秦仙蓉 趙俊陸 王玉龍 張 氫 孫遠(yuǎn)韜

同濟(jì)大學(xué)機(jī)械與能源工程學(xué)院 上海 201804

0 引言

地震反應(yīng)譜分析由美國(guó)學(xué)者Biot M A 在20 世紀(jì)40年代提出的[1]，描述了不同自振頻率的彈性單自由度系統(tǒng)中相同阻尼比在地震激勵(lì)下產(chǎn)生的最大響應(yīng)與自振周期的關(guān)系[2]，廣泛應(yīng)用于結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)過程中。

反應(yīng)譜分析將結(jié)構(gòu)模態(tài)分析結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范中建議的地震譜結(jié)合，無需進(jìn)行瞬態(tài)響應(yīng)分析即可快速預(yù)估結(jié)構(gòu)各階模態(tài)響應(yīng)的最大值，在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)階段應(yīng)用廣泛。有資料顯示：2008 年某地發(fā)生地震時(shí)，距之600 km 外的某市有多臺(tái)塔式起重機(jī)發(fā)生不同程度的損壞[3]，這表明塔式起重機(jī)的抗震能力必須予以充分重視。

塔式起重機(jī)是工作于各大施工、建造現(xiàn)場(chǎng)的一類起重機(jī)械，其結(jié)構(gòu)高大輕柔，多采用空間桁架結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)形式和結(jié)構(gòu)性能與一般土木結(jié)構(gòu)有顯著區(qū)別。在工程實(shí)際中，塔式起重機(jī)結(jié)構(gòu)有限元建模很多采用Ansys 平臺(tái)[4]，但現(xiàn)有文獻(xiàn)資料中有關(guān)基于Ansys 的塔式起重機(jī)地震反應(yīng)譜分析流程不甚清晰，容易產(chǎn)生不合理結(jié)果。為此，本文利用單自由度和二自由度系統(tǒng)的理論計(jì)算和Ansys 分析的對(duì)比，標(biāo)定地震反應(yīng)譜的分析流程，并對(duì)某型塔式起重機(jī)進(jìn)行地震反應(yīng)譜分析。

1 反應(yīng)譜分析的理論基礎(chǔ)

基于模態(tài)疊加的思路，反應(yīng)譜分析是根據(jù)工作地點(diǎn)的地震歷史記錄得到的地震譜預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)。這種方法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行線性化假設(shè)，并且是基于單自由度系統(tǒng)振動(dòng)理論的響應(yīng)預(yù)測(cè)，不涉及復(fù)雜耗時(shí)的瞬態(tài)響應(yīng)分析。結(jié)構(gòu)的r階模態(tài)加速度響應(yīng)可用r階模態(tài)位移qnr近似表示[5]，即

其中

式中：ωnr為r階模態(tài)圓頻率，pnr為r階地震激勵(lì)系數(shù)，｛φnr｝為r階正則振型，｛M｝為系統(tǒng)質(zhì)量矩陣對(duì)角元構(gòu)成的列向量，gr為對(duì)應(yīng)于r階模態(tài)頻率的地震加速度。

根據(jù)規(guī)范中給出的地震影響系數(shù)曲線[6]取值，得到圖1 所示曲線。在圖1 中，α為地震影響系數(shù)，代表地震加速度與重力加速度的比值；T為結(jié)構(gòu)r階自振周期；η1為直線下降段的下降斜率調(diào)整系數(shù)；γ為衰減系數(shù)；Tg為設(shè)計(jì)特征周期；η2為阻尼調(diào)整系數(shù)。由此，衰減系數(shù)可表示為

圖1 地震影響系數(shù)曲線

2 基于Ansys 的地震反應(yīng)譜分析流程

基于有限元軟件Ansys 的地震反應(yīng)譜分析的主要流程為：1）建立結(jié)構(gòu)有限元模型；2）根據(jù)類似圖1的地震加速度譜確定需要提取的模態(tài)階次，利用Ansys模態(tài)分析模塊獲得結(jié)構(gòu)在地震影響頻段的模態(tài)特征，即模態(tài)頻率和正則振型；3）根據(jù)模態(tài)分析得到的模態(tài)頻率和圖1 定義地震加速度譜；4）將流程3）中定義的地震加速度譜施加于模型的對(duì)應(yīng)基礎(chǔ)的對(duì)應(yīng)方向上，利用Ansys 的譜分析模塊完成結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)譜分析。5）根據(jù)要求對(duì)模態(tài)響應(yīng)進(jìn)行綜合，可得結(jié)構(gòu)的支反力/支反力矩以及各個(gè)位置的響應(yīng)（如變形、應(yīng)變、應(yīng)力等）。

r階模態(tài)對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)慣性力｛Fr｝的計(jì)算式為

對(duì)所有節(jié)點(diǎn)某一方向的慣性力矢量求和，得到系統(tǒng)在該方向的支反力；由各節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)及該節(jié)點(diǎn)的慣性力求得對(duì)應(yīng)的支反力矩，然后對(duì)所有節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的支反力矩求和可得系統(tǒng)的支反力矩。

在求得各階模態(tài)對(duì)應(yīng)的支反力/支反力矩及各種響應(yīng)后，按照模態(tài)合并方法合并各階模態(tài)的效應(yīng)，得出節(jié)點(diǎn)k的節(jié)點(diǎn)位移qk根據(jù)振型組合方法 (Square Root of the Sum of the Squares，SRSS)[7，8]進(jìn)行模態(tài)合并的對(duì)應(yīng)公式，即

式中：r為模態(tài)階次，N為需要合并的模態(tài)總數(shù)，qk為節(jié)點(diǎn)k的r階模態(tài)位移。

圖2 為利用Ansys 進(jìn)行地震反應(yīng)譜分析的流程歸納總結(jié)。本文構(gòu)造1 個(gè)單自由度系統(tǒng)和1 個(gè)二自由度系統(tǒng)，分別利用理論計(jì)算和Ansys 模擬進(jìn)行反應(yīng)譜分析，對(duì)比分析這2 種方法所得的結(jié)果可實(shí)現(xiàn)對(duì)以上Ansys 分析流程的標(biāo)定。

圖2 基于Ansys 的地震反應(yīng)譜分析流程圖

在本文分析中，地震加速度譜根據(jù)圖1 和式（2）的參數(shù)取值，地震烈度取7，基本地震加速度值為0.10g，設(shè)計(jì)地震分組為第2 組，對(duì)應(yīng)取αmax＝0.12，Tg＝0.40 s，阻尼比ζ＝0.01。

2.1 單自由度系統(tǒng)

在Ansys 軟件中，構(gòu)建圖3 所示單自由度系統(tǒng)的有限元模型，集中質(zhì)量和無質(zhì)量梁分別用Mass 21 和Beam 189 單元模擬。為簡(jiǎn)化問題，不計(jì)方向效應(yīng)，只計(jì)m的x方向自由度，對(duì)應(yīng)地只在x方向施加地震加速度。

圖3 地震反應(yīng)譜分析標(biāo)定的單自由度系統(tǒng)力學(xué)模型

由模態(tài)分析可知，系統(tǒng)的固有頻率和固有周期分別為0.92 Hz、1.09 s，根據(jù)圖1 和式（2）可得地震加速度g＝0.605 568 m/s2。對(duì)于單自由度系統(tǒng)，地震激勵(lì)系數(shù)取1，則由式（1）可得m的位移為0.018 2 m。根據(jù)上述流程利用Ansys 的譜分析功能完成的地震反應(yīng)譜分析所得結(jié)果為0.018 167 m，與理論計(jì)算結(jié)果合理一致。由于地震激勵(lì)系數(shù)取1，支反力Rx和支反力矩Mz按反應(yīng)譜分析理論應(yīng)分別為

代入數(shù)值即可得到支反力與支反力矩的理論計(jì)算如表1，其結(jié)果均與Ansys 分析結(jié)果合理一致。

表1 單自由度振動(dòng)系統(tǒng)標(biāo)定計(jì)算結(jié)果

2.2 二自由度系統(tǒng)

在Ansys 中建立圖4 所示二自由度系統(tǒng)的有限元模型，與單自由度系統(tǒng)一致，采用Mass 21 和Beam 189 單元完成系統(tǒng)有限元建模。取系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)為{q(t)}＝ [q1(t)q2(t)]T，進(jìn)行模態(tài)分析可得該系統(tǒng)的模態(tài)頻率和正則振型矩陣，即

圖4 地震譜反應(yīng)譜分析標(biāo)定的二自由度系統(tǒng)力學(xué)模型

對(duì)應(yīng)的地震激勵(lì)系數(shù)由pnr＝{φnr}T[m1m2]T得到，分別為2.809 2 kg、1.581 475 kg。由頻率根據(jù)圖1 和式（2）可得，該系統(tǒng)2 階模態(tài)對(duì)應(yīng)的地震加速度為g1＝0.551 178 m/s2，g2＝1.666 m/s2。由此，模態(tài)節(jié)點(diǎn)力可按式（3）計(jì)算，模態(tài)支反力Rxr等于所有模態(tài)節(jié)點(diǎn)力的矢量和。對(duì)于圖4 所示的二自由度系統(tǒng)，支反力矩的計(jì)算公式為

模態(tài)位移{qnr}的計(jì)算公式為

在求得各階模態(tài)位移、模態(tài)支反力和模態(tài)支反力矩后，可根據(jù)對(duì)應(yīng)模態(tài)合并法則對(duì)各階模態(tài)的效應(yīng)進(jìn)行合并，得到系統(tǒng)的位移、支反力和支反力矩。按照SRSS法則，以位移為例，可由式（4）計(jì)算而得。由表2 所示二自由度系統(tǒng)的標(biāo)定結(jié)果可以看出，理論計(jì)算結(jié)果與Ansys 分析結(jié)果合理且一致。在圖4 所示二自由度系統(tǒng)在地震譜分析過程中，由Ansys 軟件的NSOL 和PLVAR 命令輸出的正則振型分量如圖5 所示。

表2 二自由度振動(dòng)系統(tǒng)標(biāo)定計(jì)算結(jié)果

圖5 二自由度系統(tǒng)輸出的x 方向正則振型分量

3 某型塔式起重機(jī)的地震反應(yīng)譜分析

如圖6 所示，QTZ125 型塔式起重機(jī)到塔身高度50 m，起重臂長(zhǎng)65 m，在Ansys 平臺(tái)建立其有限元模型。塔式起重機(jī)有限元模型主體用Beam 189 單元，拉桿用只能受拉的Link 10 單元，配重、回轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)、起升機(jī)構(gòu)、吊重吊具等集中布置的部件用Mass 21 單元模擬，在塔式起重機(jī)基礎(chǔ)節(jié)插入混凝土部分的4 個(gè)角點(diǎn)及基礎(chǔ)節(jié)與加強(qiáng)節(jié)的連接處施加全約束。起重臂各臂節(jié)之間的連接、塔帽與起重臂和平衡臂拉桿兩端的連接、塔身與起重臂和平衡臂連接均按鉸接處理。建立的塔式起重機(jī)有限元模型有近7 000 個(gè)單元，13 000 多個(gè)節(jié)點(diǎn)，自由度總數(shù)超過60 000。

圖6 QTZ125 型塔式起重機(jī)示意圖

提取塔式起重機(jī)15 Hz以內(nèi)的模態(tài)，得到30 階模態(tài)，模態(tài)頻率與模態(tài)周期如圖7 所示。振型根據(jù)前述給出的地震反應(yīng)譜理論應(yīng)為正則振型，輸出時(shí)按質(zhì)量歸一化。各階阻尼比均取0.01，根據(jù)圖1、式 (2) 和圖7 可得塔式起重機(jī)的地震加速度譜。

圖7 某型塔式起重機(jī)的模態(tài)頻率和固有周期

沿起重臂的2 個(gè)水平方向（分別平行于和垂直于起重臂的軸線方向）施加地震加速度譜，經(jīng)模態(tài)擴(kuò)展與模態(tài)合并后得到表3 所示支反力、支反力矩、最大變形及應(yīng)力結(jié)果，對(duì)應(yīng)的應(yīng)力云圖和位移云圖如圖8 所示。由分析結(jié)果可以看出，塔式起重機(jī)2 個(gè)方向的抗震性能不同，在x方向和z方向施加地震加速度譜可分別獲得最大變形和最大應(yīng)力，這2 種工況的最大變形為196 mm，最大應(yīng)力為93 MPa。在z方向施加加速度譜得到的變形更小，說明塔式起重機(jī)模型在z方向的抗震能力更強(qiáng)。

圖8 塔式起重機(jī)地震反應(yīng)譜分析得到的應(yīng)力云圖和位移云

4 結(jié)論

本文對(duì)基于Ansys 的反應(yīng)譜分析流程進(jìn)行標(biāo)定，以某型塔式起重機(jī)為例進(jìn)行了地震反應(yīng)譜分析。地震反應(yīng)譜分析的主要流程為：1）建立結(jié)構(gòu)有限元模型；2）根據(jù)地震加速度譜確定提取的模態(tài)階次，并獲取模態(tài)特征；3）定義地震加速度譜；4）完成結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)譜分析；5）對(duì)模態(tài)響應(yīng)進(jìn)行綜合。

為了驗(yàn)證地震反應(yīng)譜分析流程的正確性，本文構(gòu)建了一個(gè)單自由度和一個(gè)二自由度系統(tǒng)，分別利用理論計(jì)算和Ansys 數(shù)值模擬完成了這2 個(gè)系統(tǒng)的地震反應(yīng)譜分析，分析對(duì)比2 種方法所得結(jié)果實(shí)現(xiàn)了對(duì)Ansys 地震反應(yīng)譜分析流程的標(biāo)定。依據(jù)經(jīng)理論標(biāo)定的分析流程，對(duì)該塔式起重機(jī)進(jìn)行了地震反應(yīng)譜分析。根據(jù)分析結(jié)果在垂直于臂架方向施加地震加速度譜，得到的結(jié)果顯示，塔式起重機(jī)模型發(fā)生的變形更小，說明在垂直于模型臂架方向具有更強(qiáng)的抗震性能。