楊云龍

（大連海事大學理學院 遼寧 大連 116026）

1 研究背景

全面落實以學生為中心是貫徹執(zhí)行黨的二十大精神和全國教育工作會議精神，提高人才培養(yǎng)質量和實現(xiàn)三全育人的重要舉措，在培養(yǎng)新時代接班人等方面具有重要的戰(zhàn)略意義。以學生為中心的教學就是在教學中將學生作為教學環(huán)節(jié)的中心，在教學中將學生當作主要的參與者，將學生作為研究學習的對象，促進學生人格的培養(yǎng)、綜合素質的提高、分析問題和解決問題能力及學習能力的提升。

矩陣理論作為研究生數(shù)學公共基礎課，不僅是大學本科線性代數(shù)課程的延續(xù)，而且是模式識別、圖像處理、人工智能等實際應用領域的數(shù)學理論基礎，在課程體系中承載著拓寬學生視野，樹立學生科學精神的重要作用。通過課前的問卷調查，結果反映出學生對線性代數(shù)等大學數(shù)學知識的掌握程度差別較大，學生對大學數(shù)學知識的掌握參差不齊，要解決上述問題，同時體現(xiàn)課程的綜合應用性和知識的高階性，與其他課程協(xié)同實現(xiàn)育人目標，分層次教學是必然選擇。受學時限制，傳統(tǒng)課堂的分層次教學不易實現(xiàn)，而混合式教學可根據(jù)知識點的難易程度，通過網(wǎng)絡資源對知識進行模塊化處理，為不同知識層次的學生搭建不同難度和不同主線的課程內容，因材施教，不僅體現(xiàn)課程的高階性，而且符合國家的教育數(shù)字化戰(zhàn)略。

美國實用主義教育家杜威的“以兒童為中心”是“以學生為中心”教育理念的起源。2011 年華中科技大學校長李培根在《以學生為中心的教育：一個重要的戰(zhàn)略轉變》中明確提出“以學生為中心”的教育，關乎大學的核心理念，關乎大學精神與文化，關乎學校未來發(fā)展戰(zhàn)略。

當前，以學生為中心的混合式教學在數(shù)學研究生課程中的實踐研究甚少，多集中于本科階段的公共基礎課程[1-10]和數(shù)學專業(yè)課[11-12]，分層次教學模式在數(shù)學線下課程，尤其本科階段的高等數(shù)學等數(shù)學類公共基礎課中進行了相當程

度的實踐探索，參見文獻[13-16]。在如化學[17]和計算機[18]等具有實驗操作的學科，分層次混合式教學模式也已得到嘗試。文章從研究生的矩陣理論課程實際現(xiàn)狀出發(fā)，探索以學生為中心的混合式教學模式，不僅滿足自身課程建設以及完成研究生培養(yǎng)目標的需要，而且對其他研究生數(shù)學公共基礎課也有一定借鑒意義。

2 “矩陣理論”改革舉措

本文基于以學生為中心的教育理念，重塑大連海事大學研究生數(shù)學類公共基礎課“矩陣理論”課程框架內容，構成多層次多目標的學習任務，通過“課前—課中—課后”教學過程閉環(huán)，融入課程思政內容，三位一體地實現(xiàn)全面育人的培養(yǎng)目標。

結合學生的專業(yè)特點，修訂課程內容，嘗試將授課內容分成A（基礎）、B（提高）和C（拓展）三個層次，探索與知識點對應的課程思政元素，具體實施細節(jié)包括：

2.1 課程內容分級

課程中的A（基礎）層次知識點包括：矩陣的基本運算（包括矩陣的加法、數(shù)乘、乘法、轉置，方陣的行列式、逆矩陣、跡、共軛矩陣、矩陣的分塊）及性質，方陣的特征值和特征向量，正規(guī)矩陣，正定矩陣和半正定矩陣，正交矩陣，酉矩陣，Hermite 矩陣，矩陣的Smith 標準形，向量范數(shù)和矩陣范數(shù)，行列式因子、不變因子、初等因子，線性空間的定義與例子、線性空間的維數(shù)、基與坐標，子空間及其運算（包括子空間的和、交、直和），線性變換、正交變換、對稱變換，實內積與歐氏空間，矩陣的三角分解（包括LU 分解、Choleskey分解、QR分解）與滿秩分解，矩陣冪級數(shù)與矩陣函數(shù)。

課程中的B（提高）層次知識點包括：矩陣的譜分解、矩陣的奇異值分解、Reyleigh 商與圓盤定理，不變子空間，核空間和像空間，復內積與酉空間，向量或矩陣求導，因式分解定理，零化多項式和最小多項式，矩陣的Jordan標準形，矩陣函數(shù)與微分方程組的解，廣義逆矩陣及其應用。

課程中的C（拓展）層次知識點包括：兩氣象場交叉相關系數(shù)計算，聲學系統(tǒng)的動態(tài)分析，電網(wǎng)薄弱環(huán)節(jié)辨識的數(shù)據(jù)表征，奇異值分解在信號處理中的應用，矩陣旋轉與特征提取，數(shù)據(jù)降維與主成分分析。

2.2 思政元素融入

針對不同層次的知識內容，確立以培養(yǎng)數(shù)學思維、樹立科學精神、抱有家國情懷、欣賞數(shù)學之美、探索生活實踐、掌握哲學思辨為導向的課程思政元素融入方向，具體實例包括：

①矩陣理論以矩陣為主要工具，借助線性空間和線性變換等數(shù)學概念為工程方面的實際應用提供描述語言，將“工欲善其事必先利其器”的名句體現(xiàn)得淋漓盡致，展現(xiàn)了數(shù)學思維的系統(tǒng)性和全局意識。

②矩陣理論中的一個重要研究主題——方陣的特征值和特征向量，矩陣概念提出伊始就一直活躍在理論研究和實際應用之中，經(jīng)過不同時期數(shù)學家的深入思考，從單純求特征值和特征向量，逐漸發(fā)展到直接從矩陣本身的元素特征出發(fā)而對矩陣進行特征估計，對方陣的特征值和特征向量的不斷探索反映了其不屈不撓的科學精神。

③在矩陣理論的發(fā)展歷程中，也有許多中國科技工作者的身影。國際著名數(shù)學家華羅庚先生是矩陣幾何學等諸多領域相關研究的創(chuàng)始人和開拓者。中國科學院郭雷院士解決了最小二乘自校正調節(jié)器的穩(wěn)定性和收斂性這一國際著名難題。他們的事跡無不激勵一代學子投身國家建設，努力將科研成果應用到祖國大地上。

④矩陣理論中的研究對象出現(xiàn)在實際生活中的許多場景中，如港口的貨運調配與最小二乘法相聯(lián)系，電網(wǎng)的薄弱環(huán)節(jié)辨識與隨機矩陣密切相關，人工智能中濾波與矩陣的卷積運算緊密相連，生活中的指紋識別和人臉支付等許多應用場景都有矩陣特征提取的身影。這些矩陣理論在生活中的應用無不體現(xiàn)了數(shù)學之美。

⑤與矩陣論相關的張量分析與外代數(shù)同物理學家探究廣義相對論的工具不謀而合，體現(xiàn)了哲學中的事物的統(tǒng)一性原則。

在課程資源拓展方面，結合自建課程資源內容，篩選優(yōu)秀的網(wǎng)絡資源，拓展學生的課后自主學習資源，引導學生獨立思考，具體實施細節(jié)包括：

2.3 深化過程性考核機制

在過程考核過程中，結合研究生的專業(yè)情況和前期問卷調查中對大學數(shù)學的掌握程度，對學生進行分組，增加小組協(xié)作作業(yè)，要求根據(jù)組內學生的研究方向，進行與課程相關內容的學習經(jīng)驗分享，同時在過程性考核中增加文獻綜述的小作業(yè)，在加深對矩陣理論基本概念、基本原理理解的過程中，又能進行文獻篩選、文獻閱讀、寫作規(guī)范等學術方面的訓練。

2.4 前沿應用和優(yōu)質學習內容推送

精選鄂維南院士《機器學習的數(shù)學理論》和中國運籌學會《運籌學千里縱橫論壇》中涉及本課程內容的相關通識報告，拓寬學生的數(shù)學視野，加深對矩陣理論相關知識的理解。推送與課程內容相關的優(yōu)質學習內容，如哈爾濱工業(yè)大學嚴質彬老師的“矩陣分析”和斯坦福大學的公開課“應用線性代數(shù)”。

2.5 基于知識圖譜的知識主線重組

通過對課程內容中的知識點進行分級，實現(xiàn)知識的碎片化，基于知識圖譜形成理論與實際相連的新課程主線供學生學習。以主成分分析這一內容為例，在國內現(xiàn)有的矩陣理論通用教材中，在有限的學時內，都無法系統(tǒng)講解到該部分，但實際上主成分分析的理論基礎均碎片化地存在于矩陣理論的課程知識點中。要想掌握主成分分析，在大學數(shù)學階段要了解協(xié)方差與協(xié)方差矩陣的基本內容，在矩陣理論課程的層面只需要掌握半正定矩陣、Reyleigh商、矩陣函數(shù)的求導法則這些內容。而主成分分析在數(shù)據(jù)降維、計量經(jīng)濟學等研究中均有廣泛的應用。基于知識圖譜的知識主線重組，不拘泥于教材章節(jié)結構內容，實現(xiàn)了對部分課程擴展內容的理解與掌握，豐富了課程內容，有效地體現(xiàn)了課程的高階性。

3 建設情況與實踐效果

經(jīng)過兩個學期的課程建設，完善了“矩陣理論”課程在海貝云和雨課堂平臺上的課程內容搭建，已建設完成海貝云課堂8 個學習單元32 個必學模塊，6 個選學模塊，包括教學視頻、授課課件、平時作業(yè)、期末復習、延伸閱讀等內容，完成雨課堂資源包內圖文、視頻類內容共計9 章26 個學習單元及課程思維導圖與配套習題庫建設，為學生提供了不同程度的自主學習資源。

經(jīng)過一個學期的實踐教學，在不改變平時成績占比且考題難度與考點相同的前提下，以學生的實際期末考試試卷成績?yōu)闃藴剩?2—23（2）學期（改革學期）與之前的學生成績數(shù)據(jù)相比，90 分以上優(yōu)秀學生占比有一定程度提高，平均成績較往年也有所提高，數(shù)據(jù)比對詳見圖1?！熬仃嚴碚摗闭n程的混合式教學實踐踏出了以學生為中心的分層次混合式教學模式在大連海事大學研究生數(shù)學公共基礎課建設的第一步，對其他數(shù)學類研究生課程也有一定的指導意義。

圖1 改革前后學生成績對比