安曉麗

證明不等式問題比較常見，其命題方式多種多樣，解答這類問題的方法也很多.而對于一些較為復雜的證明不等式問題，如含有多個單項式、指數式、對數式的不等式證明問題，采用常規(guī)方法，很難使問題快速獲解，此時，需以導數知識為“工具”，才能順利證明不等式．

一、利用導數與函數的單調性之間的關系證明不等式

導數與函數的單調性之間的關系是研究函數問題的重要“工具”，常用于判斷函數的單調性、求函數的最值、求函數的單調區(qū)間.函數的導數與其單調性之間的關系為：（1）在某個區(qū)間（a，b） 內，如果函數的導數大于零，則該函數在此區(qū)間內單調遞增；（2）如果在某個區(qū)間內，函數的導數恒等于零，則該函數為常數；（3）在某個區(qū)間（a，b） 內，如果函數的導數小于零，則該函數在此區(qū)間內單調遞減.若不等號兩側的式子屬于同一函數模型，可直接對函數求導，根據導數與函數單調性之間的關系判斷出函數的單調性，利用函數的單調性證明不等式；若不等號兩側的式子分屬不同的函數模型，需將不等式兩側的式子移項，構造輔助函數F（x） =f （x）-g（x）（其中f （x）、g（x）為不等號兩側的函數），再對函數F（x） 求導，利用導數與函數單調性之間的關系判斷函數的單調性，求得函數的最值，判斷函數的最值與0的大小關系，即可證明不等式.

對于簡單的證明不等式問題，可以通過作差法進行證明，對于復雜的證明不等式問題往往要結合不等式的特征，構造出合適的輔助函數，再利用函數的單調性、極值、最值、拉格朗日中值定理、泰勒定理等，來證明不等式.因此，證明同一個不等式可能有多種方法，有時甚至要綜合運用多種方法才能證明.

（作者單位：吉林省磐石市紅光中學校）