代培培，王騰飛，姚 錚，邢建平

GNSS接收機(jī)晶振頻率穩(wěn)定度仿真分析

代培培1，王騰飛2,3，姚 錚2,3，邢建平1

（1. 山東大學(xué) 微電子學(xué)院，濟(jì)南 250100；2. 清華大學(xué) 北京信息科學(xué)與技術(shù)國(guó)家研究中心，北京 100084；3. 清華大學(xué) 電子工程系，北京 100084）

針對(duì)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)（GNSS）提供的高精度定位、導(dǎo)航及授時(shí)（PNT）服務(wù)以精密測(cè)量的傳輸時(shí)間為基礎(chǔ)，然而GNSS接收機(jī)中普遍采用的頻率源為穩(wěn)定度較差的晶振的問(wèn)題，提出一種對(duì)GNSS接收機(jī)晶振頻率穩(wěn)定度進(jìn)行分析和建模的方法：根據(jù)GNSS接收機(jī)晶振頻率穩(wěn)定度受隨機(jī)頻率誤差及老化率的影響的原理，給出晶振隨機(jī)頻率誤差及老化率的數(shù)學(xué)模型；并根據(jù)不同隨機(jī)頻率誤差成分仿真相應(yīng)的各項(xiàng)晶振隨機(jī)頻率誤差序列；同時(shí)基于LAG1自相關(guān)法辨識(shí)不同時(shí)期主導(dǎo)的隨機(jī)頻率誤差類型，定性分析其對(duì)晶振頻率穩(wěn)定度的影響。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，提出的方法可為GNSS接收機(jī)晶振設(shè)計(jì)及頻率穩(wěn)定度能評(píng)估提供參考。

全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)（GNSS）接收機(jī)；晶振；隨機(jī)頻率誤差；老化率；阿倫（Allan）方差；LAG1自相關(guān)

0 引言

在高精度導(dǎo)航定位授時(shí)中，精確的時(shí)間是十分重要的。如今在全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，為了能夠給用戶提供高精度的定位、導(dǎo)航及授時(shí)（positioning，navigation and timing，PNT）服務(wù)，衛(wèi)星端均搭載了穩(wěn)定度更高的高精度原子鐘，比如銣鐘、銫鐘或氫鐘[1]。然而，用戶端的導(dǎo)航定位授時(shí)性能依賴于全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)（global navigation satellite system，GNSS）接收機(jī)對(duì)衛(wèi)星信號(hào)的高精度觀測(cè)[2-3]，因此，接收機(jī)的時(shí)鐘穩(wěn)定度有著至關(guān)重要的作用。GNSS接收機(jī)時(shí)鐘在滿足精度要求的同時(shí)，還須兼顧體積、功耗和成本。由于高精度原子鐘的價(jià)格較高，并且對(duì)運(yùn)行環(huán)境要求極高，因此具備低功耗、低價(jià)格及體積更小等優(yōu)勢(shì)的晶振獲得了廣泛的關(guān)注[4]。目前大多數(shù)GNSS接收機(jī)的時(shí)鐘為晶振，常用于校準(zhǔn)和頻率傳遞；然而晶振頻率穩(wěn)定度變化會(huì)導(dǎo)致接收機(jī)對(duì)衛(wèi)星信號(hào)的測(cè)量產(chǎn)生誤差[5]，從而疊加在偽距和載波相位的測(cè)量值上。其中，隨機(jī)頻率誤差[6-7]及老化率[8-9]是引起晶振頻率穩(wěn)定度變化的重要因素。隨機(jī)頻率誤差主要影響晶振的短期頻率穩(wěn)定度，老化率主要影響晶振的長(zhǎng)期頻率穩(wěn)定度。因其誤差特性十分復(fù)雜，很難進(jìn)行實(shí)時(shí)精確建模來(lái)消除對(duì)GNSS接收機(jī)服務(wù)精度的影響。因此，研究基于GNSS接收機(jī)晶振的誤差特性及評(píng)估分析其對(duì)晶振頻率穩(wěn)定度的影響具有十分重要的意義。

本文通過(guò)不同隨機(jī)頻率誤差成分仿真相應(yīng)的各項(xiàng)晶振隨機(jī)頻率誤差序列，同時(shí)基于LAG1自相關(guān)法辨識(shí)不同時(shí)期主導(dǎo)的隨機(jī)頻率誤差類型，從而定性分析其對(duì)晶振頻率穩(wěn)定度的影響，為GNSS接收機(jī)性能評(píng)估提供參考。首先闡述晶振頻率穩(wěn)定度的分析方法及隨機(jī)頻率誤差特性；然后針對(duì)晶振的隨機(jī)頻率誤差，即5種獨(dú)立的冪率噪聲建立數(shù)學(xué)模型，并采用LAG1自相關(guān)法對(duì)冪率噪聲進(jìn)行識(shí)別，仿真分析其對(duì)晶振頻率穩(wěn)定度的影響；最后針對(duì)晶振的老化率，采用可更準(zhǔn)確擬合晶振老化率的經(jīng)典老化率對(duì)數(shù)模型，定性分析老化率對(duì)晶振頻率穩(wěn)定度的影響。

1 晶振頻率穩(wěn)定度分析方法

1.1 晶振信號(hào)的數(shù)學(xué)模型

晶振的輸出信號(hào)一般為正弦波，可表示為[10-11]

為方便分析晶振頻率穩(wěn)定度，建立晶振模型的輸出頻率數(shù)據(jù)隨機(jī)數(shù)，采用隨機(jī)生成的方法仿真晶振輸出的頻率數(shù)據(jù)，此數(shù)據(jù)未添加任何影響[12]。如圖1所示的仿真晶振輸出頻率數(shù)據(jù)的時(shí)間-頻率圖可以看出晶振頻率在標(biāo)稱頻率附近波動(dòng)，因此能夠仿真包含噪聲的晶振輸出頻率。

圖1 仿真晶振輸出頻率數(shù)據(jù)的時(shí)間-頻率

1.2 穩(wěn)定度分析方法

2 晶振隨機(jī)頻率誤差數(shù)學(xué)模型及分析方法

2.1 晶振隨機(jī)頻率誤差數(shù)學(xué)模型

晶振的隨機(jī)頻率誤差為冪率噪聲，主要由白調(diào)相噪聲、白調(diào)頻噪聲、閃爍調(diào)相噪聲、閃爍調(diào)頻噪聲以及隨機(jī)游走調(diào)頻噪聲5種獨(dú)立的噪聲組成。美國(guó)學(xué)者大衛(wèi)·萊森（David Lesson）給出了經(jīng)典的冪率噪聲模型[14]，可表示為

因此，晶振噪聲頻譜分量與Allan方差之間的轉(zhuǎn)換可表示為[13]

結(jié)合式（5）和式（6），可以得到噪聲頻譜密度的Allan方差的時(shí)域，表示為

根據(jù)前面所提到的5種噪聲之間是相互獨(dú)立的隨機(jī)過(guò)程，晶振噪聲的Allan方差可表示為[15]

2.2 晶振隨機(jī)頻率誤差仿真方法

本文根據(jù)典型時(shí)間間隔的Allan方差值，仿真晶振5種冪率噪聲頻率序列。其中，白調(diào)相噪聲、白調(diào)頻噪聲、隨機(jī)游走噪聲可采用蒙特卡洛仿真方法，閃爍噪聲為1/噪聲[16]，其功率譜為冪函數(shù)，可通過(guò)利用頻域波形，將白噪聲整形成為1/噪聲，逆變換生成時(shí)域1/噪聲序列。

由式（10）可得頻率數(shù)據(jù)序列為

由式（10）可得相位數(shù)據(jù)序列為

2.3 晶振噪聲類型識(shí)別方法

3 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

3.1 晶振隨機(jī)頻率誤差仿真分析

本文仿真的對(duì)象為10 MHz TCXO晶振，根據(jù)文獻(xiàn)[15]提供的該晶振不同時(shí)間間隔的經(jīng)典Allan方差平方根值進(jìn)行仿真分析，如表1所示。

表1 典型Allan方差平方根值

圖3 各項(xiàng)噪聲的頻率穩(wěn)定度比較

在實(shí)際應(yīng)用中，更關(guān)注的是不同時(shí)期噪聲的識(shí)別；因此，本文采用LAG1自相關(guān)法通過(guò)估計(jì)其冪率指數(shù)對(duì)上述仿真噪聲進(jìn)行分類識(shí)別。圖4給出了LAG1自相關(guān)法識(shí)別各項(xiàng)噪聲自相關(guān)函數(shù)圖以及相位數(shù)據(jù)的滯后散點(diǎn)圖，同時(shí)給出了估計(jì)的冪律指數(shù)值，可通過(guò)冪律噪聲系數(shù)的識(shí)別區(qū)間得到相應(yīng)時(shí)期的主導(dǎo)噪聲類型。其中，相位數(shù)據(jù)的滯后散點(diǎn)圖為表示數(shù)據(jù)相關(guān)程度的另一種方式，散點(diǎn)的線性擬合斜率和LAG1密切相關(guān)。滯后散點(diǎn)圖是白噪聲的一組不相關(guān)點(diǎn)，對(duì)于相關(guān)性更強(qiáng)的閃爍噪聲和隨機(jī)游動(dòng)噪聲表現(xiàn)出線性特征。當(dāng)滯后間隔等于或接近周期的1/4時(shí)，具有正弦分量的噪聲呈現(xiàn)出圓形分布特征。

3.2 老化率對(duì)晶振頻率穩(wěn)定度的影響分析

在中短期影響晶振頻率穩(wěn)定度的主要因素是冪率噪聲；對(duì)于晶振長(zhǎng)期頻率穩(wěn)定度的影響占主導(dǎo)地位的是晶振的老化率，其會(huì)造成晶振輸出頻率產(chǎn)生緩慢漂移。Filter.R.L[9]通過(guò)大量的實(shí)驗(yàn)研究，發(fā)現(xiàn)晶振的老化率隨時(shí)間的增加而減??；因此，線性模型不能準(zhǔn)確表征晶振的老化率。同時(shí)，晶振的老化率以對(duì)數(shù)曲線形式呈現(xiàn)，給出了對(duì)數(shù)函數(shù)模型，能夠更準(zhǔn)確地?cái)M合晶振老化率的實(shí)際情況。Viq.J.R[8]給出了經(jīng)典老化率數(shù)學(xué)模型，如圖5所示。

圖5 經(jīng)典的晶振老化率數(shù)學(xué)模型

采用隨機(jī)生成的方法仿真受老化率影響的晶振輸出頻率數(shù)據(jù)。由如圖6（a）所示的老化率影響的晶振輸出時(shí)間-頻率圖可以看出，晶振頻率前期在標(biāo)稱頻率附近波動(dòng)，隨著時(shí)間的增加，老化率影響逐漸顯現(xiàn)，呈現(xiàn)出不太標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布。由如圖6（b）所示的老化率影響的晶振輸出頻率直方圖可知，該方法能夠仿真受老化率影響的晶振輸出頻率數(shù)據(jù)。

基于上述晶振輸出頻率數(shù)據(jù)，分析其頻率穩(wěn)定度，如圖7所示給出了老化率影響下晶振頻率穩(wěn)定度結(jié)果。從圖中可以看出，前期晶振老化率隨著時(shí)間的增加而減小，在后期又逐漸增大并趨于平穩(wěn)，符合實(shí)際晶振老化率的情況。

圖6 仿真老化率影響的晶振輸出頻率數(shù)據(jù)的時(shí)間-頻率及頻率直方圖

圖7 老化率影響下晶振頻率穩(wěn)定度結(jié)果

4 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)隨機(jī)頻率誤差及老化率對(duì)GNSS接收機(jī)晶振頻率穩(wěn)定度的影響進(jìn)行仿真分析。首先推導(dǎo)了晶振的隨機(jī)頻率誤差數(shù)學(xué)模型，通過(guò)對(duì)晶振隨機(jī)頻率誤差的仿真分析，得出晶振頻率偏移程度隨著采樣間隔的增大而減小，并且隨著采樣時(shí)間的增加，在不同時(shí)期主導(dǎo)噪聲影響不同的結(jié)論：在中期，隨機(jī)游走調(diào)頻噪聲和閃爍調(diào)頻噪聲為主導(dǎo)噪聲；在短期，隨機(jī)游走噪聲和白調(diào)相噪聲為主導(dǎo)噪聲。其次，本文采用LAG1自相關(guān)法通過(guò)估計(jì)其冪率指數(shù)對(duì)上述仿真噪聲進(jìn)行分類識(shí)別，驗(yàn)證了晶振隨機(jī)頻率誤差數(shù)學(xué)模型的正確性。最后，采用經(jīng)典老化率對(duì)數(shù)數(shù)學(xué)模型，通過(guò)仿真分析老化率對(duì)晶振頻率穩(wěn)定度的影響，得出晶振的老化率隨時(shí)間的增加而減小最后趨于平緩，符合實(shí)際情況的結(jié)果。因此，通過(guò)仿真分離老化率及隨機(jī)頻率誤差對(duì)晶振頻率穩(wěn)定度的影響，可以為GNSS接收機(jī)晶振設(shè)計(jì)及頻率穩(wěn)定度評(píng)估提供參考。

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Simulation analysis on frequency stability of crystal oscillator in GNSS receivers

DAI Peipei1, WANG Tengfei2,3, YAO Zheng2,3, XING Jianping1

（1. School of Microelectronics, Shandong University, Jinan 250100, China;2. Beijing National Research Center for Information Science and Technology, Tsinghua University, Beijing 100084, China;3. Department of Electronic Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China）

Aiming at the problem that the high-precise positioning, navigation and timing (PNT) services provided by the global navigation satellite system (GNSS) are based on precisely measured transmission time, but the frequency source commonly used in the GNSS receivers is crystal oscillators with poor stability, the paper proposed an analysis and modelling method of the frequency stability of crystal oscillatorin GNSS receivers: according to the principle that the crystal frequency stability of GNSS receivers is affected by random frequency error and aging rate, the mathematical model of the random frequency error and the aging rate was given; and the corresponding random frequency error sequences of crystal oscillator were simulated according to different random frequency error components; meanwhile, the dominant random frequency error types in different periods were identified based on the LAG1 autocorrelation method, to qualitatively analyze their influence on the frequency stability of crystal oscillator. Experimental result showed that the proposed method could provide a reference for the design of crystal oscillator in GNSS receivers and the performance evaluation of the frequency stability.

global navigation satellite system (GNSS) receiver; crystal oscillator; random frequency error; aging rate; Allan variance; LAG1 autocorrelation

代培培, 王騰飛, 姚錚, 等. GNSS接收機(jī)晶振頻率穩(wěn)定度仿真分析[J]. 導(dǎo)航定位學(xué)報(bào), 2023, 11(4): 90-96.（DAI Peipei, WANG Tengfei, YAO Zheng, et al. Simulation analysis on frequency stability of crystal oscillator in GNSS receivers[J]. Journal of Navigation and Positioning, 2023, 11(4): 90-96.）DOI:10.16547/j.cnki.10-1096.20230413.

P228

A

2095-4999(2023)04-0090-07

2022-10-24

國(guó)家重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃項(xiàng)目（2021YFA0716603）；國(guó)家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目（42274018）；第六屆中國(guó)科協(xié)青年人才托舉工程支持項(xiàng)目（YESS20200226）。

代培培（1993—），女，山東聊城人，博士研究生，研究方向?yàn)镚NSS定位授時(shí)算法。