馮 開 南 英 王 昕 晁澤睿

（南京航空航天大學自然控制實驗室 南京 211100）

1 引言

隨著現代戰(zhàn)爭模式逐漸向著高技術、信息化、遠程控制方向發(fā)展，空中武器的使用愈加頻繁，各國對武器的精確性和實時控制性有著越來越高的要求［1］。在面對敵方來襲目標飛行器時，空空導彈的攔截是防御系統(tǒng)的重要組成部分［2］，能有效提高自衛(wèi)飛機或友軍目標的生存能力，在導彈群協同一體化攔截對方多飛行器目標時，可以依照每個攔截彈的動態(tài)可攔截區(qū)實時在線地分配攔截目標，對集群的目標分配有重大意義［3］。因此，對空空導彈的攔截特性動態(tài)可攔截區(qū)的研究有著非常重要的意義［4］。

計算可攔截區(qū)時，綜合考慮到各種因素。第一，導彈自身的參數，例如導彈的結構參數、發(fā)動機特性、氣動特性、導彈機動能力［5］。第二，導彈和目標之間關系，例如導彈與目標的相對位置、目標特性、目標的速度矢量、目標的機動能力［6］。第三，外部隨機因素的干擾，例如，隨機風場干擾、各系統(tǒng)中的隨機誤差和控制誤差［7］。

空空導彈的動態(tài)可攔截區(qū)是導彈在攔截過程中實時可攔截的范圍［2］，與傳統(tǒng)的射后可攔截區(qū)相比，具有實時性、高效性、準確性、適用性等多種優(yōu)勢［8］。傳統(tǒng)算法計算可攔截區(qū)包括二分法或黃金比例法等［9］，運算量較大，周期較長，運算速度受到限制，很難實時滿足戰(zhàn)場瞬息萬變的局勢［10］。

本文采用一種基于脫靶量的平移數值算法，大大減少了計算量，提高了計算速度［11］，可以做到快速并高精度地優(yōu)化可攔截區(qū)的邊界［12］。并且在攔截各種目標時，針對不同機動方式的目標，分別計算出其可攔截區(qū)的內外邊界進行對比［13］?？梢钥闯鲈摲椒ㄓ嬎憧蓴r截區(qū)，具有實時、在線、快速等特點的同時［14］，對不同類型目標都可適用，具有很強的普適性［15］。

2 問題描述

空空導彈的動態(tài)可攔截區(qū)是指空空攔截導彈發(fā)射后，沿自身彈道飛行過程中，在發(fā)射tM時間后，在諸多外部限制條件下，能夠有概率命中目標的區(qū)域，即：

其中，(Rmax，Rmin，Lmax，Dmax)|t=tM分別表示空空導彈射后tM時刻可攻擊區(qū)的外邊界、內邊界、左側邊界、右側邊界；(h，ν，ψν，γ)|t=tM分別表示空空導彈沿著自身彈道飛行tM時間后的所在高度，飛行速度，軌跡偏角，軌跡傾角；(nT)|t=tM表示機動目標沿著自身彈道飛行tM時間后的機動過載；N1，N2，N3，...為其他限制條件，如目標飛行器的機動類型、目標飛行器的最大機動過載、導彈最大可用過載、導彈推進系統(tǒng)、風場作用力的影響及系統(tǒng)中其他的干擾因素等。機動目標有其自身的突防對策，即機動過載nT隨時間的變化策略。本文主要研究機動目標的突防對策對攔截該目標的空空導彈的動態(tài)可攔截區(qū)各邊界(Rmax，Rmin，Lmax，Dmax)的影響。

3 數學模型

3.1 攔截導彈的運動學與動力學模型

對于導彈3 自由度的運動方程，主要描述的是導彈的質心運動狀態(tài)，主要考慮氣動力、推力以及重力等。在討論導彈繞質心的運動特性或對稱姿態(tài)運動時，一些次要因素是可以忽略的，如地球自轉、扁率、地球半徑的變化等。

給出導彈一般運動方程組如下：

式中：(xm，ym，zm)分別表示導彈位置的經度、高度、緯度；(Vm，θm，ψνm)分別表示導彈飛行時的速度、彈道傾角、彈道偏角。

3.2 制導律模型

攔截導彈的制導律采用比例導引法，在速度坐標系中，利用式（5）～（7）可以計算出攔截導彈在導彈速度坐標系的指令加速度：

式中，n1，n2，n3，km是比例系數；˙是攔截彈與目標相對距離對時間的偏導數，即攔截彈與目標之間的相對速度；，，是導彈導引頭的轉動速度投影在導彈速度坐標軸上的分量；aTx，ν，aTy，ν，aTz，ν是目標的飛行的加速度投影在導彈速度坐標軸上的分量；，，是導彈導引頭的轉動速度投影在導彈速度坐標軸上的分量，攔截導彈在導彈速度坐標系的指令加速度可以通過矩陣轉化為地面坐標系的指令加速度。

3.3 目標的數學模型

式中，下標T代表目標，aTx，aTy，aTz是目標的飛行的加速度投影在笛卡爾坐標軸上的分量。通過設定其隨時間變化的函數，即可產生不同類型的機動突防飛行軌跡。

4 導彈動態(tài)可攔截區(qū)計算方法

4.1 確定可攔截區(qū)邊界點

根據空空攔截導彈和不同機動方式的目標的數學模型與飛行狀態(tài)，改進傳統(tǒng)的平移數值算法，將每次平移的數值基于脫靶量來確定，對導彈可攔截區(qū)的可攔截內外邊界進行初步解算，建立導彈可攔截區(qū)邊界點的數據庫。

將攔截導彈與目標之間的距離初始值設置為明顯大于導彈最大攔截距離或明顯小于導彈最小攔截距離，保證可以讓導彈脫靶。將空空導彈相對目標的接近速度、空空導彈的工作時間、過載、視線俯仰角、視線方位角等指標取最大或最小值，作為最大或最小可攔截區(qū)的約束條件。根據脫靶量判向內或向外平移目標飛行器，平移的距離依據脫靶量的大小設置，作為下次迭代計算的初始值位置，如此循環(huán)計算求出邊界，計算流程圖如圖1所示。

圖1 可攔截區(qū)計算流程

4.2 多種目標的攔截軌跡及攻擊區(qū)

4.2.1 動態(tài)可攔截區(qū)的實時變化

與傳統(tǒng)的射前可攔截區(qū)相比，動態(tài)可攔截區(qū)能做到實時計算，實時變化，針對目標的不同運動狀態(tài)，不同時刻，都能實時計算出可攔截區(qū)。選取迎向攻擊直線運動目標為例，計算出攔截彈發(fā)射時刻與發(fā)射一段時間后的動態(tài)可攔截區(qū)，仿真結果如圖2。

圖2 迎擊目標直線運動動態(tài)可攔截區(qū)與軌跡

其中紅色與黑色線條分別表示攔截導彈與目標的運動軌跡，在其軌跡上取藍色、橙色、黑色、品紅色四點，分別為發(fā)射時刻、發(fā)射后5s、發(fā)射后20s、發(fā)射后40s 的導彈與目標所在位置，并有顏色相同的可攔截區(qū)與之對應。仿真計算表明，可攔截區(qū)的邊界在飛行攔截過程中不斷發(fā)生變化，所以進行實時計算與更新是有必要的。

4.2.2 內外邊界與攔截軌跡

考慮到目標機動方式的多樣性，選取幾種典型的目標機動方式對其進行攔截，通過C++程序進行計算，得到動態(tài)可攔截區(qū)，取其發(fā)射時刻的內外邊界畫出圖像，并選取其中一個攔截目標的算例，得到將攔截彈與目標的軌跡圖像，利用Matlab畫出圖例如圖3～8。

圖3 迎擊目標直線運動可攔截區(qū)與軌跡

圖4 尾擊目標直線運動可攔截區(qū)與軌跡

圖5 迎擊目標U型運動可攔截區(qū)與軌跡

圖6 尾擊目標U型運動可攔截區(qū)與軌跡

圖7 目標sin型機動可攔截區(qū)與軌跡

如圖3～圖8所示，藍色圓點表示攔截導彈發(fā)射點，設置為（0，10km，0），藍色線條表示目標飛行軌跡，紅色線條表示攔截導彈飛行軌跡，品紅色圓點表示計算得到的發(fā)射時刻可攔截區(qū)內邊界，黑色圓點表示發(fā)射時刻可攔截區(qū)的外邊界，選取的攔截軌跡算例是在外邊界計算時獲取的。

圖8 目標螺旋機動可攔截區(qū)與軌跡

4.2.3 攔截不同機動目標時導彈數據對比

如圖9～圖12 所示，分別表示導彈在射后至燃料耗盡時間內速度、加速度、軌跡傾角、軌跡偏角隨時間的變化過程，由圖可以看出，在追擊不同機動目標時，導彈速度、加速度、軌跡傾角、軌跡偏角會根據目標的不同運動狀態(tài)自適應地調節(jié)，以便更精確地追蹤目標。

圖9 導彈速度隨時間變化曲線

圖10 導彈加速度隨時間變化曲線

圖11 導彈軌跡傾角隨時間變化曲線

圖12 導彈軌跡偏角隨時間變化曲線

4.2.4 不同機動方式內外邊界對比

由圖13～15 明顯看出，在其他條件相同時，可攔截區(qū)的邊界大小與目標的機動方式有關，當目標速度一定時，可攔截區(qū)由內而外，由小到大的排序依次為尾擊直線運動、尾擊U 型機動、sin 型機動、螺旋機動、迎擊U 型機動、迎擊直線運動。這個現象對分析可攔截區(qū)的大小邊界有著引導性作用。

圖13 目標不同機動可攔截區(qū)X-Y平面對比

圖14 目標不同機動可攔截區(qū)X-Z平面對比

圖15 目標不同機動可攔截區(qū)三維對比

5 結語

本文為了更高精度、更快速地計算導彈動態(tài)可攔截區(qū)，基于數值平移法的原理進行優(yōu)化，提出了根據脫靶量快速迭代計算可攔截區(qū)的邊界值，大大減少了計算量，計算結果與實際仿真解算的可攔截區(qū)邊界點誤差很小，且能夠進行實時、快速、在線計算。并針對六種不同機動軌跡的目標進行了有效攔截，并對攔截各種機動目標的導彈軌跡以及數據進行分析比較。在實際作戰(zhàn)過程中，可以首先判斷突防飛行器的機動策略，做出相應的攔截策略，實時判斷可攔截區(qū)與攔截時間。在作戰(zhàn)過程中的導彈攻防對抗、群體導彈攔截一體化協同等方面，有很強的工程實際意義。