張凱勝，蘇秀琴，劉凱

（1 中國科學院西安光學精密機械研究所，西安 710119）

（2 中國科學院大學，北京 100049）

0 引言

星敏感器作為天文導航的一種高精度空間姿態(tài)測量設備，是通過對恒星角距的觀測獲得空間飛行器的姿態(tài)［1-3］。目前，星敏感器地面測試主要設備是星模擬器，星模擬器按照工作方式不同分為標定型星模擬器和功能檢測型星模擬器。標定型星模擬器結(jié)構簡單，沒有實時性要求，對單星張角、星點位置和星等的模擬精度要求較高［4］；功能檢測型星模擬器的核心顯示器件是光閥，由于其國內(nèi)研制水平較低，國外出口的限制制約了星模擬器的發(fā)展［5］。因此，球幕投影技術越來越多的在該領域展現(xiàn)出優(yōu)越性，它不僅能夠?qū)崿F(xiàn)對高精度星敏感器功能的測試，還可以實現(xiàn)復雜光背景下的性能驗證測試和動態(tài)性能仿真測試［6-7］。

星間角距作為星模擬器的關鍵技術參數(shù)，是衡量其測試精度的重要指標［8］，它是任意兩星點之間所存在的角位置關系，其大小取決于各星點位置［9-10］。光學系統(tǒng)作為星模擬器的重要組成部分，其彗差、場曲、像散和畸變均會引起星點位置發(fā)生變化，導致由星點位置計算的星間角距與理論星間角距存在差異，影響仿真精度，因此，研究光學系統(tǒng)像差對星間角距的影響是確保星模擬器高精度的重要保障。

本文提出了一種基于光學系統(tǒng)像差影響的星間角距修正方法，即通過分析光學系統(tǒng)像差對星間角距的影響，建立了相應的數(shù)學模型并進行了實驗驗證。

1 球幕投影的星模擬器工作原理及平臺設計

1.1 工作原理

球幕投影的星模擬器工作原理如圖1 所示，球幕坐標系等比縮放慣性坐標系，球心代表地心，投影儀將星圖投射在球幕上，每個星點相對于球心的方位角和俯仰角分別等于其赤經(jīng)和赤緯。三軸轉(zhuǎn)臺坐標系代表衛(wèi)星坐標系，實時模擬衛(wèi)星姿態(tài)信息。基于衛(wèi)星時間、主星和目標星的初始軌道參數(shù)，進行衛(wèi)星姿態(tài)動力學方程的解算，并將解算后的姿態(tài)信息實時傳送至三軸轉(zhuǎn)臺。同時根據(jù)軌道信息和參數(shù)進行的高精度軌道遞推，完成主星目標星相對位置關系計算，解算出在慣性坐標系下的目標天區(qū)指向，實時傳輸給二軸轉(zhuǎn)臺。星敏感器放置在三軸轉(zhuǎn)臺上，視軸指向為初始設置值，當啟動搜索目標時，按照既定軌道進行搜索，當指向球幕上的投影區(qū)時，探測到目標并進行識別。動目標投影儀和恒星投影儀放置在二軸轉(zhuǎn)臺上，隨著動力學解算出的目標星相對視線角的變化，二軸轉(zhuǎn)臺將跟隨動力學視線角運動，帶動投影儀輸出方向發(fā)生變化，則投影區(qū)在球幕上的位置也發(fā)生變化，從而完成對星敏感器全天區(qū)、復雜背景下的靜態(tài)標定和動態(tài)性能測試。

圖1 球幕投影的星模擬器原理Fig.1 Schematic diagram of star simulator for spherical screen projection

主星和目標星相對運動示意圖如圖2 所示，Oi-XiYiZi表示慣性坐標系，Rc為主星地心距矢量，Rt為目標星地心距矢量，r為目標星相對于主星的位置矢量。根據(jù)矢量關系有r=Rt-Rc，矢量r指向的天區(qū)即是星敏感器看到的天區(qū)。根據(jù)r的指向查找星圖，并根據(jù)同一時間太陽、月亮的軌道參數(shù)，計算太陽和月亮的位置矢量與視軸矢量關系，經(jīng)過坐標轉(zhuǎn)換，可得到視場范圍內(nèi)相應的星空背景圖像和目標星圖像，這個圖像輸出給投影儀，投影儀將輸入的圖像投影到球幕上，當星敏感器指向投影區(qū)時能夠探測到圖像，并與其在軌飛行期間看到的圖像一致。

圖2 主星和目標星相對運動示意圖Fig.2 Schematic diagram of relative motion of main star and target star

1.2 平臺設計

如圖3 所示，該平臺主要包括球幕、動目標投影儀、恒星投影儀、五軸飛行轉(zhuǎn)臺、圖形工作站、實時仿真計算機等。實時仿真計算機根據(jù)軌道高度、時間及日期解算當時衛(wèi)星在軌姿態(tài)，為三軸轉(zhuǎn)臺和兩軸轉(zhuǎn)臺及圖像生成軟件提供輸入數(shù)據(jù)；五軸轉(zhuǎn)臺由一個三軸轉(zhuǎn)臺和一個與之共軸安裝的二軸轉(zhuǎn)臺及相關控制柜組成，其中三軸轉(zhuǎn)臺與二軸轉(zhuǎn)臺獨立運行，互不影響，主要用于模擬衛(wèi)星姿態(tài)運動，以完成星體姿態(tài)角和角速度的模擬，并根據(jù)兩星視角關系將投影儀的鏡頭調(diào)整到正確的投影方向上，以確保能夠始終看到圖像；圖形工作站接收來自實時仿真計算機的時間、主星和目標星的軌道參數(shù)等數(shù)據(jù)，根據(jù)星敏感器在衛(wèi)星上的安裝矩陣和指向角數(shù)據(jù)，計算其視場大小，調(diào)用圖像生成軟件，模擬當前視場內(nèi)的光學圖像，并分別送給動目標投影儀和恒星投影儀。將目標星的圖像和背景星空的圖像投影到球幕上，呈現(xiàn)出恒星背景和目標星圖像。

圖3 平臺設計圖Fig.3 Design drawing of platform

2 基于像差影響的星間角距數(shù)學模型

2.1 數(shù)學模型建立

任意兩個星點所確定的角位置關系如圖4 所示［11］，星點經(jīng)過光學系統(tǒng)投射在像面上的坐標關系如圖5所示。

圖4 任意兩星點間的角位置關系Fig.4 Angular position relationship of two star points

圖5 星點在像面上的坐標關系Fig.5 Coordinate diagram of star points on image plane

根據(jù)圖5 可知

根據(jù)圖4 和圖5 中的幾何關系及式（1）～式（5）計算得到兩星點之間的星間角距為［12］

星點位置誤差是影響星間角距的主要因素，而星點位置誤差產(chǎn)生的一個主要的原因是光學系統(tǒng)像差［13-14］，在高精度星模擬器系統(tǒng)中，分析星間角距誤差時，不能單純只考慮畸變一種像差帶來的影響，應該綜合整個光學系統(tǒng)各類像差帶來的星點位置偏移所引起的星間角距誤差［13-14］。如圖6 所示，對于星點A，在像差影響的情況下，其位置變?yōu)锳'，圖中的位置b，e，c相應的變?yōu)閎'，e'，c'，方位角α和俯仰角β分別變?yōu)棣痢浜挺隆?。對于任意兩星點A和B，在像差的影響下，星點A和B的位置分別變?yōu)锳'和B'，O點相對A'，B'兩點的俯仰角分別為，相對A'和B'兩點的方位角分別為，相應的b1，e1，c1變?yōu)?，b2，e2，c2變?yōu)?，如圖7 所示。

圖6 像差對星點位置影響示意圖Fig.6 Schematic diagram of influence of aberration on star position

圖7 像差對星點星間角距影響示意圖Fig.7 Schematic diagram of the influence of aberration on the angular distance between stars

根據(jù)圖6 可知，各參數(shù)之間的關系為

根據(jù)圖7 可知，像差引起星點A、B位置變化，其偏移量與理想位置的關系可表示為

式中，Δx，Δy是與像差有關的小量，光學系統(tǒng)像差的大小用δy′表示，則有

式中，φ為星點A在x軸上的投影與O′A的夾角，故有

化簡式（17）得到

聯(lián)合式（1）～式（3）及式（15）～式（18）式代入到式（12）和式（13）中化簡得到

將式（19）和式（20）代入式（7）和式（9）中化簡得到

最終，將式（21）和式（22）代入到星間角距公式中可以得到基于像差的星間角距，即

因此，像差對任意兩星點的星間角距的誤差為

2.2 光學系統(tǒng)像差影響

在光學系統(tǒng)中，幾何像差表示實際光線在理想像平面上的交點與理想位置的差值，其表達式為［15］

式中，δy′，δx′表示光學系統(tǒng)的幾何像差，A1，A2，A3，A4，A5分別表示球差、彗差、像散、場曲和畸變系數(shù)，h表示光束孔徑，y′表示像高。

1）彗差的影響

彗差是軸外物點寬光束像差，式（25）和式（26）中的第二項表示彗差的大小，可以看出，彗差與h2和y′成比例，將式（25）和式（26）中彗差引起的星點橫向偏移量代入式（21）和式（22）中得到彗差對方位角α和俯仰角β的影響為

最后將式（27）和式（28）代入式（23）和式（24）中可計算得到彗差對星間角距的影響。

2）場曲和像散的影響

細光束場曲會引起高斯像面的變化，不同視場像高也會隨著變化，如圖8 所示，場曲引起星點位置的偏移記為δy，則

式中，δy′為細光束場曲的大小，ω為視場角，式（25）和式（26）中的第三項表示場曲和像散的大小。

將式（25）和式（26）中的場曲項代入式（29）得到場曲和像散引起的星點橫向偏移為

將式（30）、式（31）中的場曲項代入到式（21）、式（22）中得到細光束場曲對方位角α和俯仰角β的影響，即

將式（30）、式（31）中的像散項代入到式（21）、式（22）中得到像散對方位角α和俯仰角β的影響，即

最后將式（32）～式（35）分別代入式（23）和式（24）中可計算得到場曲和像散對星間角距的影響。

3）畸變的影響

畸變是主光線的像差，根據(jù)式（25）第四項得到畸變的橫向偏移量，將其代入到式（21）、（22）中得到畸變對方位角α和俯仰角β的影響，即

最后將式（36）和式（37）分別代入式（23）和式（24）中可計算得到畸變對星間角距的影響。

3 像差對星間角距影響的實例分析

3.1 投影光學系統(tǒng)像差

本文以球幕投影的星模擬器平臺為例，其投影光學系統(tǒng)參數(shù)如表1 所示，光路如圖9 所示，投影系統(tǒng)焦距為52.8 mm，投射距離12 m。

表1 投影系統(tǒng)的技術指標Table 1 Technical indicators of projection system

圖9 焦距為52.8 mm 光學系統(tǒng)Fig.9 Optical system with focal length of 52.8 mm

該投影系統(tǒng)MTF 如圖10 所示，從圖中可以看出，MTF 曲線均平滑過渡，在高頻93 lp/mm 時，全視場MTF 均大于0.48。不同視場彗差大小可通過彗差和數(shù)計算得到，計算得到不同視場彗差大小如表2 所示。

圖10 光學系統(tǒng)MTF 曲線Fig.10 MTF curve of optical system

表2 各視場彗差和數(shù)及彗差大小Table 2 Coma sum and coma size of each field of view

光學系統(tǒng)場曲、像散和畸變曲線如圖11 和圖12 所示，從圖中可以看出，該投影系統(tǒng)為負畸變，畸變大小為?0.5%。

圖11 場曲和像散曲線Fig.11 Field & Astigmatism curve

圖12 畸變曲線Fig.12 Distortion curve

3.2 結(jié)果仿真

軟件生成部分星圖如圖13 所示，該星圖中各星點的理論方位角和俯仰角如表3 所示。將該星圖中各星點的方位角和俯仰角及其所在視場的像差代入式（27）～式（37）中，計算得到不同像差影響下的各星點的方位角和俯仰角，最后通過式（23）和式（24）計算的到像差對星間角距影響的誤差，計算結(jié)果如圖14 所示。

表3 各星點位置Table 3 Positions of stars

圖13 軟件生成的部分星圖Fig.13 Partial star map generated by software

圖14 像差對星間角距影響Fig.14 Aberration effect on inter satellite angular distance

由圖14 可以看出，彗差對星間角距影響最大為?10.04″，場曲對星間角距最大影響為?13.07″，像散對星間角距影響最大為?2.92″，畸變對星間角距最大影響為34.78″，考慮到各像差對星間角距的補償性，得到像差對星間角距影響的總誤差最大為16.53″。

4 實驗驗證與分析

4.1 實驗驗證

球幕投影的星模擬器實物圖如圖15 所示，軟件生成的星圖經(jīng)過光學系統(tǒng)投射到球幕上，通過調(diào)整經(jīng)緯儀高度，使其與中央星點處于同一高度和水平，觀測是否能看到全視場內(nèi)所有星點，采用經(jīng)緯儀測量球幕上顯示的所有待測星點的方位角和俯仰角，如圖16 所示，通過測量得到各星點的方位角和俯仰角如表4 所示。

圖15 平臺實物圖Fig.15 Physical drawing of platform

圖16 投射星點測試實物圖Fig.16 Projection star point test object

表4 各星點實測位置Table 4 Measured position of each star point

通過表4 中測量的方位角和俯仰角計算得到各星之間的星間角距誤差如圖17 所示，從圖中可以看出，實際測試所得的星間角距誤差最大為27.56″，而經(jīng)緯儀的固有誤差為0.5″，因此，經(jīng)緯儀固有誤差的影響可忽略不計。

圖17 星間角距誤差實測值Fig.17 Measured value of inter satellite angular distance error

4.2 誤差修正

在星間角距誤差修正過程中，首先對視場分辨率大小的區(qū)域進行網(wǎng)格分區(qū)，本文將水平方向分了6 個區(qū)域，將垂直方向分了6 個區(qū)域，根據(jù)像差大小與所建立的星間角距數(shù)學模型，進行多項式曲線擬合，如圖18所示。其中，水平灰色區(qū)域帶里面星點的俯仰角按照水平X坐標和垂直修正量進行擬合，垂直灰色區(qū)域帶中的星點的方位角按照垂直Y坐標和水平修正量進行擬合。對于交叉區(qū)域來說方位角和俯仰角就都進行了擬合，然后以同樣的方法對其他區(qū)域進行擬合，從而完成整個區(qū)域方位角和俯仰角的擬合。

圖18 擬合示意圖Fig.18 Fitting diagram

結(jié)合所建立的星間角距數(shù)學模型，針對各星點的方位角和俯仰角進行曲線擬合，得到各星點位置誤差擬合曲線如圖19 所示。其中，像差x向?qū)Ψ轿唤怯绊懙臄M合曲線方程為

圖19 像差對方位角影響的擬合曲線Fig.19 Fitting curve of coma effect on azimuth

像差y向?qū)Ω┭鼋堑臄M合曲線方程為

根據(jù)式（38）和式（39）可得到星點位置誤差與方位角和俯仰角的關系，代入下式中計算得到修正后方位角和俯仰角的大小。

式中，Δx和Δy可從擬合曲線中得到，a和b是星點的理論位置，f是焦距，αi和βi是測量得到的方位角和俯仰角，s為像素大小，α0i為各星點與中央星點的方位角。修正后各星點方位角和俯仰角如表5 所示，修正后星間角距誤差如圖20 所示，結(jié)果表明，修正后星間角距最大誤差為16.96″，相對于修正前（27.56″）減小了10.60″。

表5 修正后各星點位置Table 5 Position of star points after correction

圖20 修正后星間角距誤差Fig.20 Corrected inter satellite angular distance error

5 結(jié)論

針對經(jīng)典星間角距數(shù)學公式?jīng)]有考慮像差影響的問題，提出了一種基于光學系統(tǒng)像差影響的星間角距修正方法，建立了相應的星間角距數(shù)學模型。以球幕投影的星模擬器平臺為例，分析了不同像差對星點位置的影響，通過對該實例中各星點之間的星角距進行測量，結(jié)合所建立的星間角距數(shù)學模型，完成星間角距的修正，從而有效地提高了星模擬器的仿真精度。