摘? 要：函數(shù)作為現(xiàn)實世界中變量間依賴關(guān)系的模型，無論是在初等數(shù)學(xué)還是高等數(shù)學(xué)都占有十分重要的地位。但是，如果初、高等數(shù)學(xué)教學(xué)銜接不到位，則會發(fā)生學(xué)習(xí)脫節(jié)的問題，使學(xué)生難以緊隨教師的教學(xué)進度，全面掌握高等數(shù)學(xué)知識。通過探尋解決初、高等教學(xué)銜接問題的對策，能夠提高教學(xué)的循序漸進性，便于學(xué)生的理解，達成知識與思維方式的順利過渡。因此，文章整合國內(nèi)外有關(guān)初、高等數(shù)學(xué)銜接問題的研究文獻，梳理其他學(xué)者在該方面的教學(xué)心得，并由此總結(jié)出銜接不利的原因，以三角、反三角函數(shù)為例，提出解決銜接問題的建議，以確保學(xué)生可以從初等數(shù)學(xué)順利過渡到高等數(shù)學(xué)，降低學(xué)習(xí)的難度，提高教師教學(xué)質(zhì)量。

關(guān)鍵詞：初高等數(shù)學(xué)；三角函數(shù)；反三角函數(shù)

中圖分類號：G633? ? 文獻標(biāo)識碼：A? ? 文章編號：1673-7164（2023）20-0058-04

雖然我國高等教育為了滿足大學(xué)生在信息時代高速發(fā)展下所提出的要求實施了多次變革，但與初等教育之間的銜接問題仍然較為突出，尤其是各個階段的數(shù)學(xué)教育缺乏完整性與系統(tǒng)性，導(dǎo)致學(xué)生在跨階段學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)知識時，感到吃力、迷茫?；跁r代教育背景，要想幫助學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中實現(xiàn)各個階段的無縫銜接，就要對初、高等數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的銜接問題開展深入探究。

一、教育銜接問題研究現(xiàn)狀

（一）國外研究現(xiàn)狀

英國ICMI會議早在1997年就將初、高等教育間的過渡問題作為專題進行探究［1］。新加坡于1998年召開的國際討論會上，也對高等數(shù)學(xué)教學(xué)方法和初、高等數(shù)學(xué)之間的過渡問題進行了探討。袁本濤與文輔相對國外高中級大學(xué)的銜接問題進行了總結(jié)分析，發(fā)現(xiàn)銜接工作主要依賴于大一階段的課程安排，根據(jù)學(xué)生的思維方式與基礎(chǔ)水平調(diào)整教學(xué)進度和教學(xué)內(nèi)容難度，采取靈活的教學(xué)方法，除了課堂傳授外，可定期開展閱讀交流會與測驗來調(diào)動學(xué)生興趣，完善學(xué)生知識架構(gòu)。美國所實施的大學(xué)先修課程也能夠促進兩個階段的課程銜接。日本則主要通過升學(xué)指導(dǎo)課程與第一學(xué)年的教育課程來實現(xiàn)高中與大學(xué)課程教學(xué)之間的銜接。

（二）國內(nèi)研究現(xiàn)狀

隨著我國新課改的逐漸深入，我國教育領(lǐng)域的專家學(xué)者對于初、高等數(shù)學(xué)之間的鏈接問題也進行了深入研究。我國相關(guān)專家學(xué)者在2008年所舉辦的全國高師院校數(shù)學(xué)教育研究會上，就對學(xué)生中學(xué)階段向下一階段的過渡問題進行了思考，并提出了知識內(nèi)容以及教學(xué)方式的措施［2］。在2012年全國數(shù)學(xué)教育研究會上，進一步提出了入學(xué)教育承上啟下、緩慢過渡、相容教學(xué)與學(xué)生至上4條建議［3］。2014年，教育界提出了“加快數(shù)學(xué)教育改革，完善我國數(shù)學(xué)教育，立足我國本土教育繼承并發(fā)揚基礎(chǔ)教育優(yōu)勢”等建議。整體來說，我國學(xué)者對于初、高等數(shù)學(xué)銜接問題的研究集中于教學(xué)方式、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法以及新生入學(xué)適應(yīng)性等幾個方面。如任傳賢對各個階段學(xué)生對于數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)的特點進行了深入分析，并以此為基礎(chǔ)，結(jié)合教材編排，對教學(xué)目標(biāo)設(shè)計針對性地提出了教學(xué)建議。馬俊梅針對學(xué)習(xí)方法轉(zhuǎn)變途徑提出了有效措施。國內(nèi)對于新生入學(xué)適應(yīng)性的研究主要集中于心理、學(xué)習(xí)態(tài)度、人際交往等方面，研究結(jié)果表明，新生入學(xué)前期存在學(xué)習(xí)態(tài)度消極、專業(yè)興趣度不高、對大學(xué)課程安排與學(xué)習(xí)方法不適應(yīng)等問題。

二、三角及反三角函數(shù)銜接問題原因分析

（一）三角及反三角函數(shù)銜接問題

高中階段學(xué)生為初等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)劃下了句號，也為接受高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)做好了準(zhǔn)備。高考作為篩選人才的一項重要措施，對于高中數(shù)學(xué)的教學(xué)也會起到一定的指導(dǎo)作用。高中數(shù)學(xué)的課程標(biāo)準(zhǔn)也會對高中數(shù)學(xué)的教學(xué)起到一定導(dǎo)向作用。為了降低高中生在學(xué)習(xí)中感受的壓力，課程標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)刪減了部分知識，這雖然能有效降低學(xué)生學(xué)習(xí)初等數(shù)學(xué)的壓力，減少初等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)任務(wù)量，但從另一角度來說，這也意味著高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)壓力的增加，會對學(xué)生今后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)知識埋下隱患［4］。

例如2017年高中課程標(biāo)準(zhǔn)對于積化和差、和差化積、半角公式等方面的要求調(diào)整為推導(dǎo)出即可。這就導(dǎo)致學(xué)生對于這三組公式的掌握并不熟練，在求解積分的過程中十分困難。

（二）三角及反三角函數(shù)銜接問題成因分析

教學(xué)并不僅僅是教師向?qū)W生傳授知識的過程，更是學(xué)習(xí)者在吸收知識時對知識進行主動轉(zhuǎn)換、改造、重組、綜合的過程，是學(xué)習(xí)者對接觸的新事物、新問題進行解釋并得出答案的過程［6］。這一過程中，學(xué)習(xí)者的知識技能、思維習(xí)慣、能力水平將直接影響其學(xué)習(xí)的質(zhì)量。在初等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)期間，因課程標(biāo)準(zhǔn)刪減了部分反三角函數(shù)的內(nèi)容，導(dǎo)致學(xué)生步入大學(xué)后，對于反三角函數(shù)的認(rèn)識僅僅是“原本的三角函數(shù)前加arc”，甚至有部分學(xué)生對反三角函數(shù)板塊的知識全無了解。這就導(dǎo)致學(xué)生在大學(xué)期間接觸反三角函數(shù)知識時滿是疑惑，影響學(xué)生理解效率。

三、初、高等數(shù)學(xué)中三角及反三角函數(shù)銜接建議

（一）針對教師的銜接建議

重視學(xué)生數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)。數(shù)學(xué)思想方法是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的一項重要內(nèi)容，在高中階段數(shù)學(xué)知識建構(gòu)中，有諸多思想方法支撐著學(xué)生的數(shù)學(xué)思維建構(gòu)與數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)。上述數(shù)學(xué)思想方法不僅能提升學(xué)生解題能力，還能延伸學(xué)生知識涉獵面的維度，為學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)奠定基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)。三角知識作為一種函數(shù)模型，其蘊含著等價轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合等諸多思想方法［7］。因此，教師在教學(xué)三角函數(shù)知識時，就要重視對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，滲透思想方法。在三角函數(shù)教學(xué)中，教師要以教材為出發(fā)點，幫助學(xué)生理解知識發(fā)生與發(fā)展的過程。在深入理解教材知識的基礎(chǔ)上，還要在設(shè)計教學(xué)過程時融入思想方法，將知識發(fā)生與形成的過程展示給學(xué)生。例如在講解如下例題時，就有兩種解決方式：

對于（1）的解析有兩種方式：等號左邊為異名三角函數(shù)相乘，右邊為兩個同名函數(shù)相加，通過和與差正弦公式的展開與合并就可得出；等號左邊根據(jù)兩角和與差正弦公式得到異名三角函數(shù)，右邊存在兩角和、差公式，運用函數(shù)與方程思想方法即可列出方程組進行證明。

注重學(xué)生核心素養(yǎng)提升。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)科素養(yǎng)的培養(yǎng)就是指對學(xué)生的數(shù)學(xué)能力以及數(shù)學(xué)思維進行培育，核心在于培養(yǎng)學(xué)生自主解決數(shù)學(xué)問題的能力。新課改基于核心素養(yǎng)提出以下要求：創(chuàng)設(shè)相應(yīng)教學(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生思考，帶領(lǐng)學(xué)生研究數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)［8］。因此，高中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中必須采取情景教學(xué)等教學(xué)手段，有目的地培養(yǎng)學(xué)生的實踐能力與創(chuàng)新意識。比如在利用正余弦定理解三角形問題中，融入爬山、與同伴相約某地等生活情境，可使原本抽象的知識點具備生活化、具象化特征，簡化知識難點，確保學(xué)生能夠感知到數(shù)學(xué)知識與實際生活之間的聯(lián)系，激發(fā)其學(xué)習(xí)的積極性，并使學(xué)生基于情境問題，在腦海中自動串聯(lián)新舊知識，重新整合知識架構(gòu)，自主解答問題，從而在探索、思考與分析的過程中，提高自身的自主學(xué)習(xí)能力、邏輯思維能力、知識應(yīng)用能力、問題分析與解決能力等核心素養(yǎng)。

樹立終身學(xué)習(xí)理念。在我國信息技術(shù)高速發(fā)展的時代背景下，教師作為學(xué)校與社會之間的橋梁，必須樹立終身學(xué)習(xí)的理念。一方面，教師要樹立終身事業(yè)理念，并為之付諸實際行動，通過提升自身專業(yè)素質(zhì)，將抽象數(shù)學(xué)知識直觀化，深奧知識簡單化。另一方面，教師必須樹立全局性、發(fā)展性的眼光，明確教育主體為學(xué)生，自身在教育中的主要任務(wù)就是為了幫助學(xué)生掌握必備的知識技能，使學(xué)生順利步入下一階段的學(xué)習(xí)。

對于高中階段的數(shù)學(xué)教師而言，終身學(xué)習(xí)的含義是掌握知識的來龍去脈，明確數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用價值。三角知識作為連接初、高等數(shù)學(xué)的知識橋梁之一，是三角函數(shù)的主要研究對象。站在學(xué)校角度分析，初中學(xué)習(xí)直角三角形中銳角三角函數(shù)是為了高中學(xué)習(xí)任意角三角函數(shù)作鋪墊，而高中學(xué)習(xí)三角函數(shù)與反三角函數(shù)又是為了大學(xué)階段學(xué)習(xí)極限、微積分與級數(shù)等數(shù)學(xué)知識打下基礎(chǔ)。因為各個階段的知識都是逐步遞進的，所以教師必須明確學(xué)生的知識水平，促進各個階段知識的有效銜接，幫助學(xué)生深入理解知識。大學(xué)教師也必須了解高中階段的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)與教材內(nèi)容，以便于實施教學(xué)，避免抽象知識影響學(xué)生理解程度和學(xué)習(xí)效率的提升。

（二）針對學(xué)生的銜接建議

養(yǎng)成自主思考習(xí)慣。對于學(xué)生來說，養(yǎng)成獨立自主的學(xué)習(xí)習(xí)慣與思考習(xí)慣對于學(xué)習(xí)效率的提升來說尤為重要，這不僅能夠形成學(xué)習(xí)主動性，還能促進學(xué)生主動參與數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，逐漸形成自主學(xué)習(xí)能力與創(chuàng)新創(chuàng)造精神。學(xué)生獨立思考與自主學(xué)習(xí)習(xí)慣的養(yǎng)成，可從以下三個方面著手：首先，應(yīng)保持對數(shù)學(xué)知識的好奇心，在好奇心的驅(qū)使作用下，對數(shù)學(xué)知識中的公式、定理和定義進行深入探究，避免因死記硬背而無法理解其推導(dǎo)過程。這不僅能夠幫助學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解更為透徹，還能夠幫助其養(yǎng)成思考問題的習(xí)慣。其次，教師必須善于歸納總結(jié)，站在整體高度對各個板塊的數(shù)學(xué)知識予以把握。數(shù)學(xué)教材中各部分的內(nèi)容教學(xué)順序與知識點分布都是精心安排的，其邏輯性非常強。因此，學(xué)生自主分析并歸納總結(jié)各個知識點之間的聯(lián)系，通過思維導(dǎo)圖將知識系統(tǒng)化，能夠幫助學(xué)生理清各個知識之間的聯(lián)系性與層次性。最后，學(xué)生學(xué)習(xí)時不應(yīng)局限于課本，更應(yīng)當(dāng)進一步延伸并加強思考。數(shù)學(xué)知識并非獨立存在的，在現(xiàn)實生活中明確數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用，并建立新舊知識之間的聯(lián)系，站在多個角度進行立體性思考，通過演繹推理的方式，深入理解數(shù)學(xué)知識是尤為重要的。

發(fā)揮理性思辨精神。實踐研究表明，學(xué)生在學(xué)習(xí)時將理性思辨精神充分發(fā)揮出來，能夠通過邏輯思考、分析判斷、抽象推理等方式，實現(xiàn)對知識的內(nèi)化，并將其逐漸演變成為適合自己的解題思路，實現(xiàn)對數(shù)學(xué)知識的靈活應(yīng)用。對于數(shù)學(xué)公式的記憶與學(xué)習(xí)來說，理性思辨精神的發(fā)揮就是在學(xué)習(xí)過程中通過推導(dǎo)公式，深度理解并熟悉公式。但是，這一推導(dǎo)過程是從已知推向未知的，因此并不適用于數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生。只有根據(jù)自身的認(rèn)知經(jīng)驗與思維習(xí)慣探索合適自身的解題方法，才能提升學(xué)習(xí)效率。

（三）針對課程改革與課程設(shè)置的銜接建議

設(shè)置開放課程，強化各學(xué)段交流。我國基礎(chǔ)教育課程經(jīng)歷了多次改革，而基于初、高等數(shù)學(xué)銜接所設(shè)置開放課程，主要從以下兩個方面出發(fā)：一方面是在設(shè)置初等教育課程時，邀請諸多高等數(shù)學(xué)教師參與其中，分析高中數(shù)學(xué)知識與高等數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系與銜接是否合理。而高等數(shù)學(xué)課程在設(shè)計過程中，應(yīng)對大一新生的知識水平與思維結(jié)構(gòu)具有深入了解，在設(shè)計前期課程時，避免因復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識造成學(xué)生學(xué)習(xí)壓力；另一方面，為了讓學(xué)生充分理解數(shù)學(xué)知識在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用價值，教師可以以學(xué)生最近發(fā)展區(qū)為基礎(chǔ)開設(shè)數(shù)學(xué)興趣課堂或建模課堂等課程，全面激發(fā)學(xué)生興趣，拓展學(xué)生眼界，并為其后續(xù)步入高等數(shù)學(xué)課堂做足準(zhǔn)備。

研發(fā)預(yù)修課程，降低高等教育壓力。大學(xué)優(yōu)秀課程的建設(shè)主要是為了初、高等數(shù)學(xué)之間的銜接，而這部分課程需在大一新生開學(xué)前自學(xué)完成。對于大學(xué)必修課程的開設(shè)有以下建議：（1）預(yù)修教材。高校教師需結(jié)合自身教育經(jīng)驗，考慮高等數(shù)學(xué)知識難度以及學(xué)生理解能力，選取合適的書籍作為預(yù)修教材。（2）學(xué)習(xí)方式?；跀?shù)學(xué)書本知識的學(xué)習(xí)尤為枯燥，且學(xué)生學(xué)習(xí)能力無法自主完成學(xué)習(xí)未知知識，因此高校教師可提前錄制課程或開設(shè)直播間，為學(xué)生答疑解惑。（3）考核方式。雖預(yù)修課程不屬于正常課時的課程，但是預(yù)修課程是高等數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)，采取合理的考核方式是為了讓學(xué)生對其加強重視，充分發(fā)揮教學(xué)效果。

四、結(jié)語

綜上所述，導(dǎo)致初、高等數(shù)學(xué)教育銜接問題的重要因素在于各個階段數(shù)學(xué)教育目的與教育理念的不一致、知識邏輯與結(jié)構(gòu)的不完整性、學(xué)生創(chuàng)新意識以及教師終身學(xué)習(xí)理念的缺失等。因此，教師必須樹立終身學(xué)習(xí)理念，加強對學(xué)生數(shù)學(xué)思維以及核心素養(yǎng)的培育，并幫助學(xué)生養(yǎng)成獨立思考和自主學(xué)習(xí)的習(xí)慣。同時，還應(yīng)當(dāng)建立開放性的各學(xué)段交流渠道，開設(shè)大學(xué)預(yù)修課程，解決初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)之間的銜接問題，提升數(shù)學(xué)知識架構(gòu)的系統(tǒng)性與完整性，降低高等數(shù)學(xué)教育的壓力，促進我國教育事業(yè)發(fā)展。

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（薦稿人：許敬輝，玉林師范學(xué)院政法學(xué)院副教授）

（責(zé)任編輯：淳潔）

作者簡介：譚潔（1995—），女，碩士，萬博科技職業(yè)學(xué)院助教，研究方向為高等數(shù)學(xué)教育。