聶國(guó)強(qiáng) 孟文俊 廖宣琳

太原科技大學(xué) 太原 030024

0 引言

鑄造起重機(jī)是鋼鐵冶煉廠的主要生產(chǎn)設(shè)備，主要用于轉(zhuǎn)爐加料以及轉(zhuǎn)爐時(shí)勾兌鐵水。在將鋼包吊運(yùn)至精煉爐或連鑄回轉(zhuǎn)臺(tái)時(shí)，將盛有金屬液的鋼包迅速吊運(yùn)至澆鑄口的上方進(jìn)行澆鑄，此過(guò)程要求起重機(jī)的動(dòng)作迅速且精準(zhǔn)。由于鋼絲繩存在擺動(dòng)現(xiàn)象，較輕時(shí)會(huì)延長(zhǎng)起重機(jī)的運(yùn)行時(shí)間，造成鋼水過(guò)早的冷卻，降低產(chǎn)品的質(zhì)量和工作效率；嚴(yán)重時(shí)會(huì)導(dǎo)致金屬液濺到澆鑄口外，引發(fā)安全事故[1]。鋼水在吊運(yùn)過(guò)程中由鋼包的周期性擺動(dòng)所激勵(lì)而產(chǎn)生晃動(dòng)，反過(guò)來(lái)又造成鋼包負(fù)載重心發(fā)生偏移，這種影響對(duì)其吊運(yùn)系統(tǒng)的防搖、精確定位、大小車運(yùn)行及澆注等后續(xù)工藝流程都會(huì)產(chǎn)生不利影響。目前，針對(duì)鋼包吊運(yùn)系統(tǒng)防搖控制的研究很少，多是在傳統(tǒng)起重機(jī)防搖的基礎(chǔ)上加一個(gè)干擾信號(hào)去模擬剛睡晃動(dòng)的影響[2，3]。隨著智能化時(shí)代的到來(lái)，鑄造起重機(jī)也將逐步實(shí)現(xiàn)無(wú)人化，鋼包吊運(yùn)系統(tǒng)作為重要的一環(huán)，其系統(tǒng)的表現(xiàn)顯得越來(lái)越重要。因此，建立相對(duì)準(zhǔn)確地?cái)?shù)學(xué)模型以及為其精準(zhǔn)定位控制至關(guān)重要。針對(duì)這一問(wèn)題，本文基于等效力學(xué)原理建立了鋼包吊擺系統(tǒng)的物理模型，基于拉格朗日方程推導(dǎo)出其運(yùn)動(dòng)方程，并在該運(yùn)動(dòng)方程的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了級(jí)聯(lián)光滑整形控制器。

1 等效力學(xué)建模

根據(jù)等效力學(xué)原理，本文采用一系列質(zhì)量－彈簧－阻尼構(gòu)成的等效力學(xué)模型模擬近似鋼包內(nèi)鋼水晃動(dòng)的情況。圖1 所示質(zhì)量－彈簧－阻尼中的每一個(gè)都代表了鋼水的各個(gè)模態(tài)。

圖1 吊運(yùn)鋼包系統(tǒng)等效力學(xué)模型

鋼包通過(guò)長(zhǎng)度為a的鋼絲繩連接到小車上，小車在水平方向以加速度u‥(t)移動(dòng)，而鋼包在xy平面以擺動(dòng)角θ擺動(dòng)。每個(gè)質(zhì)量塊mi沿鋼包橫軸移動(dòng)，相對(duì)于鋼包具有相對(duì)位移qi(t)；每個(gè)qi(t)代表對(duì)應(yīng)于第i階晃動(dòng)模態(tài)的廣義位移。定義容器質(zhì)心、液體固定質(zhì)量m0和第i個(gè)點(diǎn)質(zhì)量塊mi的位置向量，對(duì)時(shí)間取導(dǎo)數(shù)得到速度向量，進(jìn)而得到容器的動(dòng)能、勢(shì)能，并根據(jù)拉格朗日方程得到全耦合非線性微分方程

式中：lc、l0、li分別為小車到鋼包質(zhì)心、液體固定質(zhì)量m0和第i個(gè)集中質(zhì)量mi的距離，g為重力加速度，ζ、ωi分別為鋼水晃動(dòng)阻尼比和鋼水晃動(dòng)的i階（i＝1，2，…，n）晃動(dòng)模態(tài)頻率。

由等效模型與橫向激勵(lì)下的解析解的力和力矩的等效、自然頻率等效可以求得等效模型參數(shù)[4]，即有

在式（2）、式（3）中，ζ1n為Bessel 第1 類函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)的根，由低到高排列，對(duì)應(yīng)晃動(dòng)頻率的特征值ξ11～ξ15為1.841 2、5.331 4、8.536 3、11.706、14.863。質(zhì)量塊的高度根據(jù)質(zhì)量矩守恒方程：，其中h0為固定質(zhì)量到鋼水質(zhì)心高度h/2 的距離；mf為鋼包內(nèi)鋼水質(zhì)量，mf=ρπR2h，晃動(dòng)阻尼比ζ可表示為

式中：v=μ/ρ為鋼水的運(yùn)動(dòng)粘度，ρ為鋼水的密度，μ為鋼水的動(dòng)力粘度。

系統(tǒng)對(duì)于小車的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

負(fù)載對(duì)小車的等效力矩為

鋼水相對(duì)于其質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為[3]

若鋼包吊運(yùn)系統(tǒng)由靜止開(kāi)始吊運(yùn)，則微分方程滿足初始條件為

式中：θ0、0為鋼絲繩的初始擺角和初始擺動(dòng)速度，qi，0、i，0為質(zhì)量塊質(zhì)量mi相對(duì)于鋼包壁的初始位移和速度。

考慮到鋼水包在實(shí)際工況中以靜止開(kāi)始搬運(yùn)，故運(yùn)動(dòng)方程中的初始條件設(shè)為零初始條件。通過(guò)假設(shè)較小的振蕩角θ和較小的表面波振蕩qi來(lái)線性化，可將式（1）簡(jiǎn)化為

等效模型中鋼水自由液面在鋼包內(nèi)壁處的高度為[4]

式中：δ(t)為鋼包內(nèi)壁液位高度變化，用來(lái)表征等效模型中鋼水晃動(dòng)程度。

為了盡可能地符合生產(chǎn)實(shí)際要求，模型參數(shù)選取了一組具有代表性的參數(shù)，鋼水動(dòng)力粘度系數(shù)隨其溫度、各元素含量等影響，查閱相關(guān)文獻(xiàn)[5]設(shè)置0.02 Pa·s，系統(tǒng)模型詳細(xì)參數(shù)如表1 所示。

表1 鋼包吊運(yùn)系統(tǒng)參數(shù)

2 系統(tǒng)特性分析

鋼水晃動(dòng)主要集中在晃第一階反對(duì)稱模態(tài)[6]，為了使得模型更簡(jiǎn)潔，控制器的設(shè)計(jì)僅考慮第一階反對(duì)稱模態(tài)，然后將模型線性化得到

令x1＝θ，x2＝θ，x3＝q1，x4＝q1，得到狀態(tài)空間方程并化成標(biāo)準(zhǔn)形式。為了分析橋式起重機(jī)系統(tǒng)模型的穩(wěn)定性、能控性、能觀性，將表1 參數(shù)帶入到上述狀態(tài)方程中，即有

由以上關(guān)系解得其特征根為eigA＝[0.807 8i-0.807 8i-0.005+3.528 5i-0.005-3.528 5i]T，特征值均未出現(xiàn)在虛軸的右平面，該系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定性。從物理意義討論，式（6）的模型系統(tǒng)忽略了空氣阻尼等非必要干擾，但因現(xiàn)實(shí)工況下存在抑制阻尼，擺幅會(huì)逐漸減小，最終吊重的擺動(dòng)會(huì)衰減為零，使鋼包吊運(yùn)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。

矩陣A、矩陣C可以評(píng)估可觀測(cè)性，可觀測(cè)性判據(jù)是可觀測(cè)矩陣為滿秩，可表示為

將系數(shù)矩陣A和矩陣C代入式（8） 即有：rankQO=4，由可觀測(cè)性判據(jù)可認(rèn)為該系統(tǒng)是可觀的。常系數(shù)矩陣A及常系數(shù)矩陣B可以評(píng)估可控制性，這2個(gè)矩陣組成的可控性矩陣為滿秩，可表示為

把系數(shù)矩陣A和矩陣B帶入式（9） 即有：rankQc=4，根據(jù)可控性判據(jù)可認(rèn)為系統(tǒng)是可控的。

3 光滑整形控制介紹

輸入整形算法是將小車的控制信號(hào)經(jīng)過(guò)整形后輸入到系統(tǒng)中，從而消除搖擺。利用滑車的速度變化控制擺角大小是一種前饋控制方法，廣泛應(yīng)用于起重機(jī)防搖擺。在當(dāng)前電子防搖中，大多需要安裝吊重?cái)[角傳感器，成本較高，而在輸入整形算法控制中無(wú)需實(shí)時(shí)測(cè)量吊重的擺角，可以大幅節(jié)約成本[7]。雖然輸入整形控制為開(kāi)環(huán)控制，受風(fēng)力等外界因素的影響較大，而吊運(yùn)鋼包的吊運(yùn)鋼包的起重機(jī)位于室內(nèi)廠房，故采用該算法的經(jīng)濟(jì)性非常高。光滑整形算法原理如圖2 所示。

圖2 輸入整形算法原理圖

首先確定幅值，以保證增益在整形前后的幅值相同，設(shè)定整形控制器脈沖幅值之和為1，。為了使系統(tǒng)不發(fā)生超調(diào)現(xiàn)象，整形控制器脈沖幅值應(yīng)全部為正數(shù)，則Ai＞0。為了提高系統(tǒng)響應(yīng)速度，最大程度地減小延遲時(shí)間，則t1=0；而實(shí)際上，輸入整形控制器延遲脈沖的延遲時(shí)間應(yīng)全部為正數(shù)，則ti＞0。

加入輸入整形控制器，系統(tǒng)對(duì)單位脈沖響應(yīng)為

將式（10）進(jìn)行三角級(jí)數(shù)展開(kāi)然后變形可得

其中

式中：ωn為固有頻率，ξ為系統(tǒng)阻尼比，ωd為阻尼振蕩頻率。

對(duì)式(10)和式(11)進(jìn)行比較，即可得到殘留振蕩為

對(duì)于墨西哥而言，發(fā)展竹建筑的意義不僅僅是出于經(jīng)濟(jì)方面的考慮，還可以緩解5個(gè)世紀(jì)以來(lái)土著群體所受的社會(huì)壓迫。墨西哥土著居民盡管被殖民化，但他們的傳統(tǒng)仍然存在，而且他們的生產(chǎn)潛力也仍然存在。正如墨西哥諺語(yǔ)所說(shuō)“他們?cè)噲D埋葬我們，但他們不知道我們是種子”。

為了抑制振蕩，只要令C（ωn，ξ）、C（ωn，ξ）關(guān)于ωn的各階導(dǎo)數(shù)等于零，然后聯(lián)立、t1=0 即可得到光滑整形控制器的脈沖幅值A(chǔ)i和延時(shí)ti為

其中

式中：T為系統(tǒng)振動(dòng)周期。

通過(guò)以上計(jì)算，分別求得整形器的幅值和延時(shí)即可設(shè)計(jì)光滑整形器，然后利用Simulink 建立級(jí)聯(lián)光滑整形器仿真，如圖3 所示。

圖3 級(jí)聯(lián)光滑整形器Simulink 仿真圖

4 算例研究

為了探索鋼包吊運(yùn)系統(tǒng)在極限工況時(shí)的系統(tǒng)響應(yīng)，分析不同光滑整形器的控制效果，本文采用較大加速度曲線對(duì)系統(tǒng)施加驅(qū)動(dòng)，在表1 所示系統(tǒng)參數(shù)及外部激勵(lì)作用下，采用3 種整形控制器分別對(duì)鋼包吊運(yùn)系統(tǒng)進(jìn)行振蕩抑制，這3 種整形控制器的效果如圖4 ～圖8 所示。

圖4 加速度曲線圖

圖5 速度曲線圖

圖6 小車位移曲線圖

圖7 鋼絲繩擺角圖

圖8 鋼水晃動(dòng)響應(yīng)

由圖4 可知，在加入ZV 整形控制器后，系統(tǒng)的輸入加速度幅值減半，但整個(gè)驅(qū)動(dòng)過(guò)程相比于原加速曲線延時(shí)了約4 s；在加入雙ZV 級(jí)聯(lián)整形控制器后，加速度曲線進(jìn)一步平滑，但其加速度延時(shí)相比于ZV 整形控制器基本不變；當(dāng)加入雙ZVD 級(jí)聯(lián)整形控制器后，加速度曲線進(jìn)一步平滑，但加速度曲線延時(shí)至23 s 附近；當(dāng)加入雙ZVDD 級(jí)聯(lián)整形控制器后，加速度曲線幅值進(jìn)一步降低，變得更加平滑，但穩(wěn)定時(shí)間延時(shí)至29 s 附近。

由圖5 可知，當(dāng)加入ZV 整形控制器后，小車速度曲線的斜率有降低，勻速運(yùn)行時(shí)間減小，且小車停止時(shí)間增加了約4 s；當(dāng)加入雙ZV 級(jí)聯(lián)整形控制器后，小車的速度曲線斜率和小車停止的時(shí)間基本不變；當(dāng)加入雙ZVD 級(jí)聯(lián)整形控制器后，小車速度曲線斜率繼續(xù)降低，且小車勻速運(yùn)行時(shí)間幾乎減小到零，小車停止時(shí)間延時(shí)至23 s 附近；當(dāng)加入雙ZVDD 級(jí)聯(lián)整形控制器后，小車的最大速度有所減小，小車停止的時(shí)間增加至28 s附近。

由圖6 可知，從小車的位移曲線可以看到5 種方案都能將小車送達(dá)指定位置，但相比于未整形方案加入整形控制器后，到達(dá)指定位置的時(shí)間有所延長(zhǎng)，且引入的整形控制器越復(fù)雜，則小車到達(dá)指定位置的時(shí)間越長(zhǎng)。

由圖7 可知，未加入整形控制器的鋼絲繩擺角非常大，在極限加速度驅(qū)動(dòng)下，鋼絲繩最大擺角達(dá)到了30°以上，這對(duì)起重機(jī)特別是鋼水包吊運(yùn)來(lái)說(shuō)非常危險(xiǎn)。然而，在加入整形控制器后，鋼絲繩擺角得到較大改觀。當(dāng)加入ZV 整形控制器后，鋼絲繩的最大擺角降到8.5°左右，在17.5 s 以后擺角下降至2°以內(nèi)；當(dāng)加入雙ZV 級(jí)聯(lián)整形控制器后，鋼絲繩白響應(yīng)與ZV 整形控制器結(jié)果基本一致；當(dāng)加入雙ZVD 級(jí)聯(lián)整形控制器后，鋼絲繩最大擺角下降到5°以內(nèi)，且在22 s 以后下降到1°以內(nèi)；當(dāng)加入雙ZVDD 級(jí)聯(lián)整形控制器后，鋼絲繩的最大擺角下降到4°以內(nèi)，且在25 s 以后基本做到了0 振蕩。

由圖8 可知，未加入整形控制器的鋼水最大晃動(dòng)達(dá)到12 cm，這對(duì)鋼水運(yùn)輸來(lái)說(shuō)非常危險(xiǎn)。在加入ZV整形控制器后，晃動(dòng)的最大的幅值下降至5 cm，在18 s 后殘余晃動(dòng)幅值也能保持在3 cm 以內(nèi)；當(dāng)加入雙ZV 級(jí)聯(lián)整形控制器后，鋼水晃動(dòng)的最大幅值下降至2 cm 左右，在20 s 后鋼水晃動(dòng)基本為零震蕩；在加入雙ZVD 及ZVDD 級(jí)聯(lián)整形控制器后，鋼水晃動(dòng)的幅值進(jìn)一步減小，分別達(dá)到1 cm 和0.5 cm，且在25 s 后使鋼水晃動(dòng)為零震蕩。

5 結(jié)論

鋼包吊運(yùn)系統(tǒng)的定位防擺在重型鑄造行業(yè)具有非常重要的意義，由于我國(guó)大多依據(jù)工人經(jīng)驗(yàn)手動(dòng)消擺，精度差穩(wěn)定性低。為此，根據(jù)鑄造起重機(jī)吊運(yùn)鋼水的特殊作業(yè)狀態(tài)，建立吊運(yùn)系統(tǒng)等效力學(xué)模型，通過(guò)建立鋼包吊運(yùn)系統(tǒng)的質(zhì)量－彈簧－阻尼模型推導(dǎo)出運(yùn)動(dòng)方程。采用雙級(jí)聯(lián)光滑整形器對(duì)鋼包吊運(yùn)系統(tǒng)進(jìn)行安全快速精準(zhǔn)定位控制。結(jié)果表明：光滑整形器不僅可以消除小車停止后鋼絲繩殘余擺角和鋼水晃動(dòng)，還能保證整個(gè)吊運(yùn)過(guò)程中鋼絲繩擺角和鋼水晃動(dòng)始終保持較低水平。采用更復(fù)雜的光滑整形控制器控制效果會(huì)更好，但計(jì)算成本及系統(tǒng)穩(wěn)定的時(shí)間將會(huì)增加。在實(shí)際工程應(yīng)用當(dāng)中，出于經(jīng)濟(jì)上的考慮，在滿足控制目標(biāo)的前提下，應(yīng)當(dāng)盡可能地降低整形控制器復(fù)雜度。