李有堂,湯雷武,黃 華,吳榮榮

(蘭州理工大學機電工程學院,甘肅 蘭州 730050)

加工中心在加工過程中產生的誤差嚴重影響了加工精度。隨著機床結構的日益改進,熱誤差成為加工中心最大的誤差源,最高達到總誤差的70%[1]。因此,減小熱誤差是提高加工中心精度的首選路徑。

熱誤差是由機床不同構件熱效應耦合作用產生的熱變形,由于各構件的結構、尺寸以及材料不同,導致構件有不同的熱容量、熱膨脹系數、導熱系數。熱變形具有非線性和時滯性等特性,使目前許多熱誤差建模方法(如經驗公式法、數值計算法)存在時滯性、精度不高且外插值性不良等缺點。誤差補償法是軟件補償法的一種,通過對誤差源的測量分析,利用數學方法或數學工具對數據進行計算,找出誤差源之間的關系,從而建立誤差預測的數學模型[2-3]?？梢钥闯?采用誤差補償法對數控機床熱誤差進行補償是一個減少成本、提高預測精度且縮短計算時間的優(yōu)選方法。

在誤差補償法中,BP神經網絡建模法具有很強的非線性映射能力和柔性網絡結構等優(yōu)點,許多學者都引用BP神經網絡解決數控機床熱誤差建模問題。Guo等[4]建立了基于蟻群算法和人工魚群算法優(yōu)化BP神經網絡的熱誤差預測模型,取得了不錯的預測效果,但是BP神經網絡未知參數只是進行了隨機取值;Huang等[5]引入了遺傳算法優(yōu)化BP網絡的初始權重和閾值,發(fā)現優(yōu)化后的BP神經網絡可以有效避免陷入局部最優(yōu)的缺陷,且能夠提高預測精度;Li等[6]利用改進的粒子群算法優(yōu)化了BP神經網絡的初始權值和閾值,雖然取得了不錯的預測效果,然而并沒有對BP神經網絡隱含層神經元個數進行優(yōu)化取值。

從前人的研究中可以知道,BP神經網絡存在結構難以確定、容易過學習、易陷入局部極值且泛化能力較差等缺點,如果BP神經網絡結構、初始權值與閾值選擇不好,網絡將會難以收斂,進而不能達到理想的預測效果。螢火蟲算法具有自適應全局優(yōu)化的搜索能力,基于此,本文提出采用螢火蟲算法優(yōu)化BP神經網絡,目的是通過螢火蟲算法得到更好的網絡結構、初始權值和閾值?；舅枷胧怯梦灮鹣x個體位置向量代表網絡的隱含層神經元個數或初始權值與閾值,以個體值初始化的BP神經網絡的預測值與期望值之間的正則化均方根誤差作為該個體的適應度值,通過螢火蟲算法尋找最優(yōu)個體,即最優(yōu)BP神經網絡隱含層神經元個數或初始權值與閾值向量,從而構建螢火蟲算法優(yōu)化BP神經網絡模型(firefly algorithm to optimize the BP neural network,FABPNN)。在此基礎上建立了FA-BP神經網絡熱誤差模型,并對機床熱誤差進行預測。最后與BP神經網絡和最小二乘支持向

量機模型(least square support vector machine,LS-SVM)進行對比。結果表明,相比于BP神經網絡和LS-SVM模型,該方法提高了機床熱誤差預測效率,且精度完全滿足要求。

1 熱誤差實驗及誤差數據處理

1.1 GMC2000A機床Y軸熱誤差實驗

誤差測量實驗在實驗室穩(wěn)定環(huán)境中進行,實驗安排如下:通過對GMC2000A機床結構的深入分析,選取的關鍵熱源點有電機板(T1)、光柵尺(T2)、十字滑座左(T3)、橫梁(T4)、十字滑座右(T5)、電機外殼(T6)、滑塊(T7)、環(huán)境(T8) 和螺母座(T9)共9個位置。測量方法是:在GMC2000A機床關鍵熱源位置處共布置9個溫度傳感器(PT100 鉑電阻溫度傳感器),用于測量9個關鍵點處的溫度值,采用激光干涉儀(XL-80)測量和無紙記錄儀(XSR90記錄儀)記錄Y軸定位誤差。測量過程中,Y軸總行程為3 400 mm,前后各預留200 mm余量,共3 800 mm,每當Y軸伸進170 mm時,停留5 s,Y軸一個行程約為3 min。為突出溫度變化對誤差模型的影響,計劃Y軸每隔5個行程測量一組數據,每間隔20 min記錄一組定位誤差數據,共記錄840個誤差數據,40組溫度數據(因為機床運行中溫度值變化較小,因此每行程只采集一組溫度值)。測量期間,機床的速度設定為6～12 m/min,誤差數據如圖1所示。

1.2 溫度數據的篩選

1.2.1模糊C-均值聚類算法基本原理

在數控機床熱誤差預測模型中,溫度敏感點的數量不同,對模型精度的影響不同[7]。選取的溫度敏感點數過多會使得相近測點的輸出信號存在多元共線性;過少的溫度敏感點數不足以全面反映影響機床熱誤差的因素,進而導致模型精度不足。為了達到從眾多溫度測點中選出適當數目測點的目的,在保證信息系統(tǒng)區(qū)分能力不變的前提下,需要對機床熱誤差預測的溫度測點進行篩選。

模糊C-均值聚類算法(fuzzy C-means algorithm,FCM)是目前使用最廣泛的模糊聚類算法之一[8]。在FCM中設被分類對象的集合為X={x1,x2,…,xN},每一個對象xk有n個特性指標,設xk=(x1k,x2k…,xnk),如果要把X分成c類,則它的每個分類結果都對應一個c×N階的Boolean矩陣U=[μij]c×N,對應的模糊c劃分空間Mfc為:

(1)

則目標函數為:

(2)

式中:RcN為域空間;Jm為聚類損失函數;K為聚類中心數;N為樣本數;ci為j簇的中心;m為聚類的簇數,又稱加權指數;i、j為類標號;μij為樣本xi屬于j類的隸屬度;xj表示第j個樣本,x是具有d維特征的一個樣本;‖*‖為任意表示距離的度量。

根據Lagrange乘數法函數極值存在條件求解得:

(3)

加工中心熱分布數據經過聚類分析計算后,找出每一類中隸屬度值μij最大的數據點,該點就是本類的聚類中心,即溫度代表點。

1.2.2基于FCM的測溫點聚類選擇

對FCM參數初始化,設置最大迭代次數為50,隸屬度最小變化量為1E-06。加權指數m控制模型在模糊類間的耦合程度,適當的m值能夠抑制噪聲、控制隸屬度函數等,通過多次聚類分析,最終確定模糊權重指數m=1.5。基于此進行了模糊C-均值聚類,溫度點聚類結果見表1。

表1 FCM溫度篩選結果

1.2.3聚類有效性評價

溫度數據經聚類分組后,對聚類結果進行評價。最好的聚類結果為類間關系疏遠、類內關系緊密?，F依據聚類本質提出聚類結果有效性評價指標,如式(4)所示,分子為類內距離,分母為類間距離,因此評價指標F(c)值越小,聚類效果越優(yōu)。

(4)

(5)

聚類結果見表2。

表2 聚類有效性指標F值

從表1中可以看到,聚類數為3時,FCM迭代次數最少,且隸屬度都大于0.9,分兩類和四類時的迭代次數較多,且個別點的隸屬度值較小。從表2中可以發(fā)現,F(c)最小時分為三類。綜上所述,最終確定劃分為3類。其中第一類中T8隸屬度最大,第二類中T7隸屬度最大,第三類中T5隸屬度最大,因此確定T5、T7、T8為聚類中心。

2 螢火蟲算法優(yōu)化BP神經網絡的數學模型

2.1 螢火蟲算法優(yōu)化BP神經網絡模型分析

BP神經網絡算法[9]是將輸入變量從輸入層輸入,經隱含層計算后傳到輸出層并計算得到輸出變量,輸出變量與實際變量之間的差值進行反向傳遞,反復修正各網絡層間的連接權值與閾值,一直到網絡全局誤差最小,最終得到BP神經網絡模型。

BP神經網絡的輸入為:

(6)

式中:net為神經網絡,xi為樣本,ωi為權重因子。

BP神經網絡的映射關系為f:Rm→R1,其數學表達式為:

(7)

式中:xi+1為迭代后的樣本,cj為隱含層到輸出層的連接權值,bj為隱含層節(jié)點的輸出,ε為輸出層的閾值,f(Xi)為激活函數。

(8)

式中:ωij為輸入層至隱含層的連接權值,θj為隱含層節(jié)點的閾值。

BP神經閾值θj、ε和連接權值ωij、cj可通過訓練求得,因此xi+1是可預測的。

但是,BP神經網絡存在以下缺點:1)隱含層神經元個數與問題的要求、輸入(輸出)單元的數目有著直接的關系,隱含層神經元個數太多會使訓練時間過長,并且可能出現過擬合現象,隱含層神經元個數太少,無法建立優(yōu)良的映射關系,使得預測誤差變大;2) BP神經網絡初始權值和閾值是隨機初始化的,導致模型每次預測結果相差甚遠;3) BP神經網絡的訓練容易陷入局部最優(yōu)。

螢火蟲算法(firefly algorithm,FA)是一種智能仿生優(yōu)化算法[10],其聚類、特征提取等的性能勝過粒子群法、遺傳算法等[11-13],因此被越來越多地應用于工程和科學領域解決網絡、圖像處理等問題[14]。螢火蟲在自身的有限感知范圍內,會朝著發(fā)光更亮的螢火蟲(不分雌雄)移動,亮度最高的螢火蟲位置就是待定參數的最優(yōu)解?；诖?本文提出采用螢火蟲算法優(yōu)化BP神經網絡,解決BP神經網絡存在的諸多問題。

FA尋優(yōu)過程為:在搜索空間上隨機產生螢火蟲種群,個體亮度由個體所在空間位置決定,通過比較式(9)可得,螢火蟲個體朝著比自身更亮的個體移動;通過計算式(10)得到吸引力值,吸引力極大地影響個體的移動距離;根據式(12)計算移動后的新位置,位置更新公式中增加隨機擾動項rand,避免種群陷入局部極值,多次迭代更新后,個體將會移動到最亮個體的位置,即算法得到全局最優(yōu)極值。

螢火蟲i到螢火蟲j的歐氏距離rij為:

(9)

式中:d為搜索空間的維度,xi為第i個樣本集,xj為第j個樣本集,xi,k為第i個樣本集中第k個樣本,xj,k為第j個樣本集中第k個樣本。

螢火蟲i對螢火蟲j的吸引力βij(rij)為:

(10)

式中:β0為最大吸引力,表示光源處(r=0)螢火蟲的吸引力,通常β0=1;γ為光強吸收系數,γ的取值影響FA算法的收斂速度和優(yōu)化效果。

螢火蟲i相對與螢火蟲j的亮度Iij(rij)為:

(11)

式中:Ii為螢火蟲i的絕對亮度,對應螢火蟲i所處位置的目標函數值。

螢火蟲j被螢火蟲i吸引時,j會向i移動,更新原來的位置,j的位置更新公式為:

xj(t+1)=xj(t)+βij(rij)(xi(t)-xj(t))+α(rand-1/2)

(12)

式中:t為迭代次數;xj(t+ 1)為螢火蟲j在第(t+1)次迭代的位置;α為常數,α∈[0,1];rand是在[0,1]上服從均勻分布的隨機因子。

FA有以下優(yōu)點:1) 是群體智能算法,它具有群體智能算法的所有優(yōu)點;2) 受限于吸引度,吸引度會隨著距離增加而減小,因此若螢火蟲之間的距離較遠,較暗的螢火蟲不會被較亮的螢火蟲吸引過去,這使得整個種群可以自動劃分為多個子種群,每個子種群可以圍繞每個局部最優(yōu),然后在局部最優(yōu)解中找到全局最優(yōu)解;3) 如果種群規(guī)模比局部最優(yōu)解多,這種劃分會使螢火蟲能夠同時尋找到所有極值;4)沒有遺傳算法中的交叉和變異復雜操作,也沒有二進制編碼;5) 無需設置粒子群算法中的粒子移動速度,無需多次計算概率平均值。因此,本文采用螢火蟲算法對BP神經網絡的初始權值、閾值和隱含層神經元個數進行優(yōu)化,建立神經網絡效能評估模型,對數控機床熱誤差進行預測。

2.2 螢火蟲算法優(yōu)化BP神經網絡誤差模型

螢火蟲算法優(yōu)化BP(FA-BP)神經網絡的核心思想為:采用螢火蟲種群的迭代優(yōu)化代替BP神經網絡算法輸出誤差的梯度修正,將隱含層神經元個數或初始權值和閾值編碼成螢火蟲個體的位置向量,通過不同的螢火蟲位置參數訓練BP神經網絡,使得誤差最小,當滿足輸出精度要求或者達到迭代次數時獲得最優(yōu)解,最后對BP神經網絡未知參數進行賦值訓練。螢火蟲算法優(yōu)化BP神經網絡流程如圖2所示。

圖2 FA-BP神經網絡流程

3 GMC2000A機床熱誤差建模和預測

數控機床熱誤差建模問題是一個多元函數回歸問題,利用FA-BP神經網絡解決機床熱誤差問題是一種簡便且高效的方法。通過與BP神經網絡和最小二乘支持向量機(LSSVM)模型預測效果對比,驗證了基于螢火蟲算法優(yōu)化BP神經網絡的優(yōu)越性。具體建模步驟如下:將通過FCM篩選得到的3個溫度變量T5、T7和T8作為BP神經網絡的輸入,記為xi,將Y軸全程的定位誤差作為BP神經網絡輸出,記為yi,設置學習速率為0.01,最大訓練次數為100次,訓練目標為1.0E-07,構建BP神經網絡的熱誤差預測模型。

訓練數據設置:共40組傳感器參數,1～40組數據用于訓練,15～30組數據用于測試。

1)神經元節(jié)點數設計。輸入指標為3個溫度數據點,輸出指標為1個位移數據點,因此輸入層有3個神經元,輸出層有1個神經元。隱含層設計為[1,15]之間的整數,進行螢火蟲算法尋優(yōu)得出:當隱含層神經元個數為13時,FA-BP預測目標函數值最小,因此確定隱含層神經元個數為13。

2)FA-BP權值、閾值的初始化。通過以上迭代優(yōu)化,確定網絡的拓撲結構為“3-13-1”。隨機初始化螢火蟲個體位置向量,如圖3所示。經過訓練評估,選取最優(yōu)的初始螢火蟲位置向量作為BP神經網絡的初始權值與閾值。

圖3 螢火蟲個體位置向量結構

3)模型訓練。利用建立好的模型進行訓練,得到FA-BP神經網絡模型的最優(yōu)權值與閾值。

4)誤差預測。用訓練好的誤差模型對Y軸定位誤差進行預測。

為驗證FA-BP神經網絡模型的優(yōu)越性,從機床冷態(tài)到熱態(tài)過程中,對Y軸行至370 mm處的熱誤差進行預測,共進行16次,將預測后的殘差分別與未被優(yōu)化的BP神經網絡和最小二乘支持向量機誤差模型的預測殘差進行對比。殘差效果對比如圖4和表3所示。

表3 370 mm處多種誤差模型預測結果對比

圖4 370 mm處多種誤差模型殘差對比

從圖4和表3可以發(fā)現,FA-BP神經網絡預測效果明顯優(yōu)于未被優(yōu)化的BP神經網絡和LS-SVM,相比BP神經網絡,預測精度提高了28.12%,相比LS-SVM,預測精度提高了19.09%。說明對BP神經網絡的隱含層神經元個數、權值與閾值進行優(yōu)化是非常有必要的。

為了對FA-BP神經網絡模型全局預測效果進行驗證,對機床多個位置進行預測,分別為沿Y軸行至370、1 050、1 730、2 410和3 090 mm處,預測結果如圖5所示。

從圖5可以看出,機床從冷態(tài)到穩(wěn)態(tài),在Y軸的全部行程中,FA-BP神經網絡一直能保持一定的預測精度,進一步說明所建熱誤差模型預測精度高。

4 溫度波動對誤差模型的影響分析

在機床誤差測量過程中,所有的傳感器都有可能受到自身和外界的干擾,導致讀取的溫度值出現一定的波動。下面將對機床溫度數據出現波動時FA-BP神經網絡熱誤差模型的抗擾動能力進行驗證。

假設:讓每個測點溫度分別出現上、下10%的波動,形成兩組溫度數據,然后誤差模型對這種溫度波動進行預測,將兩種預測結果取平均值,作為溫度波動后的最終誤差預測結果,最后對誤差模型的預測性能做出評價,預測結果如圖6所示。

圖6 溫度波動下FA-BP神經網絡全局預測結果

從圖6可以看出,當機床溫度發(fā)生波動時,FA-BP神經網絡熱誤差模型仍然能夠保持很好的預測精度。

為了量化誤差模型的預測效果,利用真實值與預測值差的均方根誤差值RMSE、決定系數R2和預測精度η三個指標進行預測評估,公式如下。

(13)

(14)

(15)

RMSE值是誤差模型預測輸出曲線和真實誤差測量數據曲線間差值的均方根值,RMSE值越接近0,表示誤差模型預測越精準。R2值表示誤差模型預測輸出和真實誤差測量數據的相關程度,R2的范圍是[0,1],R2值越接近1,表示誤差模型的輸出越趨近于實測數據。η值描述的是誤差模型的性能,η值越高,表示模型預測精度越高。通過計算,螢火蟲優(yōu)化BP神經網絡測試是否受溫度影響的三個指標參數值見表4。

表4 溫度波動預測性能比較

機床在工廠等惡劣的環(huán)境下工作,受一些未知因素的影響,往往會導致機床精度下降,這時就需要抗干擾能力強的誤差補償模型,從表4可以看出,均方根值均接近于0,R2值都非常接近1,預測精度η相差較小,且都有很好的預測精度值,這就表示FA-BP熱誤差模型在惡劣工作環(huán)境中仍然能夠勝任誤差預測的工作。

5 結論

針對熱誤差影響數控機床加工精度的問題,本文提出了一種結合螢火蟲算法與BP神經網絡的數控機床熱誤差建模方法,該方法具有一定的理論研究意義和實際應用價值。第一,為提高模型穩(wěn)定性和精度,合理布置了機床熱傳感器,使用FCM算法篩選出具有代表性的熱誤差參數,構建了無多元共線性的誤差數據訓練庫;第二,為排除局部最小值干擾和加快收斂速度,兩次使用FA優(yōu)化BP神經網絡,第一次優(yōu)化BP神經網絡隱含層神經元個數,確定BP神經網絡的結構為“3-13-1”,第二次優(yōu)化BP神經網絡初始權值和閾值,避免了BP神經網絡采用隨機初始化權值和閾值問題。實驗驗證結果表明,在預測穩(wěn)定性和精度方面FA-BP模型預測效果明顯優(yōu)于BP神經網絡和LS-SVM模型。通過對溫度數據添加干擾,驗證了模型仍然有很高的預測精度,表明該熱誤差模型在實際工作環(huán)境中抗干擾能力強。