慕平 慕星

摘 要：２０ 世紀初學者們研究提出了不同的經驗頻率公式，目前世界各國提出的經驗頻率公式多達數(shù)十種。采用不同的經驗頻率公式，直接影響后續(xù)的分析、計算及參數(shù)擬定等，這對設計洪水的估算結果有明顯影響。通過對各類經驗頻率公式的比較，分析各經驗頻率公式的相對偏差，并用實測暴雨洪水系列初步驗證經驗頻率公式的差別大小，得出洪水系列的最大洪水重現(xiàn)期誤差最大，２０ ａ 一遇以下洪水重現(xiàn)期誤差相對較小。為了盡可能地減小在設計洪水估算中所應用經驗頻率公式存在的理論方法誤差，以及較短洪水系列中存在特大值、特小值而造成的原始資料誤差，在實際應用時，需采用便于計算并趨近于無偏的經驗頻率公式。對相對較長的暴雨洪水系列，推薦選用經驗頻率公式的中值公式或數(shù)學期望公式進行頻率（或重現(xiàn)期） 估計，建議將第一項（第二項）、末項的頻率（或重現(xiàn)期）作為參考值。

關鍵詞：設計洪水；經驗頻率；誤差；中值公式；數(shù)學期望公式

中圖分類號：Ｐ３３８ 文獻標志碼：Ａ ｄｏｉ：１０．３９６９／ ｊ．ｉｓｓｎ．１０００－１３７９．２０２３．０７．００９

引用格式：慕平，慕星．經驗頻率公式的比較與選擇［Ｊ］．人民黃河，２０２３，４５（７）：４８－５１，６７．

水文站的實測年最大暴雨洪水，每年必定會發(fā)生并且呈忽大忽小變化，該洪水大小值為隨機變量。當實測洪水系列較長時，這些看似偶然的洪水呈現(xiàn)出一定的統(tǒng)計規(guī)律，可以用數(shù)理統(tǒng)計方法來加以分析。用數(shù)理統(tǒng)計法估算設計洪水存在３ 種誤差，即原始資料誤差、理論方法誤差及運算誤差［１］ 。原始資料誤差主要表現(xiàn)為偶然誤差及系列代表性問題；理論方法誤差由理論研究不完善導致，目前只能列出有限的經驗頻率公式、頻率曲線線型、參數(shù)估計、適線準則等供學者選用，但如何確切選用，國內外尚無明確定論；運算誤差由解算方法不完善導致，可造成系統(tǒng)偏差。上述３種誤差的大小直接影響設計洪水成果的可信度。目前，在任何科學技術領域，設計洪水的誤差及不確定性問題是獨一無二的［２］ 。

目前，世界各國提出的經驗頻率公式多達數(shù)十種，有的理論研究看似嚴密，實際應用卻很難達到基本要求或假定，使問題更加復雜化，如資料系列較短而導致系列的代表性差或系列的均勻性差，極易在運算中將誤差放大、傳播，出現(xiàn)更大的系統(tǒng)偏差。采用不同的經驗頻率公式，直接影響后續(xù)的分析、計算及參數(shù)擬定等，這對設計洪水的估算結果有明顯影響。為了盡可能地減小在設計洪水估算中所應用經驗頻率公式存在的理論方法誤差，以及較短洪水系列中存在特大值、特小值而造成的原始資料誤差，本文重點探討如何選用經驗頻率公式及有效減小誤差。

１．２ 各經驗頻率公式的相對偏差

由式（５）可以看出，當ａ 值為０～０．５ 時，其修正的經驗頻率值對系列的第一項、末項的頻率值影響極大，雖可有效地避免較短系列末項出現(xiàn)頻率為１００％的情況，但對第一項（即ｍ ＝１ 時）的頻率值影響最大，之后隨著ｍ 值的增大，其影響逐漸減小。

由于實測洪水系列長度較短（多數(shù)ｎ 小于１００），因此采用不同的修正經驗頻率公式對頻率適線結果有相對偏大或偏小的影響?，F(xiàn)列出了ｎ ＝ ６０、ｎ ＝ １００ 系列及ａ ?。啊ⅲ埃?、０．５ 時的系列重現(xiàn)期（見表２ 和表３）?？梢钥闯?，ａ ?。?、０．３、０．５ 時系列第一項重現(xiàn)期相對偏差最大。以ｎ ＝１００ 為例，ａ 取０、０．３、０．５ 時，系列第一項重現(xiàn)期分別約為１０１、１４３、２００ ａ，第二項重現(xiàn)期相差略大，第二項之后相互間差別迅速減小，到中值項時的重現(xiàn)期相等，中值項以后ａ ＝ ０ 的重現(xiàn)期較大，ａ ＝ ０．５的重現(xiàn)期較小。

當ｎ ＝１００ 時，ａ ＝０．５ 與ａ ＝０ 對比，第五項以后其重現(xiàn)期相差在１０％以下，ａ ＝０ 時頻率適線結果上端偏大、下端偏小，對洪水適線偏于安全；ａ ＝ ０．５ 時第一項的重現(xiàn)期是系列長度的２ 倍，適線結果相對偏小。當ｎ ＝６０ 時，ａ ＝０．３ 與ａ ＝ ０ 以及ａ ＝ ０．３ 與ａ ＝ ０．５ 對比，第三項以后其重現(xiàn)期相差均在１０％以下，這一情況表明，在２０ ａ 一遇以下，各經驗頻率公式得出的重現(xiàn)期的相對偏差很小，即在２０ ａ 一遇以下選哪種經驗頻率公式都可以，選ａ ＝０．３ 的頻率適線結果介于?。?＝０和ａ ＝０．５ 之間。

１．３ 用實測系列初步驗證經驗頻率公式的差別大小

１）系列的最大及次大洪水重現(xiàn)期。以上提到的各修正后的經驗頻率公式均依據相應的理論和經驗，并均以ｎ 為無窮大為前提。但現(xiàn)實情況中多數(shù)系列ｎ為１００ 以下，其第一項、第二項的洪水值及重現(xiàn)期是極不穩(wěn)定的，偶然得到的一個系列中的最大洪水值，經過一段時間后，有的被刷新，有的雖然沒有被刷新，但次大洪水有可能被不斷替換；隨著時間的推移，最大洪水重現(xiàn)期在不斷變化，有的系列最大值在８０ ａ 內不變，若在８０ ａ 之后的若干年又出現(xiàn)了更大洪水，則原來在８０ 多ａ內的第一大洪水，就變?yōu)榈诙蠛樗?/p>

可以設想當有一個近１ ０００ ａ 的洪水系列，若把這個相對的長系列分為ｋ 個短系列，每個短系列含有ｎ 項（６０ 或８０ 等）且相互獨立。那么各個短系列的洪水可按自大而小的次序排列，則必有其中一個短系列的最大值是近１ ０００ ａ 的洪水系列中的最大值，而ｋ 個短系列中的最大值是不相同的，甚至差別較大。雖然各個短系列的第一項重現(xiàn)期按經驗頻率公式估算是相同的，但最大洪水值相差顯著。

偶然得到某測站的ｎ 年較短的暴雨洪水系列，這其實與上述情況類似，其系列中的最大值與ｎ 年內這一特定時期暴雨洪水是否處于偏豐、偏枯等有著極大關系，系列中若出現(xiàn)較大值或特大值（特小值），這時采用上述任何經驗頻率公式估算出的第一項重現(xiàn)期均為不確定值（可以約為ｎ 年一遇，或ｎ ～２ｎ 年一遇，甚至超２ｎ 年一遇），雖然可以再進行人為處理，但很難處理到位，受主觀影響較大，并直接影響到后續(xù)排頻。２）２０ ａ 一遇以下洪水重現(xiàn)期。為了進一步驗證當洪水系列相對較長時各經驗頻率公式在２０ ａ一遇以下重現(xiàn)期相對偏差很小，以及對實測的２０ ａ一遇暴雨洪水值的影響（即重現(xiàn)期橫標的差異對實測洪水值縱標的影響），選取若干組６０～７０ ａ、８０～９０ ａ、１００～１２０ ａ及１６４ ａ、２４６ ａ 暴雨洪水系列，各系列Ｐ ＝５％（２０ ａ 一遇）的洪水值是Ｐ ＝９５％（１．０５ ａ 一遇）的洪水值的２．５倍至３６ 倍。當采用ａ ＝０ 與ａ ＝０．３ 及ａ ＝０ 與ａ ＝０．４５對比時，統(tǒng)計其各系列２０ ａ 一遇實測暴雨洪水值，平均偏差分別小于１．５％及２．０％，最大偏差分別小于３．５％及４．５％。經對比，其差值大小主要與各系列排序中２０ ａ 一遇上下兩點數(shù)值差的大小有關。若這兩點數(shù)值接近，用各種經驗頻率公式內插得到的實測２０ ａ一遇暴雨洪水值幾乎相同；反之，則相差略大。由上述實例進一步表明，采用不同的ａ 值，用各種經驗頻率公式得到的各系列２０ ａ 一遇實測值偏差量級很?。ㄓ茫?＝０ 得到的實測值略偏大，用ａ ＝ ０．４５ 得到的實測值略偏?。保?ａ 一遇實測值相對偏差更小，中值的重現(xiàn)期及實測值相等，中值以下反之，用ａ ＝ ０ 得到的實測值略偏小，用ａ ＝０．４５ 得到的實測值略偏大（見表４）。

２ 經驗頻率公式的選擇

經驗頻率公式的選取原則：盡可能減小設計洪水估算中所應用經驗頻率公式存在的理論方法誤差，采用便于計算的并趨近于無偏的經驗頻率公式；減小較短系列中出現(xiàn)特大值、特小值而造成的原始資料誤差。

２．１ 選用經驗頻率公式

目前，選用經驗頻率公式已集中在中值和均值公式，及采用以頻率（Ｐｍ ）為特征值建立的橫標經驗頻率公式或以變量（Ｘｍ ）為特征值建立的縱標經驗頻率公式（見表１）。由于頻率分析是為了設計值（估計值）盡可能接近總體真值，因此把變量（Ｘｍ ）的分布中心對應的概率值作為第ｍ 項的繪點位置比取頻率（Ｐｍ ）的分布中心更合理。

無偏經驗頻率公式與線型分布及特征值等有關。推導出的無偏經驗頻率公式，與各線型分布以及估算誤差最大的偏態(tài)系數(shù)（ＣＳ）等有關，諸多問題交織在一起更加復雜，不便于應用。偏態(tài)系數(shù)（ＣＳ）對ａ 值有一定的影響，如克－閔分布的經驗頻率公式明確當ＣＳ ＞２ＣＶ、ａ ＝ ０．３ 時，相當于中值公式；當ＣＳ ＝ ２ＣＶ、ａ ＝ ０．４時，相當于皮爾遜Ⅲ型經驗頻率公式；當ＣＳ ＜２ＣＶ、ａ ＝０．５ 時，相當于海森公式。

經驗頻率公式是基于洪水系列各樣本的出現(xiàn)具有等可能性且經驗頻率對稱于中值建立起來的。從表１ 及現(xiàn)階段的分析來看，無偏經驗頻率公式相應的ａ值介于０．３～０．５ 之間，其頻率（或重現(xiàn)期）的大小在式（７）與式（８）計算結果之間。頻率點繪常以均值、中值和眾值３ 個特征值為分布中心，由數(shù)理統(tǒng)計可知，中值的特點是不像均值那樣極易受特大或特小值的影響，它與排序位置有關，不受兩邊變數(shù)的影響。第二類公式中的中值公式與第一類公式的中值公式形式相同，且與總體分布無關，是一個穩(wěn)健的經驗頻率公式，其頻率值在均值和眾值之間，為無偏估計值。由以上分析可知，經驗頻率的中值公式問題最少。

基于上述對比分析，特別經過１．３ 節(jié)的分析，說明對實測暴雨洪水系列采用不同經驗頻率公式計算出的２０ ａ 一遇以下暴雨洪水重現(xiàn)期相對偏差較小，并綜合考慮資料代表性的不足及應用經驗頻率公式不能滿足其基本條件或假定等情況，在實際應用時需采用便于計算的并趨近于無偏的經驗頻率公式形式，對相對較長的暴雨洪水系列，推薦選用式（６）或式（７），即中值公式或數(shù)學期望公式進行頻率（或重現(xiàn)期）估計。

２．２ 對系列中特大值與特小值的處理

從以上經驗頻率公式的計算結果對比可以看出，雖然各經驗頻率公式均依據相應的理論、經驗、分析及推理，但第一項頻率（或重現(xiàn)期）相互間偏差最大。這一現(xiàn)象進一步表明，進行洪水系列排頻，系列較短導致誤差較大，特別是第一項頻率（或重現(xiàn)期）。

各經驗頻率公式與系列中樣本值大小、次序有關，但實際洪水系列較短，其變差各異，若在實測暴雨洪水系列中出現(xiàn)了不均勻情況，或出現(xiàn)較大值、特大值（或特小值），無論用任何經驗頻率公式計算其第一項、末項的頻率（或重現(xiàn)期），其偏差都是不可預知的。對于特大值的超頻，雖可再進行人為處理，但多數(shù)情況下很難處理到位，其誤差大小受主觀影響較大，并直接影響后續(xù)各項排頻，可能造成更大程度的偏差。

其實，對于一個不均勻的短系列，把每個樣本值按固定位置冠以一個頻率（或重現(xiàn)期），這本身又加重了一層誤差，表現(xiàn)為第一項誤差最大，之后其誤差逐漸減小，到中值項附近時其誤差相對最小。

對實測洪水系列排頻時，應遵循大數(shù)定律，不宜用抽樣誤差大的較短洪水系列，采用由嚴密理論推導的經驗頻率公式進行逐項排頻。當實測洪水系列達到一定長度時，鑒于實測洪水系列中可能出現(xiàn)不均勻情況或出現(xiàn)特大值（特小值），各經驗頻率公式計算的第一項和第二項頻率（或重現(xiàn)期）的相對偏差大、之后相互間差別迅速減小，實測洪水系列長度遠遠達不到大數(shù)定律所需的基本要求，建議由經驗頻率公式得出的第一項（第二項）、末項的頻率（或重現(xiàn)期）僅作為占位排頻，且只可作為分析估算的參考值。

３ 結論和建議

各種經驗頻率公式計算的樣本系列第一項重現(xiàn)期相對偏差最大，第二項重現(xiàn)期相差略大，之后相互間差別迅速減小。當實測系列相對較長時，２０ ａ 一遇以下重現(xiàn)期相對偏差很小，即在２０ ａ 一遇以下選哪種經驗頻率公式都可以。鑒于偶然得到的實測暴雨洪水系列較短，在系列中常出現(xiàn)特大值或特小值、不均勻、資料代表性不足及應用公式條件不滿足等問題，為有效減小設計洪水估算中所應用經驗頻率公式存在的理論方法誤差，并盡可能避免將實測暴雨洪水系列中存在的誤差進一步放大、傳播的風險，在實際應用時需采用便于計算并趨近于無偏的經驗頻率公式。對于相對較長的暴雨洪水系列，推薦選用經驗頻率公式的中值公式或數(shù)學期望公式進行頻率（或重現(xiàn)期）估計，建議將第一項（第二項）、末項的頻率（或重現(xiàn)期）作為分析估算的參考值。

參考文獻：

［１］ 劉光文．泛論水文計算誤差［Ｊ］．水文，１９９２，１２（２）：１－１３．

［２］ 劉光文．水文頻率計算評議［Ｊ］．水文，１９８６，６（３）：１０－１８．

［３］ 郭生練，葉守澤．論水文計算中的經驗頻率公式［Ｊ］．武漢水利電力學院學報，１９９２，２５（２）：３８－４５．

【責任編輯 張 帥】