趙嘉琪，徐文浩，樊樹海

（1.南京工業(yè)大學(xué)工業(yè)工程系，南京 210009；2.麻省理工學(xué)院信息質(zhì)量項(xiàng)目數(shù)據(jù)質(zhì)量與信息安全實(shí)驗(yàn)室，美國(guó)馬薩諸塞州02139）

0 引 言

質(zhì)量檢驗(yàn)工作作為對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量進(jìn)行把關(guān)、預(yù)防、反饋、改進(jìn)的過(guò)程，是全面質(zhì)量管理的重要組成部分。抽樣特性曲線（Operation Characteristic Curve，OC 曲線）性能分析是質(zhì)量檢驗(yàn)的主要分析方法。對(duì)OC 曲線性能的研究是質(zhì)量管理與可靠性課程中的重要內(nèi)容，也是學(xué)生理解與運(yùn)用質(zhì)量管理的重要工具之一。對(duì)企業(yè)而言，研究更先進(jìn)的抽樣特性評(píng)價(jià)指標(biāo)、建立完善的質(zhì)量評(píng)價(jià)體系有助于企業(yè)降低成本、保障產(chǎn)品質(zhì)量、提升核心競(jìng)爭(zhēng)力［1］。國(guó)內(nèi)在質(zhì)量檢驗(yàn)評(píng)價(jià)體系方面尚處在探索階段，缺乏具有科學(xué)性的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)［2］

在以往對(duì)OC曲線的研究中，文獻(xiàn)［3-5］中研究了OC曲線的具體運(yùn)用，但沒有提出新的判定指標(biāo)。近年，文獻(xiàn)［6-7］中提出基于截距、斜率的抽樣特性曲線性能評(píng)價(jià)等方法，來(lái)評(píng)判OC 曲線性能的優(yōu)劣。相比傳統(tǒng)方法——先變動(dòng)抽樣方案的單一參數(shù)繪制出OC曲線族，再根據(jù)經(jīng)驗(yàn)直接對(duì)曲線族評(píng)判得出判斷結(jié)果，用定量度量的方法評(píng)判出的結(jié)果更加準(zhǔn)確、科學(xué)［8］。在新的市場(chǎng)需求下，生產(chǎn)的產(chǎn)品趨于多樣化、定制化，產(chǎn)品特性千差萬(wàn)別，不同產(chǎn)品的生產(chǎn)情況之間存在較大差異。國(guó)內(nèi)現(xiàn)有研究不能適配現(xiàn)今產(chǎn)品多樣化與定制化的生產(chǎn)趨勢(shì)，缺乏相應(yīng)的OC曲線量化評(píng)價(jià)方法，研究用于教學(xué)時(shí)也不利學(xué)生對(duì)OC曲線性能的深入學(xué)習(xí)與理解。

本文針對(duì)以上問(wèn)題提出了基于加權(quán)信息熵的抽樣特性曲線性能評(píng)價(jià)指標(biāo)，并以實(shí)驗(yàn)仿真加以說(shuō)明。結(jié)果表明：新的指標(biāo)與解決辦法是有效可行的。該指標(biāo)的發(fā)現(xiàn)與應(yīng)用彌補(bǔ)了國(guó)內(nèi)在質(zhì)量檢驗(yàn)方面研究的不足。該指標(biāo)運(yùn)用在抽樣方案的對(duì)比與選取工作時(shí)，不僅操作便捷、不受傳統(tǒng)方法的局限，又可以根據(jù)不同產(chǎn)品生產(chǎn)的實(shí)際情況做出針對(duì)性判斷。新的指標(biāo)與解決辦法運(yùn)用于教學(xué)仿真分析時(shí)，能夠幫助學(xué)生對(duì)于抽樣特性曲線的學(xué)習(xí)與理解；使學(xué)生能體會(huì)針對(duì)不同生產(chǎn)情況，如何對(duì)比選取更好的抽樣方案，以最小的抽檢成本，快速高效地判斷產(chǎn)品批是否合格。通過(guò)在傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)方法中引進(jìn)相應(yīng)的先進(jìn)評(píng)價(jià)指標(biāo)，目的在于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，提升學(xué)生的應(yīng)用能力，使實(shí)驗(yàn)與學(xué)習(xí)更具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，提高教學(xué)質(zhì)量。

1 加權(quán)信息熵（Weighted Information Entropy）評(píng)價(jià)指標(biāo)

1.1 OC曲線分析

OC曲線表示在給定的抽樣方案中，批接收概率與批不合格品率的函數(shù)關(guān)系［5］。在生產(chǎn)制造業(yè)中OC曲線被廣泛用于預(yù)估接收批的質(zhì)量水平、確定批合格概率、幫助確定檢查水平、確定生產(chǎn)方與消費(fèi)方風(fēng)險(xiǎn)等［9-11］。在質(zhì)量檢驗(yàn)工作中，普遍會(huì)采用分析OC 曲線作為比較抽樣方案鑒別能力的方法，此過(guò)程也是檢驗(yàn)工作的重要環(huán)節(jié)之一［12］。分析OC 曲線的傳統(tǒng)方法及步驟：

步驟1固定抽樣方案的其余參數(shù)，根據(jù)單參數(shù)變化的影響規(guī)律篩選出較好的參數(shù)。

步驟2利用產(chǎn)生的數(shù)據(jù)繪制出OC 曲線族如圖1 所示。

步驟3直接根據(jù)曲線族圖由經(jīng)驗(yàn)判斷OC 曲線性能的優(yōu)劣［13-14］。

該方法的弊端有

（1）對(duì)曲線族的對(duì)比與選取很大程度上依賴于質(zhì)量管理人員的經(jīng)驗(yàn)，是一種直觀定性的判斷方法，缺少嚴(yán)謹(jǐn)與準(zhǔn)確的定量分析。

（2）對(duì)曲線族的對(duì)比，需要建立在僅單參數(shù)變化的前提下。在實(shí)際生產(chǎn)中，產(chǎn)品種類往往并不單一，特性不盡相同，那么檢驗(yàn)時(shí)所應(yīng)采取的抽樣方案也會(huì)隨產(chǎn)品特性和生產(chǎn)環(huán)境的差異而變化。因此無(wú)法按照傳統(tǒng)方法——依據(jù)變動(dòng)抽樣方案的單參數(shù)產(chǎn)生的一系列數(shù)據(jù)，來(lái)評(píng)判OC曲線以及抽樣方案的優(yōu)劣。

綜上所述，傳統(tǒng)的評(píng)價(jià)方法不夠嚴(yán)謹(jǐn)，在評(píng)價(jià)時(shí)無(wú)法根據(jù)產(chǎn)品的實(shí)際生產(chǎn)情況做出調(diào)整，限制條件較多，適用面也較狹隘。這不僅會(huì)阻礙實(shí)際生產(chǎn)活動(dòng)中檢驗(yàn)工作的開展，在運(yùn)用于教學(xué)實(shí)驗(yàn)時(shí)也會(huì)給學(xué)生的理解與運(yùn)用造成困擾。

1.2 實(shí)驗(yàn)分析

在課堂實(shí)驗(yàn)中，以讓學(xué)生掌握如何對(duì)比與選取抽樣方案為教學(xué)目的。設(shè)抽樣方案1 為（50，15，5），抽樣方案2 為（50，8，2）。讓學(xué)生以開展對(duì)以上兩方案的對(duì)比選取工作為例，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。

步驟1運(yùn)用Matlab設(shè)計(jì)2 個(gè)方案的信息熵對(duì)比實(shí)驗(yàn)，流程如圖2 所示。

圖2 信息熵曲線實(shí)驗(yàn)流程圖

步驟2繼續(xù)對(duì)2 個(gè)方案進(jìn)行OC曲線的對(duì)比，流程如圖3 所示。

圖3 OC曲線實(shí)驗(yàn)流程圖

為使方案之間的對(duì)比更加直觀、容易理解，將2 個(gè)實(shí)驗(yàn)生成的2 組二維圖像用Matlab 繪制在同一張圖上，如圖4 所示。

圖4 抽樣方案的信息熵、OC曲線對(duì)比

圖中藍(lán)色曲線為抽樣方案（50，15，5），紅色曲線為抽樣方案（50，8，2）。由結(jié)果可見，這兩個(gè)方案在2個(gè)不同仿真分析中生成的曲線都各自有交點(diǎn)產(chǎn)生。若此時(shí)仍按傳統(tǒng)方法由仿真圖像僅憑肉眼或者經(jīng)驗(yàn)來(lái)選取抽樣方案，將很難對(duì)兩個(gè)方案進(jìn)行取舍。這種情況下，傳統(tǒng)方法無(wú)法發(fā)揮功能。需要研究出能有效解決以上問(wèn)題、適用面更廣且操作便捷的抽樣特性曲線性能評(píng)價(jià)指標(biāo)及實(shí)驗(yàn)方法。

（注：超幾何、二項(xiàng)及泊松分布模塊調(diào)用的非連續(xù)性導(dǎo)致圖4 中少量鋸齒現(xiàn)象的發(fā)生。）

1.3 加權(quán)信息熵評(píng)價(jià)方法

企業(yè)所生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量和種類都隨著人民生活水平的發(fā)展與提高而急劇增加［15］。不同產(chǎn)品在生產(chǎn)時(shí)，不合格品率也不盡相同。根據(jù)5M1E 分析法可知，影響產(chǎn)品質(zhì)量、造成質(zhì)量波動(dòng)的原因主要有：人、機(jī)器、材料、方法、測(cè)量、環(huán)境。在實(shí)際生產(chǎn)環(huán)境中，在生產(chǎn)完全相同的一批產(chǎn)品時(shí)，設(shè)備經(jīng)過(guò)一系列精準(zhǔn)調(diào)試后，生產(chǎn)線會(huì)達(dá)到高度自動(dòng)化或高精度水平，以上6 種因素將趨于穩(wěn)定。若無(wú)混流生產(chǎn)需求及其他特殊情況發(fā)生，生產(chǎn)狀態(tài)將維持較長(zhǎng)工作時(shí)間。那么，產(chǎn)品的不合格品率也將會(huì)逐漸收斂到一個(gè)相對(duì)穩(wěn)定的水平p。為方便闡述，當(dāng)不合格品率為p時(shí)，把在OC 曲線上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)稱為“收斂點(diǎn)”。

申農(nóng)（Shannon）在信息論中，提出了信息熵的概念來(lái)解決從量的方面描述信息傳輸和提?。?6］。信息熵是系統(tǒng)組織程度和有序程度的度量，可用來(lái)表征系統(tǒng)的不確定程度［7］。若抽樣方案靈敏度和準(zhǔn)確性較高，說(shuō)明該抽樣方案接收事件具有較小的不確定性。如果“接收”事件的不確定性小，表明接收概率維持在較高或較低值；若“接收”事件的不確定性大，表明接收概率在中等水平。當(dāng)接收概率為1，表示肯定接收；接收概率為0 時(shí)，表示肯定不接收。以上2 種事件均為確定事件，不確定度均為0。

當(dāng)“接收”事件概率為L(zhǎng)（p），則“不接收”事件概率為（1－L（p）），信息熵

按線性關(guān)系增加生產(chǎn)活動(dòng)中出現(xiàn)的“收斂點(diǎn)”及其附近參數(shù)的權(quán)重，將整合計(jì)算后的權(quán)重值作為指標(biāo)的乘數(shù)之一。將信息熵值與權(quán)重參數(shù)進(jìn)行復(fù)合運(yùn)算后，作為OC曲線的評(píng)價(jià)指標(biāo)。

設(shè)“收斂點(diǎn)”不合格品率p的值為0.3，那么在計(jì)算時(shí)，就應(yīng)將該點(diǎn)所占的權(quán)重值W設(shè)為最大。整體的權(quán)重比例在坐標(biāo)軸中應(yīng)表現(xiàn)為“收斂點(diǎn)”的權(quán)重值最高，過(guò)最高點(diǎn)向x軸兩端延伸的折線——即由“收斂點(diǎn)”為頂點(diǎn)向坐標(biāo)軸兩端呈直線下降的形式，如圖5所示。

圖5 權(quán)重圖

用OC曲線上的每個(gè)點(diǎn)的信息熵值乘以每個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的權(quán)重W，再對(duì)該乘積進(jìn)行積分則得到新的OC 曲線評(píng)價(jià)指標(biāo)——加權(quán)信息熵評(píng)價(jià)指標(biāo)

式中，W為權(quán)重值。

在評(píng)價(jià)抽樣方案時(shí)，希望方案有較高的靈敏度、較低的不確定程度——即表現(xiàn)為方案的加權(quán)信息熵評(píng)價(jià)指標(biāo)值較小。

2 仿真實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與分析

2.1 仿真分析

對(duì)加權(quán)信息熵評(píng)價(jià)指標(biāo)進(jìn)行仿真分析時(shí)有：

式中：Pd為樣本中檢出d個(gè)不合格品的概率；N為被檢品的批量；D為被檢批中不合格品總數(shù)；n為樣本大小。

在抽樣方案確定、抽樣為計(jì)數(shù)一次型抽樣確定后，根據(jù)加法定理計(jì)算接收概率有

式中：c≤n≤N；D應(yīng)取整數(shù)。

又已知加權(quán)信息熵評(píng)價(jià)指標(biāo)，則實(shí)驗(yàn)中可發(fā)現(xiàn)，輸入任意需要的抽樣方案（N，n，c），經(jīng)過(guò)以上的一系列計(jì)算，都會(huì)得到一個(gè)對(duì)應(yīng)的加權(quán)信息熵指標(biāo)值。由Matlab進(jìn)行仿真（仿真流程見圖6），用仿真結(jié)果進(jìn)行指標(biāo)的可行性分析。

圖6 實(shí)驗(yàn)仿真流程示意

2.2 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果

經(jīng)過(guò)仿真生成的三維圖如圖7 所示?？梢娫谌S圖中當(dāng)n＞c時(shí)，加權(quán)信息熵指標(biāo)值變小，說(shuō)明系統(tǒng)的不確定程度在降低，抽樣方案越嚴(yán)格，對(duì)產(chǎn)品的把關(guān)與篩選越嚴(yán)苛；反之，加權(quán)信息熵指標(biāo)值增大，說(shuō)明系統(tǒng)的不確定程度越高，抽樣方案更為松弛；當(dāng)n＜c時(shí)，方案無(wú)研究意義，加權(quán)信息熵指標(biāo)值設(shè)定為0。仿真結(jié)果顯示，該指標(biāo)系統(tǒng)符合抽樣方案的不確定性程度的變化規(guī)律。

圖7 加權(quán)信息熵仿真結(jié)果

當(dāng)利用觀察OC 曲線族對(duì)比抽樣方案時(shí)，上述仿真的結(jié)果則呈現(xiàn)為：當(dāng)樣本量n固定時(shí)，c的取值減小時(shí)，OC曲線傾斜程度越小，抽樣方案越嚴(yán)格；當(dāng)c固定時(shí)，n的取值增大，OC曲線傾斜程度越小，抽樣方案越嚴(yán)格。此變化結(jié)果符合OC曲線的規(guī)律。那么上述一系列的仿真則可以表明，以加權(quán)信息熵為指標(biāo)的抽樣特性曲線性能評(píng)價(jià)方法是可行且有效的。

將驗(yàn)證可行后的新評(píng)價(jià)指標(biāo)用于解決前文2.2 節(jié)中出現(xiàn)的學(xué)生仿真實(shí)驗(yàn)未能解決的2 個(gè)抽樣方案選取問(wèn)題時(shí)（收斂點(diǎn)設(shè)為0.3），運(yùn)行以加權(quán)信息熵為指標(biāo)的抽樣特性曲線性能評(píng)價(jià)仿真實(shí)驗(yàn)的程序后有——方案1 的加權(quán)信息熵指標(biāo)值為0.215 4；方案2 的加權(quán)信息熵指標(biāo)值為0.275 7。結(jié)果見表1。

表1 實(shí)驗(yàn)參數(shù)及權(quán)重信息熵值對(duì)比

權(quán)重信息熵指標(biāo)值越小，證明系統(tǒng)的不確定性程度越低，系統(tǒng)越穩(wěn)定。由此根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果則可判斷應(yīng)選取方案1（50，15，5）作為抽樣方案。

3 結(jié) 語(yǔ)

本文面向以實(shí)際生產(chǎn)情況為背景進(jìn)行教學(xué)實(shí)驗(yàn)時(shí)所遇到的問(wèn)題，提出了全新的抽樣特性曲線性能評(píng)價(jià)指標(biāo)。經(jīng)過(guò)一系列仿真，結(jié)果顯示以加權(quán)信息熵為指標(biāo)的評(píng)價(jià)方法是正確且可行的。

加權(quán)信息熵評(píng)價(jià)指標(biāo)在運(yùn)用于抽樣特性曲線性能評(píng)價(jià)時(shí)，操作便捷，輸入抽樣方案的3 個(gè)參數(shù)即可輸出結(jié)果；直接對(duì)比待選抽樣方案的加權(quán)信息熵評(píng)價(jià)指標(biāo)值的大小，即可快速對(duì)抽樣方案進(jìn)行評(píng)價(jià)與選??；此方法可以不受依靠單參數(shù)變化，繪制OC曲線族進(jìn)行比較的傳統(tǒng)研究方法的局限；實(shí)驗(yàn)篩選出較好的抽樣方案，降低了抽樣檢驗(yàn)的成本，質(zhì)量檢驗(yàn)工作得以優(yōu)化；面對(duì)產(chǎn)品多樣化與定制化的生產(chǎn)趨勢(shì)，幫助檢驗(yàn)人員針對(duì)不同產(chǎn)品特性及實(shí)際生產(chǎn)情況進(jìn)行區(qū)別研究，達(dá)到更加精準(zhǔn)科學(xué)評(píng)價(jià)抽樣特性曲線性能的效果。

對(duì)教學(xué)而言，相較于傳統(tǒng)的理論教學(xué)，以實(shí)際生產(chǎn)情況為背景的探究式學(xué)習(xí)，更能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，知識(shí)點(diǎn)的詮釋也更為直觀與生動(dòng)。此外，學(xué)生對(duì)問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)、研究與解決能力在過(guò)程中得以培養(yǎng)與提高，也為將來(lái)的研究與工作的創(chuàng)新奠定了良好的基礎(chǔ)。