陳 楊 秦義校 楊俊樂(lè)

太原科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 太原 030024

0 引言

由于復(fù)雜工程問(wèn)題的有限元建模時(shí)間和求解時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，且在尋優(yōu)過(guò)程中需要大量的仿真數(shù)據(jù)，會(huì)使復(fù)雜工程問(wèn)題的尋優(yōu)耗費(fèi)大量時(shí)間。針對(duì)此問(wèn)題，研究人員迫切需要一種能夠高效求解工程問(wèn)題的代理模型，使復(fù)雜工程問(wèn)題的尋優(yōu)得到合理的解決方法。

代理模型又稱為元模型或響應(yīng)面模型，是基于少量數(shù)據(jù)而構(gòu)建的一種真實(shí)模型的模型，即模型的模型，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、計(jì)算效率高等特點(diǎn)[1]。最常用的代理模型包括多項(xiàng)式響應(yīng)面（Respones Surface methodology，RSM）、Kriging 模型、徑向基（Radial Bssis Function，RBF）函數(shù)等，很多學(xué)者針對(duì)代理模型的精確問(wèn)題進(jìn)行了研究[2]，并對(duì)RSM、Kriging 和RBF這3 種代理模型進(jìn)行了對(duì)比[3-5]，在實(shí)際工程中驗(yàn)證了其優(yōu)越性[6]。

針對(duì)箱形梁、薄板結(jié)構(gòu)的優(yōu)化主要集中在輕量化設(shè)計(jì)和對(duì)加強(qiáng)筋的優(yōu)化（如利用有限元軟件對(duì)橋式起重機(jī)合理、輕量化、節(jié)能化的箱形梁結(jié)構(gòu)等）[7]。Pinca C B等[8]利用Cosmos/M 有限元軟件對(duì)冶金起重機(jī)的箱形梁截面進(jìn)行輕量化設(shè)計(jì)；Abid M 等[9]針對(duì)橋式起重機(jī)箱形梁中加強(qiáng)筋的個(gè)數(shù)、形狀、位置進(jìn)行優(yōu)化，并優(yōu)化了箱形梁的截面形狀，以獲得最大的允許彎曲應(yīng)力；Zhang H 等[10]將函數(shù)逼近法與梯度下降法結(jié)合，通過(guò)對(duì)加強(qiáng)筋布局位置的優(yōu)化，提出了一種非對(duì)稱的加強(qiáng)筋布局形式；Putra G L 等[11]提出了一種混合遺傳算法（GA）對(duì)船舶結(jié)構(gòu)的加強(qiáng)筋數(shù)量、類型以及加強(qiáng)筋間距和板厚進(jìn)行優(yōu)化，得到了更加輕量化的船舶結(jié)構(gòu)；Ehsani A 等[12]提出針對(duì)薄板結(jié)構(gòu)的輕量化問(wèn)題，提出了一種格柵結(jié)構(gòu)的可變肋板模型（VRM）找到網(wǎng)格板的最佳布局方式。

本文針對(duì)橋式起重機(jī)箱形梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行輕量化設(shè)計(jì)，首先建立了有限元模型確定箱形梁各部位的優(yōu)化變量[13]，利用最優(yōu)拉丁超立方對(duì)設(shè)計(jì)變量抽樣，并對(duì)RSM、RBF 和Kriging 這3 種代理模型進(jìn)行擬合和插值[14]。其次，對(duì)得到的3 種代理模型進(jìn)行誤差分析。最后，提出了一種基于代理模型和自適應(yīng)模擬退火算法（Adaptive Simulated Annealing，ASA）以及序列二次規(guī)劃法（Sequence Quadratic Programing，SQP）相結(jié)合的優(yōu)化策略，對(duì)3 種模型在滿足強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性條件下進(jìn)行輕量化設(shè)計(jì)。

1 目標(biāo)函數(shù)及約束條件

橋式起重機(jī)的箱形梁通常在高溫、重載等惡劣環(huán)境中工作。由于箱形梁一般為細(xì)長(zhǎng)結(jié)構(gòu)，在彎扭、屈曲變形作用下容易產(chǎn)生局部失穩(wěn)和開(kāi)裂，從而對(duì)橋式起重機(jī)的正常運(yùn)行產(chǎn)生影響。因此，對(duì)箱形梁的結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化布局，進(jìn)而得到更好的力學(xué)性能是十分必要的[15，16]。

為了得到更加合理的布局形式，本文以箱形梁跨中最大應(yīng)力為驗(yàn)證條件，即目標(biāo)函數(shù)為最小化跨中最大應(yīng)力。在實(shí)際情況下，布局方式與箱形梁跨中最大應(yīng)力是高度非線性方程，代理模型能夠模擬這種黑盒特性及計(jì)算復(fù)雜性。為便于箱形梁的各個(gè)部位優(yōu)化，本文對(duì)各個(gè)優(yōu)化部位進(jìn)行歸一化操作，優(yōu)化結(jié)束后再反歸一化得到對(duì)應(yīng)的優(yōu)化結(jié)果。

如圖1 所示，本文的設(shè)計(jì)變量共有9 個(gè)，各個(gè)優(yōu)化部位用 替代整個(gè)優(yōu)化過(guò)程，其中X＝[x1，x2，x3，…，x9]T。x1和x2為主腹板和副腹板的厚度，x3為隔板的厚度，x4和x5為上翼緣板和下翼緣板的厚度，x6為上下翼緣板的間距，x7為腹板的間距，x8和x9為隔板孔寬和隔板孔長(zhǎng)。

圖1 橋式起重機(jī)箱形梁變量設(shè)計(jì)圖

本文用G1（X）表示設(shè)計(jì)變量與跨中最大應(yīng)力，箱形梁的變形同樣采用代理模型進(jìn)行模擬，用G2（X）表示設(shè)計(jì)變量與跨中最大變形的關(guān)系，優(yōu)化前箱形梁滿載時(shí)跨中最大應(yīng)力σmax＝200.69 MPa，跨中最大變形Ymax＝20.02 mm，由起重機(jī)設(shè)計(jì)準(zhǔn)則可得約束條件。

1）強(qiáng)度條件

式中：G1（X）為變量跨中最大應(yīng)力，σs為材料屈服強(qiáng)度，σb為材料抗拉強(qiáng)度。

2）剛度條件

式中：G2（X）為變量跨中最大變形，[Y]為箱形梁的許用變形。

最終得到的優(yōu)化方程為

式中：G1（X）為目標(biāo)函數(shù)，G2（X）為約束條件，Lb[X]為變量的下界，Ub[X]為變量的上界。

為了在優(yōu)化布局方式的同時(shí)不使模型質(zhì)量增加，加入質(zhì)量條件約束，設(shè)優(yōu)化前的質(zhì)量為Mt，優(yōu)化后的質(zhì)量為M，則有

2 組合代理模型全局優(yōu)化算法

本文采用自適應(yīng)模擬退火算法（ASA）與序列二次規(guī)劃法（SQP）相結(jié)合的算法（即ASA-SQP 算法），以此得到箱形梁的最佳布局方式。模擬退火算法是模擬金屬熱態(tài)加工過(guò)程而發(fā)展的算法，與遺傳算法有很多相似之處。模擬退火算法比遺傳算法更易于實(shí)現(xiàn)，因?yàn)槠湓诿看嗡阉骺臻g只檢查1 個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)，而遺傳算法對(duì)1 組尋優(yōu)點(diǎn)進(jìn)行尋優(yōu)。模擬退火算法的基本思路是從初始點(diǎn)開(kāi)始對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行評(píng)估，函數(shù)值下降，新的尋優(yōu)點(diǎn)即可被接受，如此反復(fù)直至找到最優(yōu)點(diǎn)。為了避免陷入局部最優(yōu)，根據(jù)Metropolis 判斷準(zhǔn)則函數(shù)值上升的點(diǎn)亦可被接受。自適應(yīng)模擬退火算法具有比模擬退火算法更強(qiáng)大的全局尋優(yōu)能力和計(jì)算效率，為了加速其在找到全局最優(yōu)解最近的尋優(yōu)速度，引入了梯度算法（序列二次規(guī)劃法）有更強(qiáng)的局部尋優(yōu)能力。

序列二次規(guī)劃法（SQP）是將目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行二次泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，并將約束條件線性化，通過(guò)解二次規(guī)劃得到下一個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)，然后根據(jù)2 個(gè)可供選擇的優(yōu)化函數(shù)執(zhí)行一次線性搜索，其中Hessian 矩陣由BFGS 公式更新。

代理模型的建模首先需要對(duì)樣本空間進(jìn)行抽樣，目前常見(jiàn)的抽樣方法為拉丁超立方設(shè)計(jì)(Latin Hypercube Design，LHD)，其原理是在n維設(shè)計(jì)空間中，將每一維坐標(biāo)區(qū)間［xkmin，xkmax］，k∈［1，n］均勻地等分成m個(gè)區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間被記為隨機(jī)選取m個(gè)點(diǎn)，保證一個(gè)因子的每個(gè)水平只被研究1 次，即構(gòu)成維度為n，樣本數(shù)為m的拉丁超立方設(shè)計(jì)，記為m×nLHD。

拉丁超立方設(shè)計(jì)比傳統(tǒng)試驗(yàn)設(shè)計(jì)能夠更好地布滿整個(gè)設(shè)計(jì)空間，但仍可能存在試驗(yàn)點(diǎn)分布不夠均勻、丟失設(shè)計(jì)區(qū)域的情況。最優(yōu)拉丁超立方設(shè)計(jì)(Optimal Latin Hypercube Design，OLHD)改善了拉丁超立方設(shè)計(jì)的均勻性，使因子和響應(yīng)的擬合更精確真實(shí)，圖2 為最優(yōu)拉丁超立方設(shè)計(jì)能生成更均勻樣本點(diǎn)的分布情況。

圖2 最優(yōu)拉丁超立方設(shè)計(jì)對(duì)比示意圖

本文的優(yōu)化流程分為建模和優(yōu)化2 個(gè)模塊。首先確定優(yōu)化變量并對(duì)其進(jìn)行參數(shù)化建模；其次利用最優(yōu)拉丁超立方設(shè)計(jì)對(duì)設(shè)計(jì)變量進(jìn)行優(yōu)化，為了得到更好擬合效果，對(duì)優(yōu)化變量進(jìn)行歸一化操作，并在設(shè)計(jì)空間內(nèi)隨機(jī)生成200 個(gè)樣本點(diǎn)；然后對(duì)3 種代理模型分別進(jìn)行擬合、插值，在設(shè)計(jì)空間中隨機(jī)生成50 個(gè)誤差樣本點(diǎn)，對(duì)誤差進(jìn)行分析；最后，利用ASA-SQP 算法對(duì)3 種代理模型進(jìn)行優(yōu)化，并將優(yōu)化結(jié)果與數(shù)值仿真進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證，得到最終優(yōu)化結(jié)果。

為了更好地評(píng)估3 種不同代理模型的建模精度，采用相同的樣本點(diǎn)和誤差點(diǎn)對(duì)3 種代理模型進(jìn)行誤差評(píng)估，工程上常用的代理模型誤差分析準(zhǔn)則為確定系數(shù)R2，即

式中：m為新隨機(jī)生成的驗(yàn)證點(diǎn)個(gè)數(shù)，yi為驗(yàn)證點(diǎn)上的真實(shí)值，為代理模型生成的替代值，為平均值。

確定系數(shù)R2是一種直觀反映模型預(yù)測(cè)能力的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，也是使用最多的一種誤差判斷準(zhǔn)則，其值越接近1 表示預(yù)測(cè)模型與真實(shí)值越接近。一般地，當(dāng)R2＞0.9 時(shí)，代理模型的擬合效果有效。

在約束條件中，共有3 個(gè)輸出變量，分別是質(zhì)量Mass、最大應(yīng)力Maxs 和跨中最大位移Maxu，此時(shí)3個(gè)輸出變量在3 個(gè)代理模型下的確定系數(shù)如圖3 所示。

圖3 3 個(gè)輸出變量的確定系數(shù)

由圖3 可知，Kriging 模型對(duì)3 個(gè)變量的代理均不符合確定系數(shù)的要求，而代理模型RBF、RSM 在Mass和Maxu 上的代理效果趨近于1，而在最大應(yīng)力上也不符合確定系數(shù)的要求。

由有限元軟件中改變輸入變量可知，最大應(yīng)力隨變量的改變其位置也發(fā)生改變，而代理模型的代理效果往往只針對(duì)于某一個(gè)區(qū)域的最大應(yīng)力，如箱形梁的最大變形總發(fā)生于跨中，故其代理效果往往尚佳。對(duì)有限元模型進(jìn)一步分析，可知箱形梁的最大應(yīng)力基本發(fā)生在跨中下蓋板及2 個(gè)端梁處，如圖4 所示。

圖4 優(yōu)化前應(yīng)力云圖

綜上所述，為了得到更好代理效果，將Maxs 變量替換為跨中下蓋板及2 個(gè)端梁處的最大應(yīng)力，分別表示為Maxs_1、Maxs_2、Maxs_3，重復(fù)上述代理模型舍棄掉Kriging 模型，得到的確定系數(shù)R2如圖5 所示。

圖5 確定系數(shù)R2

由圖5 可知，通過(guò)添加代理變量，RBF 和RSM 在5 個(gè)代理變量下均達(dá)到確定系數(shù)許用要求。然而為了得到更好代理效果，從5 個(gè)變量確定系數(shù)的絕對(duì)大小分別看，提出一種組合代理模型，即Mass 和Maxs_1 采用RSM 代理，而Maxs_2、Maxs_3 和Maxu 變量采用RBF 代理，得到一種組合代理模型RSM-RBF。

3 優(yōu)化算法

利用ASA-SQP 算法對(duì)3 種代理模型進(jìn)行優(yōu)化，并將優(yōu)化結(jié)果與數(shù)值仿真進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證，得到最終優(yōu)化結(jié)果。對(duì)RSM、RBF 和RSM-RBF 這3 種代理模型進(jìn)行優(yōu)化得到迭代圖像如圖6 所示，3 種代理模型優(yōu)化結(jié)果與有限元的對(duì)比如表1 所示。

表1 各代理模型優(yōu)化對(duì)比

圖6 收斂迭代圖

由表1 可知，基于RBF 得到的最小質(zhì)量最大，但其在Maxs_2、Maxs_3 以及Maxu 這3 個(gè)變量的誤差要顯著小于RBF代理模型，這與確定系數(shù)的誤差判斷一致。RSM 以及RSM-RBF 這2 種代理模型優(yōu)化得到的質(zhì)量相差無(wú)幾，但RSM-RBF 代理5 個(gè)變量與有限元結(jié)果進(jìn)行對(duì)比所得到的綜合誤差要優(yōu)于組合變量之前的兩種單獨(dú)代理模型的誤差。綜上，本文最終采用RSM-RBF 組合代理模型作為本文最終優(yōu)化所用的模型。

4 優(yōu)化結(jié)果

各部分的優(yōu)化結(jié)果如表2 所示，所得到優(yōu)化后的質(zhì)量為55.33 t，相比于優(yōu)化前的65.54 t，箱形梁的質(zhì)量降低了15.59%。

表2 各代理模型優(yōu)化對(duì)比

其優(yōu)化后的應(yīng)力云圖7 所示，結(jié)果符合強(qiáng)度、剛度條件。

圖7 優(yōu)化后的應(yīng)力云

5 結(jié)論

本研究針對(duì)工程優(yōu)化中常用的3 種代理模型，即多項(xiàng)式響應(yīng)面（RSM）、RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和Kriging 模型進(jìn)行了比較研究，對(duì)橋式起重機(jī)的進(jìn)行輕量化設(shè)計(jì)。通過(guò)對(duì)3 種代理模型在確定系數(shù)R2的誤差分析，按子結(jié)構(gòu)進(jìn)行分塊代理達(dá)到了更好的代理效果，根據(jù)不同代理模型的代理效果，提出了RSM-RBF 組合代理模型。最后，利用一種智能與梯度組合算法對(duì)3 種代理模型進(jìn)行優(yōu)化，并將優(yōu)化結(jié)果與有限元分析結(jié)果進(jìn)行對(duì)比.結(jié)果顯示，RSM-RBF 組合代理模型有更好的誤差代理效果，且其尋優(yōu)結(jié)果使得質(zhì)量降低了15.59%，證明了改優(yōu)化策略具有與一定的工程價(jià)值。