陳龍

摘 要：為實現(xiàn)計算機輔助設(shè)計（CAD）與計算機輔助分析（CAE）的一體化，構(gòu)建適用于等幾何分析的模型，有關(guān)學(xué)者提出體參數(shù)化造型方法。針對體參數(shù)化模型構(gòu)建過程中存在的操作煩瑣、耗時長等問題，文章提出一種參數(shù)驅(qū)動體參數(shù)化模型快速構(gòu)建的方法。首先，從草圖中提取模型輪廓參數(shù)，利用提取到的參數(shù)構(gòu)建模型的樣條曲線輪廓，其次結(jié)合剖分算法對曲多邊形進(jìn)行剖分，最后將二維曲面映射到三維得到體參數(shù)化模型。實例表明該方法能夠通過較少的模型參數(shù)快速得到體參數(shù)化模型，無須進(jìn)行節(jié)點矢量等數(shù)據(jù)的重復(fù)輸入。

關(guān)鍵詞：等幾何分析;體參數(shù)化;剖分;樣條

中圖分類號：TP391.4 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

0 引言（Introduction）

隨著智能制造的快速發(fā)展，對產(chǎn)品的設(shè)計與分析的要求也隨之提高，以縮短產(chǎn)品設(shè)計周期及降低成本為目的，計算機輔助設(shè)計（CAD）與計算機輔助工程（CAE）一體化已成大勢所趨。等幾何分析（IGA）融合了計算機輔助設(shè)計（CAD）和計算機輔助工程（CAE）兩個相關(guān)學(xué)科，近年來成為數(shù)值分析和幾何建模領(lǐng)域的一個熱點。

當(dāng)代計算機輔助幾何設(shè)計（CAGD）系統(tǒng)生成的三維幾何對象幾乎完全利用邊界表示（B-rep）和構(gòu)造表示（CSG）[1]，使用傳統(tǒng)有限元分析法對幾何模型進(jìn)行分析優(yōu)化時，需要進(jìn)行劃分網(wǎng)格，而離散網(wǎng)格生成階段約占整個設(shè)計分析過程的80%，實際設(shè)計優(yōu)化過程中模型可能要進(jìn)行多次轉(zhuǎn)換，導(dǎo)致模型細(xì)節(jié)易丟失，時間成本也比較高，而基于樣條曲線表達(dá)體參數(shù)化模型以及等幾何分析有望實現(xiàn)CAD和CAE的無縫融合。以B樣條或非均勻有理B樣條作為映射函數(shù)的體參數(shù)化模型可避免B-Rep和CSG表達(dá)模型的缺陷，不需要進(jìn)行格式轉(zhuǎn)換和劃分網(wǎng)格，就可直接進(jìn)行分析和優(yōu)化。但是，體參數(shù)化模型表達(dá)形式必須是零虧格的三變量張量體，導(dǎo)致其難以創(chuàng)建具有任意拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的三維模型，比如帶有空洞的模型。此外，在創(chuàng)建體參數(shù)化模型時，需要進(jìn)行控制點、節(jié)點矢量、次數(shù)等參數(shù)的設(shè)置，這也使得時間成本升高。本文提出一種快速構(gòu)建體參數(shù)化模型的方法，從草圖中提取模型輪廓參數(shù)，首先利用提取到的參數(shù)構(gòu)建模型有理B樣條曲線輪廓，其次結(jié)合四邊剖分算法對曲多邊形進(jìn)行剖分，最后將二維映射到三維得到體參數(shù)化模型。

1 相關(guān)工作（Related work）

由于非均勻有理B樣條（NURBS）在形狀定義方面的功能強大，可精確表示二次曲線和球面等曲面，通常用來構(gòu)建復(fù)雜體參數(shù)化模型。目前，體參數(shù)化模型的構(gòu)建主要分為創(chuàng)建式和重建式兩種方法。創(chuàng)建式方法通過構(gòu)建截面和路徑，并結(jié)合拉伸、掃描和放樣等幾何操作，得到體參數(shù)化模型[2]。重建式方法通過提取現(xiàn)有的點云模型和標(biāo)準(zhǔn)格式模型等模型中的參數(shù)或特征構(gòu)建體參數(shù)化模型[3-4]。創(chuàng)建式方法多采用不同樣條進(jìn)行體參數(shù)化模型的構(gòu)建，其中B樣條和NURBS的應(yīng)用較為廣泛。王中等[5]提出一種基于特征驅(qū)動的T樣條船體曲面參數(shù)化設(shè)計方法。何坤金等[6]提出了層次參數(shù)化的自由曲面特征表示與實現(xiàn)方法。目前，重建式方法應(yīng)用較為廣泛，但模型轉(zhuǎn)換存在誤差。ZUO等[7]將CSG模型重新分成若干實體，并用NURBS進(jìn)行表示，將相鄰兩個實體進(jìn)行裁剪并參數(shù)化，結(jié)合布爾運算得到整體模型。

在構(gòu)建體參數(shù)化模型時，需要對存在虧格的模型進(jìn)行剖分，使之轉(zhuǎn)化為零虧格模型。目前，針對模型剖分的算法已有大量相關(guān)研究，主要分為簡單多邊形凸分解和網(wǎng)格分解。（1）簡單多邊形凸分解，剖分結(jié)果多為三角形和四邊形集合，如梯形分割算法[8]。（2）網(wǎng)格分解，剖分得到有限元網(wǎng)格或曲四邊網(wǎng)格，三維網(wǎng)格是在二維網(wǎng)格的基礎(chǔ)上得到的，如Q-Morph（曲面四邊形生成）法。陳建軍等[9]提出一種基于前沿推進(jìn)三角網(wǎng)格思想的鋪路法拓展至曲面四邊網(wǎng)格生成的方法。對于適用于等幾何分析的二維參數(shù)化曲面或三維體參數(shù)化模型，其形式為嚴(yán)格的雙變量張量曲面或三變量張量體，映射到物理域為二維四邊曲面或三維六面體，故剖分之后應(yīng)為全四邊形或六面體，因此直接進(jìn)行體分割較為困難，可在二維剖分的基礎(chǔ)上結(jié)合特征操作得到體參數(shù)化模型。

2 體參數(shù)化理論基礎(chǔ)（Theoretical basis ofvolume parameterization）

2.1B樣條基函數(shù)

采用de Boor-Cox遞推公式定義B樣條基函數(shù)，其表示形式如公式（1）：

3 體參數(shù)化模型構(gòu)建（Volume parameterizedmodeling）

以NURBS為基礎(chǔ)，采用創(chuàng)建式方法直接進(jìn)行體參數(shù)化構(gòu)建，但是在模型構(gòu)建過程中，需要手動給出曲線的控制點、節(jié)點矢量和次數(shù)，操作煩瑣，導(dǎo)致工作量較大、時間成本高。本文從草圖中提取模型的主要參數(shù)，根據(jù)參數(shù)設(shè)置對應(yīng)控制點坐標(biāo)，由點與點之間的拓?fù)潢P(guān)系，得到模型的內(nèi)外輪廓，結(jié)合改進(jìn)的剖分算法對多邊形進(jìn)行剖分，結(jié)合拉伸等特征操作生成體參數(shù)化模型[10]。體參數(shù)化模型構(gòu)建流程如圖1所示。

3.1 參數(shù)驅(qū)動NURBS曲線模型構(gòu)建

模型構(gòu)建過程中，最主要的是多邊形輪廓的生成，為提高模型輪廓構(gòu)建效率，將常用輪廓線進(jìn)行封裝，并存放到模型庫中。在構(gòu)建多邊形輪廓時，通過直接調(diào)用模型庫中的基礎(chǔ)輪廓線，達(dá)到模型快速構(gòu)建的目的。

直線是曲線中的一種，是多邊形輪廓中最常用的，所以將其封裝成模板，并存入模板庫中。設(shè)置直線的節(jié)點矢量U={0，0，0，1，1，1}，次數(shù)為2，通過給出起始點和終止點，構(gòu)建目標(biāo)直線，如圖2（a）所示，其端點權(quán)重默認(rèn)為1。同樣，設(shè)置弧線段的初始節(jié)點矢量為U={0，0，0，1，1，1}，曲線次數(shù)為2，給出初始3個頂點，構(gòu)建角度為90°的圓弧線，如圖2（b）所示，其頂點權(quán)重分別為1、cos（π/4）、1。

在多邊形輪廓構(gòu)建過程中，時常會出現(xiàn)任意角度θ 的圓弧，如圖2（c）所示。這時，需要對中間頂點的權(quán)重進(jìn)行計算。其權(quán)重計算公式如下：

3.2 參數(shù)驅(qū)動NURBS曲面模型構(gòu)建

對于一些常用的二維平面模型，也可以將其存放到模型庫中，當(dāng)要使用時，只需要輸入相應(yīng)的參數(shù)即可。在構(gòu)建二維平面模型輪廓的時候，可以使用模型庫中的基本曲線構(gòu)建輪廓。

我們只需要設(shè)置基本的參數(shù)，由參數(shù)得到模型中的特征點坐標(biāo)，進(jìn)而生成多邊形的輪廓線。最常用的二維模型是圓形和正方形：通過輸入二維圓模型的半徑，得到圓的輪廓多邊形，然后使用Coons插值，得到二維曲面，如圖3（a）和圖3（b）所示。同樣，通過輸入正方形外輪廓邊長和內(nèi)輪廓半徑最終得到二維曲面模型，如圖3（c）和圖3（d）所示。

3.3 參數(shù)驅(qū)動NURBS體模型構(gòu)建

對于常用的三維模型，如圓柱體、正方體等，可以通過已有的二維常用曲面，結(jié)合拉伸、放樣和掃描等特征操作，得到三維體參數(shù)化模型。圖4是拉伸操作后得到的三維模型。

3.4 復(fù)雜模型構(gòu)建

對于復(fù)雜模型，特別是存在虧格的機械零件模型，在進(jìn)行體參數(shù)化模型創(chuàng)建時，首先需要將其轉(zhuǎn)換為零虧格的模型，其次進(jìn)行全四邊剖分，最后構(gòu)建體參數(shù)化模型。

存在虧格的幾何域，可通過改進(jìn)連接線自動生成算法得到內(nèi)外輪廓連接線，使其轉(zhuǎn)換為零虧格[10]。圖5為連接線生成過程。

圖5從左到右依次為模型輪廓、所有符合要求的連接線和最佳連接線。通過設(shè)置角度約束，從所有可行連接線中尋找最佳連接線，可提高后續(xù)剖分模型的質(zhì)量。連接線的自動生成能夠減少人工干預(yù)，提高整個體參數(shù)化模型的構(gòu)建效率。

改進(jìn)文獻(xiàn)[11]中提出的剖分算法實現(xiàn)平面的全四邊剖分，經(jīng)過Coons插值，得到NURBS曲面。對得到的剖分面進(jìn)行拉伸、放樣等特征操作，可得到NURBS體參數(shù)化模型。圖6為模型生成過程，分別表示模型內(nèi)外輪廓、連接線、NURBS曲面和NURBS體。

4 結(jié)論（Conclusion）

本文提出一種基于參數(shù)驅(qū)動和自動剖分的體參數(shù)化模型快速構(gòu)建的方法。該方法通過對常用曲線、曲面、體模型等進(jìn)行封裝，存入模型庫中，并結(jié)合改進(jìn)的四邊剖分算法，快速得到全四邊形樣條曲面，再通過拉伸、放樣等特征操作得到體參數(shù)化模型。此方法能夠克服以往方法工作量大、時間成本高等缺點，快速構(gòu)建體參數(shù)化模型，得到的模型可直接用于等幾何分析和優(yōu)化。

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作者簡介：

鄺傳基（1998-），男，碩士生。研究領(lǐng)域：幾何圖形學(xué)。

陳 龍（1978-），男，博士，教授。研究領(lǐng)域：幾何圖形學(xué)。