李 蕾

(淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 安徽 淮北 235000)

Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在過去的二十年中,由于在建模復(fù)雜動(dòng)力學(xué)方面的潛在應(yīng)用,已經(jīng)成為一個(gè)活躍的研究領(lǐng)域,成功地應(yīng)用于解決各種線性和非線性規(guī)劃問題,引起了人們的廣泛關(guān)注[1-6].近年來,由于實(shí)際系統(tǒng)中存在不確定性,隨機(jī)系統(tǒng)的同步性一直是研究的熱點(diǎn)問題,隨機(jī)建模在科學(xué)和工業(yè)的許多分支中起著重要的作用.一個(gè)真實(shí)的系統(tǒng)通常受到外部擾動(dòng)的影響,而外部擾動(dòng)在許多情況下具有很大的不確定性,因此可以被視為隨機(jī)的.因此,考慮隨機(jī)效應(yīng)對(duì)Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性的影響是非常重要的.

由于現(xiàn)實(shí)世界的網(wǎng)絡(luò)通常有大量的節(jié)點(diǎn),通過在所有節(jié)點(diǎn)上添加控制器來控制復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)通常是困難的.為了減少控制器的數(shù)量,一種自然的方法是通過牽引住部分節(jié)點(diǎn)來控制網(wǎng)絡(luò).事實(shí)上,許多實(shí)際系統(tǒng)經(jīng)常突然受到外部干擾,使系統(tǒng)在很短的時(shí)間內(nèi)改變軌跡.因此,具有脈沖效應(yīng)的動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的研究對(duì)于理解最真實(shí)世界的網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)態(tài)行為具有重要意義.[7]Liu采用牽引控制技術(shù),研究了非線性耦合網(wǎng)絡(luò)的固定同步問題,包括遞歸連接神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、Hodgkin-Huxley模型、Lorenz混沌振蕩器等.[8]Liu利用反應(yīng)-擴(kuò)散耦合:空間耦合設(shè)計(jì)了一種新的分布式耦合協(xié)議,研究了具有時(shí)變時(shí)滯和反應(yīng)-擴(kuò)散項(xiàng)的線性耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非周期性間歇牽引控制的完全同步問題.[9]Sanchez利用遞歸高階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行辨識(shí),提出了一種對(duì)未知耦合強(qiáng)度變化的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行牽引控制的新方案,以實(shí)現(xiàn)同步.

由于其具有適當(dāng)自適應(yīng)律的自動(dòng)調(diào)節(jié)功能,能夠保證更好的性能和提供用戶期望的結(jié)果,自適應(yīng)控制器已成為研究人員中最好的實(shí)時(shí)控制器之一.[10]Chen通過一種周期性間歇牽引自適應(yīng)控制策略,利用時(shí)滯積分不等式方法來克服隨機(jī)擾動(dòng)、中立項(xiàng)和時(shí)變時(shí)滯共存所引起的障礙,研究了具有時(shí)變時(shí)滯的中性隨機(jī)耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò).[11]Zhou針對(duì)非線性多節(jié)點(diǎn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)未知的問題,提出了響應(yīng)系統(tǒng)權(quán)值的更新規(guī)律和自適應(yīng)控制器的增益,實(shí)現(xiàn)了延遲多節(jié)點(diǎn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步.[12]Wang基于Lyapunov方法和Kirchhoff矩陣樹定理以及微分不等式技術(shù),對(duì)所考慮的模型推導(dǎo)出新的同步條件.[13]Li利用自適應(yīng)控制技術(shù),構(gòu)造了一個(gè)新的Lyapunov泛函,設(shè)計(jì)了自適應(yīng)更新律,導(dǎo)出了具有時(shí)變時(shí)滯的憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的兩個(gè)同步準(zhǔn)則.

在上述討論的基礎(chǔ)上,本文創(chuàng)新點(diǎn)如下:

1)設(shè)計(jì)合適的自適應(yīng)控制器以及構(gòu)造合適的Lyapunov-Krasovskii泛函(LKF),保證Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)主-從系統(tǒng)的同步,給出了Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)控制同步性的充分條件.

2)設(shè)計(jì)合適的牽引脈沖控制器以及結(jié)合李雅普諾夫穩(wěn)定性理論、LaSalle不變準(zhǔn)則和一些分析技術(shù),得到了Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的牽引控制同步性的充分條件.

1 預(yù)備知識(shí)

考慮如下形式的Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò):

(1)

其中:i=1,2,…,n;ai為連接權(quán)重;Tij表示第i個(gè)神經(jīng)元與第j個(gè)神經(jīng)元之間的強(qiáng)度;f(x(t))=(f(x1(t)),f(x2(t)),…,f(xn(t)))為神經(jīng)元的激活函數(shù).

相較于主系統(tǒng)(1),設(shè)計(jì)如下形式的從系統(tǒng):

(2)

其中:ui(t)為待設(shè)計(jì)控制器,令x(t)=(x1(t),x2(t),xn(t))T,y(t)=(y1(t),y2(t),yn(t))T,ei(t)=yi(t)-xi(t),則誤差系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為:

de(t)=[-Ae(t)+T?F(e(t-τ(t)))+u(t)]dt

定義1 系統(tǒng)的主-從系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)同步,若滿足

假設(shè)1 存在正常數(shù)Fi,使得對(duì)一切s∈R有

|fi(s1)-fi(s2)|≤Fi|s1-s2|

為了實(shí)現(xiàn)Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)同步性,設(shè)計(jì)如下形式的控制器:

u(t)=k(In?F)e(t)

當(dāng)考慮系統(tǒng)的牽引控制同步性問題時(shí),考慮形式如下的誤差系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程:

為了網(wǎng)絡(luò)全局指數(shù)穩(wěn)定,設(shè)計(jì)如下形式的牽引脈沖控制器,控制的節(jié)點(diǎn)數(shù)l?n:

LV(x,y,t)≤β(t)-w1(x)+w2(x),(x,y,t)

∈Rn×Rn×R+,

w1(x)E>w2(x),?x≠0,

引理2[16]對(duì)于任意的p,xi,yi,δi>0,有

引理3[15]令X,Y為任意的n維實(shí)向量,為正定矩陣,以及P∈Rn×n,則有以下矩陣不等式成立:

2XTPY≤XTR-1PTX+YTRY

若x,y為實(shí)向量,則存在Q,使得

成立.

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2 同步性判斷依據(jù)

定理1 在上述假設(shè)和引理2成立條件下,Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的主-從系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)同步性,若有不等式

-2AP+δTFP-2Pκ<0

證明：

則

由LaSalle不變準(zhǔn)則可知,在上述控制器下的主-從誤差系統(tǒng)可達(dá)到同步狀態(tài).

[r2(n-1)g1+g2f]<0

恒成立,其中:

g1=max{|Tij|,j≠i},g2=max{|Tii|},r1=λmin(R),r2=λmax(R),f=max{|Fi|},a=min{ai}.

證明：

綜上所述,可得

當(dāng)t=tk時(shí),

可得?t≥t0,V(t)≤V(t0).定義V(t)如下形式的水平集

3 數(shù)值例子

考慮如下形式的Hopfield誤差神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

de(t)=[-Ae(t)+Tg(e(t-τ(t)))]dt

當(dāng)n=2,主-從系統(tǒng)矩陣定義為

從而可以得到

-2AP+δTFP-2Pκ<0

符合定理?xiàng)l件,所以由定理3.1可知,Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的主-從系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)同步性.

圖1 主-從系統(tǒng)同步狀態(tài)

根據(jù)主-從系統(tǒng)同步狀態(tài)圖可知,誤差系統(tǒng)可達(dá)到同步狀態(tài).

4 結(jié) 語

本文通過設(shè)計(jì)合適的自適應(yīng)控制器以及牽引脈沖控制器來處理Hopfield型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局同步問題,利用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論、LaSalle不變準(zhǔn)則和一些分析技術(shù)得出了系統(tǒng)同步的充分條件,與現(xiàn)有方案相比,它更適用于許多重要的實(shí)際領(lǐng)域,如自動(dòng)控制系統(tǒng)的分析和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計(jì),因此具有廣泛的應(yīng)用前景.