距離或平均路徑長度L為網(wǎng)絡(luò)中任意兩節(jié)點(diǎn)間距離之和的平均值,為全局概念,公式如下:

(3)

網(wǎng)絡(luò)直徑D為網(wǎng)絡(luò)中任意兩節(jié)點(diǎn)間距離的最大值,為全局概念,公式如下:

D=max{dij}

(4)

4)介數(shù)Bi為網(wǎng)絡(luò)中經(jīng)過節(jié)點(diǎn)Vi的最短路徑占所有最短路徑的比重.本文對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的介數(shù)進(jìn)行了改進(jìn),在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)普通圖中,邊沒有具體含義,只表示兩個節(jié)點(diǎn)間有某種聯(lián)系;而在超網(wǎng)絡(luò)中,將某一類元素定義為超邊后,由于超邊含義不同,使節(jié)點(diǎn)間通過不同超邊構(gòu)成了不同的聯(lián)系,因此,雖然兩個節(jié)點(diǎn)的最短路徑經(jīng)過的節(jié)點(diǎn)相同,但由于連接的超邊含義不同而產(chǎn)生了不同的路徑.公式如下:

(5)

(6)

(7)

(8)

2.3 線路功能重要性評價指標(biāo)

對URTN而言,靜態(tài)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)無法傳達(dá)現(xiàn)實情況的所有信息,如客流量應(yīng)被視為發(fā)現(xiàn)和制定防御策略的關(guān)鍵特征之一.線路的客流量不僅與運(yùn)營里程有關(guān),還與線路途徑區(qū)域的人口規(guī)模有關(guān),因此本文結(jié)合線路客運(yùn)強(qiáng)度與線路使用率提出了線路功能重要性評價指標(biāo).

2.3.1 功能重要性指標(biāo)

線路客運(yùn)強(qiáng)度Pi是指線路日均客運(yùn)量與線路運(yùn)營長度之比,反映線路單位長度上每日的載客量,單位為萬人/公里·日.公式如下:

(9)

式(9)中,Fi表示線路日均客流量;Si表示線路運(yùn)營里程.

線路使用率Ii是指線路日均客運(yùn)量與線路途徑區(qū)域的人口規(guī)模之比,反映了線路的利用情況.公式如下:

(10)

式(10)中,Ui表示線路途徑區(qū)域的人口數(shù)目.

對Pi與Ii進(jìn)行min-max歸一化處理,得到如下功能重要性評價指標(biāo)CEi:

(11)

2.3.2 權(quán)重系數(shù)的確定為獲取對網(wǎng)絡(luò)性能影響最大的各線路功能重要性指標(biāo)值,需確定一組最優(yōu)權(quán)重值.

步驟如下:

1)從λ=0.1、μ=0.9～λ=0.9、μ=0.1,以0.2的幅度設(shè)置不同的λ與μ值組合;

2)計算每個節(jié)點(diǎn)的功能重要性指標(biāo)值,并按大小對節(jié)點(diǎn)排序;

3)對每一組排序結(jié)果中的前50%節(jié)點(diǎn)進(jìn)行蓄意攻擊,記錄網(wǎng)絡(luò)效率值;

4)選取使網(wǎng)絡(luò)效率變化最大的λ與μ值為最優(yōu)權(quán)重系數(shù).

2.4 魯棒性評價指標(biāo)

2.4.1 結(jié)構(gòu)性指標(biāo)

URTN的運(yùn)行效率與線路之間的可達(dá)程度密切相關(guān),因此節(jié)點(diǎn)間距離可以很好地描述網(wǎng)絡(luò)的靜態(tài)結(jié)構(gòu)特性,運(yùn)用距離定義網(wǎng)絡(luò)全局效率GE如下:

(12)

2.4.2 功能性指標(biāo)

結(jié)合URTN的功能特性,引入客流損失率LR描述網(wǎng)絡(luò)的動態(tài)功能特性.客流損失率越小,對應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)性能越好.公式如下:

(13)

式(13)中,F′表示客流總損失量;F0表示初始總客流量.

2.5 基于超圖的超網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效模型

為探究各城市軌道交通系統(tǒng)在超網(wǎng)絡(luò)上的動態(tài)魯棒性,本文設(shè)計了負(fù)載二次分配機(jī)制,構(gòu)建了基于超圖的超網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效模型.此外,本模型適用于任何節(jié)點(diǎn)與超邊均有負(fù)載且負(fù)載可相互轉(zhuǎn)移的網(wǎng)絡(luò),如公交網(wǎng)絡(luò)等.在軌道交通超網(wǎng)絡(luò)模型中,節(jié)點(diǎn)表示線路、超邊表示站點(diǎn),線路與線路之間通過換乘站點(diǎn)相鄰,當(dāng)某條線路癱瘓時,其客流量會通過換乘站點(diǎn)轉(zhuǎn)移至相鄰線路,但各轉(zhuǎn)移量不同,其與線路和站點(diǎn)的承載能力有關(guān),而客流量能在很大程度上反映線路和站點(diǎn)的承載能力.因此,運(yùn)用客流量數(shù)據(jù)賦予線路和站點(diǎn)局部權(quán)重值,引入了線路強(qiáng)度系數(shù)與站點(diǎn)強(qiáng)度系數(shù),設(shè)計了負(fù)載二次分配機(jī)制.

2.5.1 初始負(fù)載

以往模型主要使用節(jié)點(diǎn)介數(shù)、度等模擬流量,如經(jīng)典的Motter-Lai模型[17].在當(dāng)前應(yīng)用較為廣泛的普通級聯(lián)失效模型中,選取按度定義的模型與本文改進(jìn)模型對比,定義其初始負(fù)載Qi′(0)如下:

Qi′(0)=Di

(14)

但對于真實網(wǎng)絡(luò),結(jié)構(gòu)指標(biāo)不能如實刻畫網(wǎng)絡(luò)的級聯(lián)失效過程,因此選取各線路的日均客流量定義各節(jié)點(diǎn)的初始負(fù)載Qi(0)如下:

Qi(0)=Fi

(15)

式(15)中,Fi表示某線路的日均客流量.

2.5.2 最大容量

本模型認(rèn)為,節(jié)點(diǎn)的最大容量與其初始負(fù)載不是簡單的線性關(guān)系,因此定義各節(jié)點(diǎn)的最大容量Ci如下:

(16)

式(16)中,α與β為容量控制參數(shù),用于度量節(jié)點(diǎn)負(fù)載超過其初始負(fù)載時的應(yīng)對能力,α,β>0.

為便于對比,定義普通模型中各節(jié)點(diǎn)的最大容量Ci′如下:

Ci′=Qi′(0)+αQi′β(0)

(17)

2.5.3 基于客流加權(quán)的負(fù)載二次分配機(jī)制

(18)

考慮到超網(wǎng)絡(luò)在刻畫復(fù)雜系統(tǒng)上的優(yōu)越性,本文根據(jù)軌道交通超網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)設(shè)計了如下負(fù)載二次分配機(jī)制.

1)第1次負(fù)載分配

當(dāng)節(jié)點(diǎn)發(fā)生故障時,其負(fù)載首先會依據(jù)所在超邊的權(quán)重分配至每一類相鄰節(jié)點(diǎn).針對故障節(jié)點(diǎn)的相鄰節(jié)點(diǎn),本機(jī)制將位于同一超邊內(nèi)的節(jié)點(diǎn)歸為一類,依據(jù)超邊權(quán)重對每一類節(jié)點(diǎn)分配負(fù)載,其中超邊權(quán)重依據(jù)站點(diǎn)的日均客流量進(jìn)行相關(guān)計算.定義超邊強(qiáng)度系數(shù)γ如下:

(19)

2)第2次負(fù)載分配

對故障節(jié)點(diǎn)的每一類相鄰節(jié)點(diǎn)進(jìn)行第1次負(fù)載分配后,進(jìn)一步依據(jù)節(jié)點(diǎn)權(quán)重對每一個節(jié)點(diǎn)進(jìn)行二次負(fù)載分配.節(jié)點(diǎn)權(quán)重依據(jù)線路的日均客流量進(jìn)行相關(guān)計算.定義節(jié)點(diǎn)強(qiáng)度系數(shù)η如下:

(20)

綜上,節(jié)點(diǎn)Vj在t時刻的負(fù)載增量ΔQj為:

ΔQj=γEijηjQi(t)

(21)

式(21)中,γEij表示Vi與Vj共同所在的超邊強(qiáng)度系數(shù);ηj表示節(jié)點(diǎn)Vj的強(qiáng)度系數(shù);Qi(t)表示t時刻故障節(jié)點(diǎn)負(fù)載.

則t時刻節(jié)點(diǎn)Vj的負(fù)載量Qj(t)為:

Qj(t)=Qj(t-1)+γEijηjQi(t)

(22)

當(dāng)Qj(t)>Cj時,Vj過載失效,引發(fā)新一輪的負(fù)載分配.

如圖2(a)所示,若節(jié)點(diǎn)V2故障,其負(fù)載首先依據(jù)γ均衡分配至所在超邊E3與E4,其次E3將分得負(fù)載依據(jù)η分配至含有的節(jié)點(diǎn)V3和V4,E4同理;若一級負(fù)載分配導(dǎo)致V4失效,則會發(fā)生圖2(b)所示的二級負(fù)載分配;上述負(fù)載分配過程連續(xù)進(jìn)行,直至網(wǎng)絡(luò)達(dá)到平衡或崩潰.

圖2 基于超圖的超網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效模型Fig.2 Cascading failure model of hypernetwork based on hypergraph

2.5.4 級聯(lián)失效算法流程

設(shè)計級聯(lián)失效算法流程如圖3所示.由模型可知,節(jié)點(diǎn)與超邊的最大容量對網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)故障有顯著影響,而節(jié)點(diǎn)與超邊的最大容量與容量控制參數(shù)有關(guān),因此,通過攻擊度值最大的節(jié)點(diǎn),首先探究α與β對網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)故障的聯(lián)合影響,算法流程如圖3(a)所示.為進(jìn)一步探究蓄意攻擊下網(wǎng)絡(luò)的動態(tài)魯棒性,采用變量控制法,分固定β、改變α與固定α、改變β兩種情況討論網(wǎng)絡(luò)的級聯(lián)故障,蓄意攻擊選取動態(tài)節(jié)點(diǎn)度攻擊方式,即在每一個時間步內(nèi),重新計算節(jié)點(diǎn)度,選擇度最高的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行攻擊,每個時間步僅進(jìn)行一次攻擊,連續(xù)攻擊直至網(wǎng)絡(luò)中無相互連接的節(jié)點(diǎn),算法流程如圖3(b)所示.圖3(c)進(jìn)一步探究α與β確定時不同攻擊策略對網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)故障的影響.

圖3 級聯(lián)失效算法流程Fig.3 Algorithmic process of cascading failures

3 實證分析

3.1 上海軌道交通超網(wǎng)絡(luò)模型構(gòu)建

在以往研究中,大多數(shù)學(xué)者以站點(diǎn)為節(jié)點(diǎn),構(gòu)建基于普通圖的網(wǎng)絡(luò)模型,重點(diǎn)分析了站點(diǎn)之間的連通程度,對線路的相關(guān)分析較少,而線路之間的連通性能更加清晰簡明地反映乘客的換乘情況.因此,本文以上海軌道交通網(wǎng)的19條線路為節(jié)點(diǎn)、460個車站為超邊構(gòu)建上海軌道交通超網(wǎng)絡(luò)模型.為便于分析計算并更加準(zhǔn)確地反映目前上海軌道交通系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特征,本文作了以下假設(shè)說明,最終得到一個包含16個節(jié)點(diǎn)與355條超邊的超網(wǎng)絡(luò)模型.

模型假設(shè):

1)所有數(shù)據(jù)統(tǒng)計截止日期為2021年6月,且均不含金山鐵路;

2)模型中不包含磁浮線與在建線路的相關(guān)數(shù)據(jù);

3)將4號環(huán)線的浦電路站與6號線的浦電路站視為兩個不同的站點(diǎn);

4)對線路依次編號1～16,對站點(diǎn)依次編號1～355.

3.2 上海軌道交通級聯(lián)失效模型構(gòu)建

采用上海市交通委指揮中心發(fā)布的2021年6月上海軌道交通日均客流量數(shù)據(jù)進(jìn)行實證分析,并具體針對本文3.1中超網(wǎng)絡(luò)特點(diǎn),對網(wǎng)絡(luò)發(fā)生級聯(lián)故障的研究假設(shè)如下:

1)當(dāng)系統(tǒng)第1次發(fā)生故障時,乘客會換乘至相鄰線路,即乘客仍選擇地鐵的其他線路乘車,不會出現(xiàn)客流損失;

2)若相鄰線路因過載而再次出現(xiàn)故障,大部分乘客會轉(zhuǎn)乘其他交通工具,從而出現(xiàn)客流損失.因此假設(shè)只發(fā)生一級級聯(lián)故障,即客流只轉(zhuǎn)移1次,若相鄰線路過載失效,則此部分客流流失.

3.3 上海軌道交通超網(wǎng)絡(luò)特性分析

上海軌道交通超網(wǎng)絡(luò)各拓?fù)渲笜?biāo)計算結(jié)果如表1所示.

表1 上海軌道交通超網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渲笜?biāo)Table 1 Topological indicators of Shanghai rail transit hypernetwork

3.3.1 網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浞治?/p>

1)節(jié)點(diǎn)度表示與某線路相交匯的其他線路數(shù)目,體現(xiàn)了該線路的換乘能力.2號線的節(jié)點(diǎn)度最大,有14條相鄰線路、11個換乘車站,該線為東西走向,是橫貫上海市區(qū)浦江兩岸的一條主要干線;5號線的節(jié)點(diǎn)度最小,有1個相鄰線路、2個換乘車站,該線途徑閔行區(qū)與奉賢區(qū),周邊人口規(guī)模較小;網(wǎng)絡(luò)平均度為9.5,即平均每條地鐵線可通過相應(yīng)站點(diǎn)換乘至9.5條線路.

2)節(jié)點(diǎn)超度表示線路包含的站點(diǎn)數(shù),反映了線路的服務(wù)區(qū)域與人口規(guī)模.網(wǎng)絡(luò)平均節(jié)點(diǎn)超度為26,即平均每條地鐵線經(jīng)過26個站點(diǎn).9號線的超度最大,經(jīng)過35個站點(diǎn),該線為東西走向,全長63.8km,是橫穿徐家匯和花木兩個城市副中心的一條主要干線.16與17號線的超度最小,為13個站點(diǎn),其為郊區(qū)線路,沿線人口規(guī)模較小,故站點(diǎn)設(shè)置較少.其中,16號線有3個換乘站,可換乘至2、7、11與13號線,從而將浦東新區(qū)的南匯新城與中心城區(qū)聯(lián)系起來,極大地縮短了市區(qū)與郊區(qū)的距離.

3)網(wǎng)絡(luò)平均距離為1.392,網(wǎng)絡(luò)直徑為3,即當(dāng)乘客遠(yuǎn)距離出行時,最少需要換乘1次、最多換乘3次,且換乘1次的概率更大.

4)介數(shù)最大的節(jié)點(diǎn)為1號,介數(shù)值為13,有13條最短路徑經(jīng)過;最小的為5號與17號線,沒有最短路徑經(jīng)過;網(wǎng)絡(luò)平均介數(shù)為2.75,即平均每個節(jié)點(diǎn)有2～3條最短路徑經(jīng)過.

5)網(wǎng)絡(luò)平均群集系數(shù)為0.8005,即平均每條線路的鄰居線路間也相鄰的概率為0.8005,表明地鐵線路之間的聯(lián)系非常緊密,換乘網(wǎng)絡(luò)比較發(fā)達(dá).在節(jié)點(diǎn)度大于2情況下,群集系數(shù)最大的節(jié)點(diǎn)是15號線,群集系數(shù)為0.9643、節(jié)點(diǎn)度為8,即15號線的8條鄰居線路中,任意兩條線路也相連的概率為0.9643;最小的是2號線,群集系數(shù)為0.6703、節(jié)點(diǎn)度為14.

3.3.2 線路功能重要性分析

本文收集了2021年6月上海市軌道交通各線路的日均客流量數(shù)據(jù)、運(yùn)營里程數(shù)據(jù)以及途徑區(qū)域所涵蓋的常住人口規(guī)模數(shù)據(jù)(數(shù)據(jù)來源:2021年5月第7次全國人口普查結(jié)果),從建設(shè)規(guī)模與人口規(guī)模兩方面綜合考慮線路客流量.權(quán)重系數(shù)確定過程如表2所示.

表2 不同權(quán)重系數(shù)對網(wǎng)絡(luò)性能的影響Table 2 Influence of different weight coefficients on network performance

經(jīng)計算,當(dāng)λ=0.7,μ=0.3時,線路功能評價指標(biāo)對網(wǎng)絡(luò)性能的影響最大,因此選取該組合值作為評價線路功能重要性的最優(yōu)權(quán)重系數(shù).

3.4 魯棒性分析

3.4.1 攻擊策略

本文采用的攻擊策略為隨機(jī)攻擊與蓄意攻擊.運(yùn)用python在[1,16]之間產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)作為隨機(jī)攻擊的節(jié)點(diǎn)編號,每進(jìn)行一次攻擊產(chǎn)生一個隨機(jī)數(shù),直至攻擊結(jié)束,上述過程共進(jìn)行5次,取5次指標(biāo)平均值作為隨機(jī)攻擊的最終結(jié)果;蓄意攻擊采用節(jié)點(diǎn)度值、介數(shù)、超度與功能重要性攻擊,每次攻擊后均重新排序節(jié)點(diǎn),選取指標(biāo)值最大的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行攻擊,連續(xù)攻擊直至網(wǎng)絡(luò)中無相互連接的節(jié)點(diǎn).

3.4.2 靜態(tài)魯棒性評價

由圖4可知,上海軌道交通網(wǎng)絡(luò)對隨機(jī)攻擊的靜態(tài)魯棒性最強(qiáng),網(wǎng)絡(luò)效率下降最慢,能夠抵抗的攻擊次數(shù)最大,體現(xiàn)出很強(qiáng)的抵抗能力;當(dāng)攻擊節(jié)點(diǎn)數(shù)n=14時,網(wǎng)絡(luò)效率接近于1,這是因為上海地鐵線路之間的聯(lián)系非常緊密,當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中僅剩余2個節(jié)點(diǎn)時,它們相互關(guān)聯(lián)的概率非常大.網(wǎng)絡(luò)對超度攻擊的靜態(tài)魯棒性次之,當(dāng)n≤5時,GE下降速率較小,與隨機(jī)攻擊的變化趨勢相似,但當(dāng)n=6時,GE急劇下降,此時攻擊的節(jié)點(diǎn)為13號線,該節(jié)點(diǎn)的度值排名第2、介數(shù)值排名第4、超度值排名第6,與其他節(jié)點(diǎn)的聯(lián)系緊密,因此該節(jié)點(diǎn)失效對網(wǎng)絡(luò)性能的影響較大.網(wǎng)絡(luò)應(yīng)對度值與功能重要性攻擊的抵抗能力相當(dāng),當(dāng)n≤7時,網(wǎng)絡(luò)對度值攻擊的靜態(tài)魯棒性較重要性攻擊更強(qiáng),而當(dāng)n>7,即網(wǎng)絡(luò)中50%的節(jié)點(diǎn)失效時,網(wǎng)絡(luò)對重要性攻擊的靜態(tài)魯棒性較度值與超度攻擊更強(qiáng).網(wǎng)絡(luò)在介數(shù)攻擊下的靜態(tài)魯棒性最弱,GE下降速率最快,同時說明在網(wǎng)絡(luò)靜態(tài)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中,介數(shù)最能代表節(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵程度.

圖4 不同攻擊策略下網(wǎng)絡(luò)的靜態(tài)魯棒性Fig.4 Static robustness of networks under different attack strategies

3.4.3 級聯(lián)失效魯棒性評價

靜態(tài)魯棒性能在一定程度上衡量網(wǎng)絡(luò)的抗毀性能,但對URTN而言,客流作為其主要負(fù)載是實時變化且能夠轉(zhuǎn)移的,負(fù)載的變化可能導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)發(fā)生多種多樣的改變.因此,靜態(tài)魯棒性不能真實全面地刻畫URTN的抗毀性能,本部分運(yùn)用改進(jìn)的級聯(lián)失效模型進(jìn)而從以下4個方面探討上海軌道交通超網(wǎng)絡(luò)的動態(tài)魯棒性.

1)α與β的關(guān)系

根據(jù)URTN實際特點(diǎn),α取值0.2,0.4,0.6,0.8與1.0,取值間隔為0.2;β取值0.1,0.15,0.2,…,1.3,取值間隔為0.05.通過設(shè)定不同的α與β值,設(shè)置了不同的模擬場景,實驗結(jié)果如圖5所示,α與β對網(wǎng)絡(luò)性能的影響主要分為6個區(qū)間:

圖5 α和β的關(guān)系Fig.5 Relationship between α and β

第1區(qū)間:當(dāng)β位于較小的取值區(qū)間時,各場景均發(fā)生大規(guī)模的級聯(lián)故障,網(wǎng)絡(luò)對動態(tài)節(jié)點(diǎn)度攻擊沒有抵抗能力.如當(dāng)α=0.8,β=0.1時,攻擊度最大的節(jié)點(diǎn),級聯(lián)故障結(jié)束后,網(wǎng)絡(luò)僅剩余5號節(jié)點(diǎn),因此GE=0、LR接近于1.

第2區(qū)間:①當(dāng)β達(dá)到臨界值β1時,網(wǎng)絡(luò)有了一定的抵抗能力,且在一定范圍內(nèi),β越大,網(wǎng)絡(luò)性能越好.如當(dāng)α=0.8,β∈(0.45,0.6]時,增大β會顯著提高網(wǎng)絡(luò)抗毀性能.②臨界值β1與α有關(guān),α越小,對應(yīng)的β1值越大;且當(dāng)α以0.2的幅度減小時,β1在每一個幅度內(nèi)的增量有所不同.如圖5所示,在GE描繪的圖示中,當(dāng)α分別為1.0、0.8與0.6時,在相同的減小幅度內(nèi),對應(yīng)的β1增量相等,均增加0.05;但當(dāng)α分別為0.6、0.4與0.2時,β1增量變大,分別增加0.1與0.15.

第3區(qū)間:網(wǎng)絡(luò)性能不變.如當(dāng)α=0.8,β∈(0.6,0.65]時,GE與LR均不發(fā)生變化.

第4區(qū)間:GE隨著β值的增大而增大,但增長速率變緩.如當(dāng)α=0.8,β∈(0.65,0.8]時,GE的增長速率與第2區(qū)間相比明顯變慢.

第5區(qū)間:在第4區(qū)間的基礎(chǔ)上,GE的增長速率加快,但仍比第2區(qū)間慢,如當(dāng)α=0.8,β∈(0.8,0.85)時,GE的增長速率明顯較前一區(qū)間快.

第6區(qū)間:當(dāng)β超過臨界值β2時,網(wǎng)絡(luò)對度攻擊有很強(qiáng)的抵抗能力,只有被攻擊節(jié)點(diǎn)失效,不再發(fā)生級聯(lián)故障.如在α=0.8情況下,當(dāng)β增加至0.85時網(wǎng)絡(luò)即達(dá)到平衡狀態(tài),此時的網(wǎng)絡(luò)抗毀能力最強(qiáng).同理,β2與α有關(guān),其分析結(jié)果同第2區(qū)間②.

綜上,攻擊動態(tài)網(wǎng)絡(luò)中度值最大的節(jié)點(diǎn),①當(dāng)0<β≤β1時,網(wǎng)絡(luò)發(fā)生極強(qiáng)的級聯(lián)故障,網(wǎng)絡(luò)崩潰;②當(dāng)β1<β<β2時,網(wǎng)絡(luò)效率隨著α與β的增大而增大,即α與β越大,網(wǎng)絡(luò)發(fā)生級聯(lián)失效的范圍越小,網(wǎng)絡(luò)的抗毀性能越強(qiáng),但網(wǎng)絡(luò)性能的提升速率不同,按不同的增長速率可細(xì)分為4個區(qū)段;③當(dāng)β≥β2時,網(wǎng)絡(luò)不發(fā)生級聯(lián)故障,網(wǎng)絡(luò)的抗毀性能達(dá)到最強(qiáng).

通過對容量控制參數(shù)α與β的討論與分析,可以獲得α確定下網(wǎng)絡(luò)達(dá)到平衡時的最小β值,或者β確定下的最小α值,即最優(yōu)線路容量,從而使網(wǎng)絡(luò)保持較強(qiáng)穩(wěn)定性的同時,花費(fèi)較小的建設(shè)成本.

2)α對級聯(lián)失效過程的影響

固定β=0.9,通過改變α值設(shè)置了7種網(wǎng)絡(luò)模擬場景,實驗結(jié)果如圖6所示,網(wǎng)絡(luò)性能整體上呈下降趨勢,前期變化較為緩慢,但隨著攻擊次數(shù)的增加,網(wǎng)絡(luò)中度值較大的節(jié)點(diǎn)不斷失效,網(wǎng)絡(luò)效率快速下降、客流損失率迅速上升,最終導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)崩潰.以α=0.8為例,當(dāng)t=1、2時,故障節(jié)點(diǎn)引發(fā)的級聯(lián)失效規(guī)模較小,GE下降速率緩慢、LR較小,網(wǎng)絡(luò)性能相對穩(wěn)定.但當(dāng)t=3時,攻擊1號節(jié)點(diǎn),導(dǎo)致3、7、10與12號節(jié)點(diǎn)級聯(lián)失效,網(wǎng)絡(luò)發(fā)生較大規(guī)模的級聯(lián)故障,GE快速下降、LR迅速上升,直至t=5時網(wǎng)絡(luò)崩潰.且隨著α值的增大,網(wǎng)絡(luò)能夠抵抗的攻擊次數(shù)增加,說明增加節(jié)點(diǎn)容量可以提高網(wǎng)絡(luò)魯棒性.

其中,在α=0.9與α=1.0對應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)場景中,網(wǎng)絡(luò)性能變化趨勢幾乎相同,考慮到社會資源、空間與經(jīng)濟(jì)成本問題,應(yīng)控制0<α,β<1,由此可得,一旦α增加至0.9,繼續(xù)增加α值對提高網(wǎng)絡(luò)魯棒性沒有顯著貢獻(xiàn).

此外,在每一個時間步內(nèi),α越大,網(wǎng)絡(luò)魯棒性越強(qiáng),但具有極限.如t=2時,除α=0.6對應(yīng)的網(wǎng)絡(luò),其余網(wǎng)絡(luò)的性能變化趨勢相似,即若網(wǎng)絡(luò)僅出現(xiàn)兩次故障,鑒于成本問題,α的最優(yōu)取值為0.7;在t=3時,α=1.2下的網(wǎng)絡(luò)魯棒性最強(qiáng),α為1.1、1.0與0.9下的網(wǎng)絡(luò)性能相似,則α最優(yōu)取值為0.9.

綜上,①假設(shè)能預(yù)測出網(wǎng)絡(luò)故障次數(shù),則可以選擇該次數(shù)下網(wǎng)絡(luò)性能最好時的最小α值,從而降低建設(shè)成本,且由于動態(tài)節(jié)點(diǎn)度策略攻擊強(qiáng)度較大,能夠代表網(wǎng)絡(luò)所遭受的較強(qiáng)破壞,因此可以同時達(dá)到安全目標(biāo)與經(jīng)濟(jì)目標(biāo).②α越大,網(wǎng)絡(luò)魯棒性越強(qiáng),但現(xiàn)實生活中,由于資源、空間與社會經(jīng)濟(jì)成本等的限制,容量不可能無限擴(kuò)大,因此在選擇最優(yōu)容量控制參數(shù)時,應(yīng)控制0<α,β<1,由上述分析可得,當(dāng)β=0.9時,α最佳取值為0.9.

3)β對級聯(lián)失效過程的影響

固定α=0.9,通過改變β值設(shè)置了5種網(wǎng)絡(luò)模擬場景,實驗結(jié)果如圖7所示.由圖6與圖7可明顯得出,容量越大,網(wǎng)絡(luò)效率越大、客流損失率越小以及可抵抗的攻擊次數(shù)越多,且β對網(wǎng)絡(luò)性能影響的變化趨勢與α相似,前期GE緩慢下降,在t=3時網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)發(fā)生突變而使效率快速下降,但β對網(wǎng)絡(luò)性能的影響更加顯著.鑒于成本問題,當(dāng)控制0<β<1時,由圖7可知,β的最佳取值為0.95.

圖7 β對級聯(lián)失效過程的影響Fig.7 Effect of β on cascading failure process

此外,在每一個時間步內(nèi),并不是β值越大網(wǎng)絡(luò)性能越好.當(dāng)t=1、2時,除β=0.8外,其余情景下的網(wǎng)絡(luò)情況相似;當(dāng)t=3時,β=0.85對應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)發(fā)生結(jié)構(gòu)突變,而β為0.9、0.95與1.0下的網(wǎng)絡(luò)變化情況相似,即在該時間步內(nèi),當(dāng)β達(dá)到0.9后,繼續(xù)增加β值對提升網(wǎng)絡(luò)魯棒性沒有顯著作用;當(dāng)t≥4時,不同情況下網(wǎng)絡(luò)的性能差異逐漸變得顯著.

綜上,①增大節(jié)點(diǎn)容量可以增加網(wǎng)絡(luò)抵抗蓄意攻擊的次數(shù),提高網(wǎng)絡(luò)魯棒性,且β的影響作用比α更顯著,其在0.05的變化范圍內(nèi)即可使網(wǎng)絡(luò)性能發(fā)生較大變化;②同樣可以得到每一次攻擊下的最優(yōu)β值;③改變α或β均使網(wǎng)絡(luò)在t=3時發(fā)生結(jié)構(gòu)突變,表明網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)在遭受3次高強(qiáng)度蓄意攻擊后,會發(fā)生較大規(guī)模的級聯(lián)故障;④由圖6與圖7分析可得,改進(jìn)模型的最優(yōu)參數(shù)組合為α=0.9、β=0.95;⑤采用公式(14)、(17)與(18)定義的普通級聯(lián)失效模型進(jìn)行上述實驗,可得到最優(yōu)參數(shù)組合為α=0.8、β=0.9.

4)攻擊策略對級聯(lián)失效過程的影響

上文探究了度值攻擊下上海軌道交通網(wǎng)絡(luò)的動態(tài)魯棒性,但當(dāng)以其他攻擊策略對網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行破壞時,網(wǎng)絡(luò)的性能表現(xiàn)會有所不同.因此,在最優(yōu)參數(shù)組合α=0.9、β=0.95情景下,比較分析了度值、介數(shù)、超度、功能重要性以及隨機(jī)攻擊對網(wǎng)絡(luò)的級聯(lián)故障影響.實驗結(jié)果如圖8所示.

圖8 不同攻擊策略對級聯(lián)失效過程的影響Fig.8 Effect of different attack strategies on cascading failure process

從整體上看,網(wǎng)絡(luò)應(yīng)對超度與隨機(jī)攻擊的動態(tài)魯棒性較強(qiáng).當(dāng)t=1、2時,超度攻擊與隨機(jī)攻擊對網(wǎng)絡(luò)的破壞程度相似,網(wǎng)絡(luò)均只有被攻擊節(jié)點(diǎn)失效;當(dāng)t=3時,攻擊超度最大的節(jié)點(diǎn),網(wǎng)絡(luò)仍然不發(fā)生級聯(lián)故障,但某些遭受隨機(jī)攻擊的網(wǎng)絡(luò)開始出現(xiàn)級聯(lián)失效過程,這是因為隨機(jī)攻擊的節(jié)點(diǎn)是隨機(jī)選取的,若隨機(jī)選擇的節(jié)點(diǎn)為網(wǎng)絡(luò)中的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn),則其失效后的影響范圍較大,從而引發(fā)節(jié)點(diǎn)的級聯(lián)失效;當(dāng)t=6時,兩種攻擊策略均導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)突變,發(fā)生大面積的級聯(lián)故障,遭受超度攻擊的網(wǎng)絡(luò)僅剩余5號節(jié)點(diǎn),而遭受隨機(jī)攻擊的網(wǎng)絡(luò)在t=8時崩潰,兩種策略的攻擊結(jié)束時間相差2個時間步,因此隨機(jī)故障的網(wǎng)絡(luò)在結(jié)構(gòu)突變后有一定的應(yīng)急時間,能夠避免網(wǎng)絡(luò)癱瘓.

對于超度攻擊,超度值越大,表明線路含有的站點(diǎn)數(shù)越多,但其不能體現(xiàn)出該線路的關(guān)聯(lián)線路情況.在遭受超度攻擊的網(wǎng)絡(luò)中,當(dāng)t≤5時,GE的下降速率均比較緩慢,網(wǎng)絡(luò)沒有發(fā)生較強(qiáng)的級聯(lián)故障,說明雖然受攻擊的節(jié)點(diǎn)超度值較大,但其不是關(guān)鍵節(jié)點(diǎn).但在t=6時,攻擊網(wǎng)絡(luò)中超度最大的2號節(jié)點(diǎn),網(wǎng)絡(luò)瞬間崩潰,這是因為2號節(jié)點(diǎn)是網(wǎng)絡(luò)中度與介數(shù)較大的節(jié)點(diǎn),其負(fù)載量與關(guān)聯(lián)節(jié)點(diǎn)數(shù)目均非常大,為非常關(guān)鍵的節(jié)點(diǎn),且網(wǎng)絡(luò)經(jīng)過前幾個階段的負(fù)載累積,節(jié)點(diǎn)承受力不斷減弱,因此2號節(jié)點(diǎn)失效后,導(dǎo)致關(guān)聯(lián)的6個節(jié)點(diǎn)失效,網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)突變.同時可以得出,超度在衡量節(jié)點(diǎn)重要程度方面作用較弱.

對比5種攻擊策略,網(wǎng)絡(luò)在節(jié)點(diǎn)功能重要性攻擊下發(fā)生級聯(lián)故障的規(guī)模最大,能夠抵抗的攻擊次數(shù)最小,網(wǎng)絡(luò)的動態(tài)魯棒性最弱.同時也說明在級聯(lián)故障背景下,節(jié)點(diǎn)功能評價指標(biāo)較其他4種結(jié)構(gòu)指標(biāo)能更好地衡量節(jié)點(diǎn)重要性.

此外,由于不同攻擊策略使網(wǎng)絡(luò)失效的節(jié)點(diǎn)不同,因此在GE=0時網(wǎng)絡(luò)剩余的孤立節(jié)點(diǎn)不同,致使網(wǎng)絡(luò)最終的客流損失有所差異.如功能重要性攻擊下的網(wǎng)絡(luò)最終剩余5、15和16號3個孤立節(jié)點(diǎn),度值攻擊下的網(wǎng)絡(luò)最終剩余5和16號節(jié)點(diǎn),介數(shù)與超度攻擊下的網(wǎng)絡(luò)最終僅剩余5號節(jié)點(diǎn),因此功能重要性攻擊下的網(wǎng)絡(luò)LR最小,介數(shù)與超度攻擊下的網(wǎng)絡(luò)LR最大.

5)最優(yōu)參數(shù)下改進(jìn)與普通級聯(lián)失效模型對比

圖8亦給出了在最優(yōu)參數(shù)α=0.8、β=0.9下不同攻擊策略對普通級聯(lián)故障模型的影響.在度值攻擊下,兩種模型下的網(wǎng)絡(luò)在遭受2次蓄意攻擊的情況相同,但當(dāng)t≥3時,兩種模型的性能差異逐漸顯著,改進(jìn)模型下的網(wǎng)絡(luò)效率快速下降,且較普通網(wǎng)絡(luò)提前1個時間步崩潰.在介數(shù)攻擊下,當(dāng)t≤2時,兩種網(wǎng)絡(luò)情況也相同,但在t=3、4時,改進(jìn)模型下的網(wǎng)絡(luò)魯棒性較普通網(wǎng)絡(luò)更強(qiáng),在t=5、6時,普通模型下的網(wǎng)絡(luò)魯棒性更強(qiáng),且可抵抗蓄意攻擊的次數(shù)也多1次.在節(jié)點(diǎn)功能重要性攻擊下,兩種模型下的網(wǎng)絡(luò)性能差異最為顯著,當(dāng)t≥2時,改進(jìn)模型下的網(wǎng)絡(luò)比較脆弱,比普通網(wǎng)絡(luò)提前3個時間步崩潰.在超度攻擊中,兩種模型下的網(wǎng)絡(luò)性能差異較小,普通網(wǎng)絡(luò)的魯棒性稍強(qiáng),可抵抗攻擊的次數(shù)多1次.在隨機(jī)攻擊下,兩種模型下的網(wǎng)絡(luò)效率均緩慢下降,普通網(wǎng)絡(luò)發(fā)生結(jié)構(gòu)突變的時間晚1個時間步.綜上,本文改進(jìn)的超網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效模型能更好地衡量網(wǎng)絡(luò)魯棒性,具有一定的有效性與可行性.

4 結(jié)束語

軌道交通被喻為一個城市的“運(yùn)輸大動脈”,其因乘車時間短和費(fèi)用低兩大優(yōu)勢而成為人們?nèi)粘Ｍㄇ诘闹饕煌ǚ绞?本文針對軌道交通系統(tǒng),在超網(wǎng)絡(luò)基礎(chǔ)上,設(shè)計負(fù)載二次分配機(jī)制,構(gòu)建了非線性負(fù)載-容量模型,討論了容量控制參數(shù)以及不同攻擊策略對網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效的影響,最后以上海軌道交通系統(tǒng)為例驗證了模型有效性.實驗得到了如下結(jié)論:

1)超圖能描述網(wǎng)絡(luò)中同質(zhì)或異質(zhì)節(jié)點(diǎn)間的高階關(guān)系,因此能夠更全面地反映真實系統(tǒng)的信息;

2)上海軌道交通線路之間的聯(lián)系非常緊密,換乘網(wǎng)絡(luò)非常發(fā)達(dá),網(wǎng)絡(luò)直徑較小、群集系數(shù)較大,具有小世界網(wǎng)絡(luò)的特征;

3)得到了上海軌道交通線路的最優(yōu)容量控制參數(shù)α=0.9與β=0.95,并得到了與以往實驗不同的結(jié)論,即在最優(yōu)參數(shù)下網(wǎng)絡(luò)應(yīng)對超度蓄意攻擊的動態(tài)魯棒性比隨機(jī)攻擊更強(qiáng),說明線路容量對軌道交通網(wǎng)絡(luò)的魯棒性具有顯著影響;

4)在不同狀態(tài)下,容量控制參數(shù)具有最優(yōu)值,可以使網(wǎng)絡(luò)保持較強(qiáng)穩(wěn)定性的同時,花費(fèi)較小的建設(shè)成本;

5)本文運(yùn)用全局效率與客流損失率量化網(wǎng)絡(luò)動態(tài)魯棒性,兼顧了網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特征與功能特征,能夠更全面地反映網(wǎng)絡(luò)性能;

6)通過對比網(wǎng)絡(luò)靜態(tài)與動態(tài)魯棒性可知,在靜態(tài)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中,介數(shù)最能代表節(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵程度,而在級聯(lián)故障網(wǎng)絡(luò)中,節(jié)點(diǎn)功能評價指標(biāo)最能代表節(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵程度;

7)由負(fù)載-容量模型可知,在城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)中,線路承載的客流量對網(wǎng)絡(luò)性能的影響很大;

8)本文所提的基于超圖的超網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效模型具有一定的有效性與普遍性,能為節(jié)點(diǎn)與超邊均有負(fù)載且負(fù)載可相互轉(zhuǎn)移的網(wǎng)絡(luò)提供模型支持.

此外,在實證分析中,考慮到以往相關(guān)文獻(xiàn)大多以站點(diǎn)為節(jié)點(diǎn),探究了站點(diǎn)間的聯(lián)系,因此本文以上海軌道交通線路為超網(wǎng)絡(luò)模型中的節(jié)點(diǎn)、站點(diǎn)為超邊,主要研究了線路間的關(guān)聯(lián)程度.所以導(dǎo)致模型中節(jié)點(diǎn)數(shù)目較少,在運(yùn)行負(fù)載二次分配機(jī)制時,網(wǎng)絡(luò)極易發(fā)生多級級聯(lián)故障,致使網(wǎng)絡(luò)快速瀕臨崩潰,從而對一些結(jié)果的呈現(xiàn)不夠顯著,因此本文模型可以進(jìn)一步應(yīng)用于節(jié)點(diǎn)數(shù)目較多的大型網(wǎng)絡(luò),如公交網(wǎng)絡(luò),以探究多級級聯(lián)故障對網(wǎng)絡(luò)的動態(tài)魯棒性影響.