甘 立，龍 雨

（1.廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院激光智能制造與精密加工研究所，廣西 南寧 530004；2.省部共建特色金屬材料與組合結(jié)構(gòu)全壽命安全國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣西 南寧 530004）

0 引言

受限于單個(gè)電芯電壓低和容量低的固有特性，數(shù)百或數(shù)千個(gè)電芯必須串聯(lián)或并聯(lián)以形成滿足實(shí)際應(yīng)用需求的高電壓和高容量[1]電池包。然而，電池包中各電芯的一致性本身因制造的差異就不相同，另外，其一致性也將隨著電池包充放電次數(shù)的增加而變得更差。不一致性會(huì)降低電池包實(shí)際可供應(yīng)的能量，縮短電池包的壽命，并進(jìn)一步發(fā)生電池包鼓包、起火甚至爆炸事故。因此，對(duì)鋰離子電池包中的各電芯進(jìn)行全面、高效的均衡管理是有必要的。

現(xiàn)階段電池均衡主要包括以耗能電阻為主的被動(dòng)均衡和電力電子器件為主的主動(dòng)均衡兩種[2]。被動(dòng)均衡是將耗能電阻并聯(lián)在含有較多能量的電芯上，利用電阻消耗掉其并聯(lián)電芯上多余的能量。這會(huì)造成能量損失以及產(chǎn)生大量熱能進(jìn)而造成安全事故。相比于被動(dòng)均衡的高能量散失和不安全特性，主動(dòng)均衡因尺寸合理和低耗能等特性被學(xué)術(shù)界和公司逐漸青睞。雙向改進(jìn)的Cuk 轉(zhuǎn)換器作為一種均衡速度快、尺寸和成本合理的電力電子器件，已經(jīng)逐漸成為主動(dòng)均衡方式中的主流轉(zhuǎn)換器勢(shì)力，如今已經(jīng)有多種傳統(tǒng)和優(yōu)化控制算法應(yīng)用在轉(zhuǎn)換器上以實(shí)現(xiàn)電池包中各電芯的SOC/電壓均衡。例如，歐陽(yáng)[3]采用基于估計(jì)的準(zhǔn)滑?？刂扑惴ú粌H可以精確地對(duì)電池包中每個(gè)電芯SOC進(jìn)行估計(jì)，并且這種算法可以在放電和靜置條件下，短時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)電芯的SOC 均衡；另外，歐陽(yáng)在對(duì)電池包的模組和電芯領(lǐng)域設(shè)計(jì)分層控制算法不僅實(shí)現(xiàn)了各電芯最終SOC 均衡的目標(biāo)，也顯示出高精度和低算力的特點(diǎn)[4，5]；Zheng J 等[6]應(yīng)用變論域模糊控制算法對(duì)使用Cuk 轉(zhuǎn)換器作為均衡器件的電池包進(jìn)行控制也可以實(shí)現(xiàn)電池包中各串聯(lián)電芯的電壓均衡。然而，迄今為止，還沒有從能量角度設(shè)計(jì)過(guò)實(shí)現(xiàn)電池均衡的控制算法。

互聯(lián)和阻尼分配無(wú)源控制（IDA-PBC）是一種從能量角度設(shè)計(jì)以實(shí)現(xiàn)控制目標(biāo)的控制算法，最近IDA-PBC 算法在如智能電網(wǎng)[7，8]，固態(tài)變壓器[9]和DC/DC 轉(zhuǎn)換器[10，11]等不同領(lǐng)域有著大量研究，尤其在DC/DC 轉(zhuǎn)換器領(lǐng)域，IDA-PBC 已被應(yīng)用于控制多模塊電池充電器[10]，穩(wěn)定恒定功率負(fù)載[11]等方面?；贗DAPBC 算法從能量角度設(shè)計(jì)了電池均衡算法，對(duì)以雙向能量傳輸為特點(diǎn)的改進(jìn)Cuk 轉(zhuǎn)換器這一DC/DC 轉(zhuǎn)換器進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)建模和控制算法設(shè)計(jì)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)電池包中各電芯的SOC 均衡。

所做的主要貢獻(xiàn)可以總結(jié)為：（1）由于轉(zhuǎn)換器的動(dòng)力學(xué)比其串聯(lián)電芯的動(dòng)力學(xué)快得多，故我們使用平均電感電流和平均電容電壓作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量來(lái)實(shí)現(xiàn)電池包中各電芯的均衡。（2）與其他控制算法相比，IDA-PBC 的李雅普諾夫候選函數(shù)通常設(shè)計(jì)為期望的能量函數(shù)，這節(jié)省了設(shè)計(jì)李雅普諾夫函數(shù)的時(shí)間。（3）基于MATLAB/SIMULINK 和PLECS 搭建的IDA-PBC 算法控制器和均衡系統(tǒng)模型可以在靜置模式和放電模式下兩種模式下實(shí)現(xiàn)很短時(shí)間的電池包均衡控制，同時(shí)均衡過(guò)程中的轉(zhuǎn)換器的Cuk 占空比振蕩很小。

1 均衡系統(tǒng)的描述

圖1 所示的是鋰離子電池包的均衡控制框圖，由圖所示，電池包是由n個(gè)串聯(lián)電芯和n-1 個(gè)改進(jìn)的雙向Cuk 轉(zhuǎn)換器組成。對(duì)于第i個(gè)改進(jìn)的雙向Cuk 轉(zhuǎn)換器，由兩個(gè)電感Li-11和Li-12、一個(gè)儲(chǔ)能電容Ci和兩個(gè)功率MOSFET（帶有體二極管作為各電芯間的均衡開關(guān)）組成。每個(gè)Cuk 轉(zhuǎn)換器的兩個(gè)MOSFET 是否導(dǎo)通取決于與其連接的兩個(gè)相鄰電芯的/電壓狀態(tài)，在特定狀態(tài)下，只能導(dǎo)通一個(gè)MOSFET。例如，如果電芯Bi的SOC值高于電芯Bi+1的SOC值，則Qi+11導(dǎo)通并將能量從電芯Bi傳遞到電芯Bi+1。相反，如果電芯Bi+1的SOC值高于電芯Bi+1的SOC值，則Qi-12導(dǎo)通并將能量從電芯Bi-1轉(zhuǎn)移到電芯Bi。

圖1 鋰離子電池包的均衡控制框圖

1.1 電芯均衡狀態(tài)時(shí)Cuk 轉(zhuǎn)換器的動(dòng)力學(xué)表達(dá)式

對(duì)于第i個(gè)電芯及其相鄰的第i+1 個(gè)電芯，對(duì)應(yīng)的狀態(tài)1 為SOCBi≥SOCBi+1，參考電流流動(dòng)方向如圖2所示。

圖2 相鄰兩電芯對(duì)應(yīng)狀態(tài)1（SOCBi≥SOCBi+1）

根據(jù)基爾霍夫定律，圖2 中Cuk 轉(zhuǎn)換器的三階動(dòng)力學(xué)表達(dá)式如下：

這里SOC值較高的電芯Bi處于放電狀態(tài)，而SOC值較低的電芯Bi+1處于充電狀態(tài)，Di1是第i（1 ≤i≤n）個(gè)Cuk 轉(zhuǎn)換器中MOSFETQi1的占空比，Ri1和Ri2分別是電感Li1和Li2的等效內(nèi)阻。

如果對(duì)應(yīng)的狀態(tài)2 為SOCBi+1≥SOCBi，則根據(jù)基爾霍夫定律有圖3 中Cuk 轉(zhuǎn)換器的三階動(dòng)力學(xué)表達(dá)式為：

圖3 相鄰兩電芯對(duì)應(yīng)狀態(tài)2（SOCBi+1≥SOCBi）

這里SOC值較高的電芯Bi+1處于放電狀態(tài)，而SOC值較低的電芯Bi處于充電狀態(tài)，Di2是第i（1 ≤i≤n）個(gè)Cuk 轉(zhuǎn)換器的MOSFETQi2的占空比。

1.2 鋰離子電芯的簡(jiǎn)化等效模型

雖然鋰電池的等效模型中含有較多的RC 極化電路可以提高模型精度，但是相應(yīng)地也會(huì)增加計(jì)算的復(fù)雜度，為了減少計(jì)算量，特使用簡(jiǎn)化的，且精度較高的二階等效電路模型對(duì)鋰離子電芯進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模，簡(jiǎn)化的鋰離子電芯模型如圖4 所示，其中左側(cè)子電路用于模擬電芯的荷電狀態(tài)SOC動(dòng)力學(xué)特性，具體的電芯SOCi的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)如下：

圖4 鋰離子電芯的二階簡(jiǎn)化電路模型

這里IBi表示第i個(gè)電芯的電流，當(dāng)電芯處于充電/放電狀態(tài)時(shí)，其值為負(fù)/正。Cbi表示電芯充滿電時(shí)的電量，η0表示庫(kù)侖效率，Rsdi是一個(gè)自放電電阻，可以相當(dāng)于一個(gè)大電阻，也可以忽略不計(jì)[3]。在此忽略了電芯的自放電特性，則（3）中的表達(dá)式可以表示為：

電池包中第i個(gè)（1 ≤i≤n）電芯的電流IBi（k）應(yīng)是其均衡電流和外部電流之和，即IBi（k）的表達(dá)式為：

這里Is（k）的表示外部電流，對(duì)于第i個(gè)電芯的均衡電流Ieqi（k），其主要來(lái)自與其連接的Cuk 均衡器中的電感電流，因此第i個(gè)電芯上的均衡電流表達(dá)式為：

2 均衡系統(tǒng)控制算法的設(shè)計(jì)

2.1 PCH 的基本理論

根據(jù)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)表達(dá)式可以直接將系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)表達(dá)式寫成端口哈密頓（PCH）的形式。系統(tǒng)的PCH表達(dá)式[10，11]為：

式中x是系統(tǒng)的狀態(tài)變量，互連矩陣J（x）是斜對(duì)稱矩陣，耗散矩陣R（x）是正半定矩陣。即：另外是系統(tǒng)總能量函數(shù)又被稱為哈密頓函數(shù)，g（x）被稱為模型的端口特性矩陣，u是控制輸入，η是干擾變量。

2.2 IDA-PBC 的基本理論

在DC/DC 轉(zhuǎn)換器，IDA-PBC 的主要目的是通過(guò)修改所需的互連矩陣Jd（x）、需求阻尼矩陣Rd（x）和控制率u，再根據(jù)所需的均衡點(diǎn)xd，分配一個(gè)所需的能量函數(shù)Hd（x），以保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。即IDA-PBC 的設(shè)計(jì)目標(biāo)是獲得一個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)，然后讓（7）式中的實(shí)際狀態(tài)變量跟蹤所需的狀態(tài)變量。閉環(huán)系統(tǒng)的具體表達(dá)式為：

其中，需求的互連矩陣J（dx）和阻尼矩陣R（dx）有表達(dá)式為：J（dx）=J（x）+J（ax）= -JdT（x），R（dx）=R（x）+R（ax）=RdT（x）≥0，這里J（ax），R（ax）是額外注入的能量矩陣和耗散矩陣。

當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)變量趨向于期望的狀態(tài)變量，即x→xd?；诖耍覀兛梢詫ⅲ?）和（8）結(jié)合起來(lái)，得到如下的匹配方程。

2.3 均衡系統(tǒng)的IDA-PBC 算法設(shè)計(jì)

根據(jù)（7）式的端口哈密頓表達(dá)式將（1）（2）兩種不同狀態(tài)下Cuk 轉(zhuǎn)換器的動(dòng)力學(xué)表達(dá)式改寫為端口哈密頓形式：

根據(jù)（10）式有該均衡系統(tǒng)的哈密頓能量函數(shù)表達(dá)式為

式中Q= diag{Li1，Li2，Ci}。

當(dāng)系統(tǒng)處于平衡點(diǎn)時(shí)，Cuk 轉(zhuǎn)換器中電容的平均電壓和電感的平均電流應(yīng)為常數(shù)[3]。對(duì)電芯狀態(tài)1 和電芯狀態(tài)2，期望的能量函數(shù)表達(dá)式為

為簡(jiǎn)化計(jì)算，設(shè)定阻尼矩陣Rd（x）與耗散矩陣R（x）形式類似，需求的互聯(lián)矩陣Jd（x）與互聯(lián)矩陣形式J（x）類似，即則根據(jù)匹配方程表達(dá)式（9），有均衡系統(tǒng)的匹配方程為：

（13）式可以擴(kuò)展成如下表達(dá)式：

對(duì)于狀態(tài)SOCBi ＞SOCBi+1和狀態(tài)SOCBi+1≥SOCBi，處于最終穩(wěn)定狀態(tài)的Cuk 轉(zhuǎn)換器的電容兩端的平均電壓應(yīng)是與其相連的兩個(gè)電芯的電壓之和，并且處于穩(wěn)定狀態(tài)下的兩個(gè)相鄰電芯SOC 差值應(yīng)該保持在非常小的范圍內(nèi)。在期望狀態(tài)下，某一Cuk 轉(zhuǎn)換器中兩個(gè)電感電流應(yīng)基本保持在相同的水平，所以我們假設(shè)目標(biāo)均衡電流為。綜上所述，期望狀態(tài)下的狀態(tài)變量表達(dá)式為：

通過(guò)聯(lián)立（14）（15）兩式，可以得到期望電感電流和輸入值的表達(dá)式為：

式中，λi1和λi2不可能同時(shí)取值，輸入值的分母λi1和λi2均在對(duì)應(yīng)狀態(tài)下取數(shù)值1，否則輸入值為0。

2.4 收斂性證明

其中，P=QRdQT，根據(jù)式（17），很容易發(fā)現(xiàn)P是非負(fù)的，則我們可以得出V˙≤0 的結(jié)論，當(dāng)且僅當(dāng)x=xd時(shí)，V˙= 0。根據(jù)LaSalle 不變性原理x→xd，證明了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

3 仿真結(jié)果

為了驗(yàn)證所提出的ID-PBC 控制算法，將圖1 所示的均衡系統(tǒng)進(jìn)行簡(jiǎn)化，將含有n個(gè)串聯(lián)電芯和n-1個(gè)雙向更改的Cuk 轉(zhuǎn)換器簡(jiǎn)化為只有三個(gè)雙向更改的Cuk 轉(zhuǎn)換器和四個(gè)串聯(lián)電芯的均衡系統(tǒng)，并對(duì)該均衡系統(tǒng)進(jìn)行SIMULINK/PLECS 仿真，三個(gè)雙向更改的轉(zhuǎn)換器和四個(gè)串聯(lián)電芯的均衡系統(tǒng)進(jìn)行了SIMULINK/PLECS 仿真，這里PLECS 主要用來(lái)構(gòu)造均衡系統(tǒng)模型，另控制器模塊在SIMULINK/PLECS 中搭建。為了簡(jiǎn)化仿真步驟，我們將所有電芯和Cuk 轉(zhuǎn)換器的參數(shù)設(shè)為一致，四個(gè)電芯的參數(shù)分別為Q0= 3.1 Ah，Csi=12304 F，Rsi=0.0158 Ω，Cfi=1584 F，Rfi=0.015 Ω。對(duì)于每個(gè)Cuk 轉(zhuǎn)換器，有參數(shù)Li1=Li2= 100 μH，Ci=470 μF，Ri1=Ri2= 0.05 Ω。對(duì)于PWM 周期和控制周期，我們分別選擇Ts= 1/7000 s 和T= 1 s。

考慮到靜置模式下的均衡和放電模式下的均衡兩種均衡模式。對(duì)于靜置模式下的均衡，外部電流的表達(dá)式為Is（k）= 0，對(duì)于放電模式，我們不選擇恒定的放電負(fù)載，而是選擇隨時(shí)間變化的曲線作為放電負(fù)載。放電模式的外部電流曲線如圖5 所示。

圖5 放電模式下的外部電流曲線

在實(shí)際情況中，對(duì)于每個(gè)電芯的開路電壓和極化電阻，極化電容以及歐姆內(nèi)阻均與有著一定的非線性關(guān)系式，其中開路電壓OCV 和荷電狀態(tài)SOC的表達(dá)式為，VOCi=f（SOCi）這里f（·）是一階可微函數(shù)。MATLAB 的曲線擬合工具箱（cftool）用于擬合荷電狀態(tài)SOC數(shù)據(jù)點(diǎn)和開路電壓OCV 數(shù)據(jù)點(diǎn)，選取的電池包中每個(gè)電芯的開路電壓OCV 和荷電狀態(tài)SOC之間的關(guān)系圖如圖6 所示。根據(jù)圖6 我們使用如下的非線性關(guān)系來(lái)表示開路電壓與荷電狀態(tài)之間的關(guān)系：

圖6 開路電壓與荷電狀態(tài)之間的關(guān)系圖

根據(jù)圖7 所示，在靜置模式下，電芯1 至電芯4的初始SOC值為SOC1= 0.74，SOC2= 0.82，SOC3=0.71，SOC4= 0.80。靜置模式下的電池均衡大約在250 s 后實(shí)現(xiàn)，由于這種模式下的外部電流I（sk）= 0，所以電池包中的每個(gè)電芯SOC的值最終將收斂到[0.755，0.765]這個(gè)區(qū)間中，收斂誤差在1%左右；而對(duì)于放電模式下的均衡，在放電模式下，電芯1 至電芯4 的初始值為SOC1= 0.82，SOC2= 0.91，SOC3= 0.80，SOC4= 0.85。其大約在310 s 時(shí)達(dá)到電池均衡，另外由于外部電流I（sk）隨時(shí)間不斷變化，所以當(dāng)均衡過(guò)程終止時(shí)，收斂的SOC值也會(huì)隨著時(shí)間而不斷變化，處于一種動(dòng)態(tài)平衡的狀態(tài)。

圖7 兩種均衡模式下的電芯值變化曲線

電池包在靜置均衡模式下使用IDA-PBC 算法的三個(gè)Cuk 轉(zhuǎn)換器的占空比隨時(shí)間的變化如圖8 所示，可以看出因?yàn)橥獠侩娏鳛?，所以最終的均衡電流是一個(gè)常數(shù)，其振蕩的時(shí)間會(huì)減少。而放電均衡模式下使用IDA-PBC 算法的三個(gè)Cuk 轉(zhuǎn)換器的占空比如圖9 所示，因?yàn)樽罱K的外部電流仍是隨著時(shí)間不斷變化的，所以其振蕩的幅度也會(huì)大一點(diǎn)，也正因?yàn)橥獠侩娏鞯牟粩嘧兓?，在第三個(gè)Cuk 轉(zhuǎn)換器甚至有不同MOSFET 打開的情況?？傮w上，IDA-PBC 算法應(yīng)用在帶有Cuk 轉(zhuǎn)換器的電池包上的振蕩時(shí)間比較短，且其的均衡速度比較快，均衡時(shí)間比較短。

圖8 靜置均衡模式下的不同Cuk 轉(zhuǎn)換器的占空比隨時(shí)間的變化曲線

圖9 放電均衡模式下的不同Cuk 轉(zhuǎn)換器的占空比隨時(shí)間的變化

4 結(jié)語(yǔ)

IDA-PBC 算法在由n個(gè)串聯(lián)電芯和n-1 個(gè)改進(jìn)的雙向Cuk 轉(zhuǎn)換器組成的均衡系統(tǒng)中的應(yīng)用，因Cuk轉(zhuǎn)換器的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)比電芯動(dòng)力學(xué)響應(yīng)快得多，對(duì)雙向更改的Cuk 轉(zhuǎn)換器中的平均電感電流和平均電容電壓進(jìn)行了端口哈密頓（PCH）建模。然后根據(jù)IDAPBC 算法，提出了期望的互連矩陣和阻尼矩陣，并生成唯一的控制律。該算法不僅實(shí)現(xiàn)了均衡系統(tǒng)在靜置模式的各電芯SOC 均衡到某一區(qū)間的目標(biāo)，也實(shí)現(xiàn)了放電模式下電池包中每個(gè)電芯SOC 均衡到某一區(qū)間的目標(biāo)。另外，無(wú)論是靜置模式還是放電模式下的均衡，Cuk 轉(zhuǎn)換器MOSFET 占空比振蕩的時(shí)間都比較短，這在一定程度上保護(hù)了開關(guān)設(shè)備。