晏鴻

在人教A版高中選擇性必修第二冊(cè)第5頁(yè)例2的第（2）小問(wèn)中有這樣一道題：根據(jù)數(shù)列an的前4項(xiàng)2，0，2，0，…，寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.題不難，但很典型，教材編者希望通過(guò)這道題回歸數(shù)學(xué)概念本質(zhì)，強(qiáng)化對(duì)“數(shù)列”和“通項(xiàng)公式”定義的理解，就看能不能挖掘它的深層價(jià)值，這也是命題的切入點(diǎn).筆者進(jìn)行了嘗試，期待拋磚引玉.

一、命題歷程

思路一 命制合格性學(xué)業(yè)水平考試難度試題

例1 已知數(shù)列an前4項(xiàng)為3，1，3，1，…，則an=.（寫(xiě)出符合要求的一個(gè)答案即可）.

立意分析：合格性學(xué)業(yè)水平考試是高中學(xué)生畢業(yè)或同等學(xué)力認(rèn)定的依據(jù)，試題難度都不大，絕大多數(shù)都屬于模仿改編題.對(duì)于教材上的例題，很容易得到一個(gè)通項(xiàng)公式an=（－1）n+1+1. 在命題時(shí)，可以在這道例題上進(jìn)行各種變式，如在這個(gè)數(shù)列各項(xiàng)上進(jìn)行簡(jiǎn)單加1，就得到了本題的一個(gè)通項(xiàng)公式an=（－1）n+1+2.

在試題評(píng)析的過(guò)程中，還可以再進(jìn)行追問(wèn)和引導(dǎo)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)這個(gè)數(shù)列有兩個(gè)特點(diǎn)：一是所有的奇數(shù)項(xiàng)和所有的偶數(shù)項(xiàng)都相同；二是每?jī)蓚€(gè)數(shù)字一循環(huán).于是就產(chǎn)生了兩個(gè)探究的方向，即分類(lèi)討論的方向與周期性方向.由于數(shù)列是特殊的函數(shù)，這兩個(gè)方向?qū)嶋H上都是研究數(shù)列問(wèn)題時(shí)常用的思維視角，同時(shí)也得到另外兩個(gè)通項(xiàng)公式.

（1）由于數(shù)列an的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)都相同.所以通項(xiàng)公式可以寫(xiě)成分段函數(shù)式，即an=3（n為奇數(shù)），

1（n為偶數(shù)）.

（2）由于數(shù)列an具有周期性，可以利用三角函數(shù)的周期性，又能得到兩個(gè)通項(xiàng)公式：①an=2－cosnπ；②an=tan（2n－1）π/4+2. 通過(guò)這道題強(qiáng)調(diào)對(duì)于同一個(gè)數(shù)列，通項(xiàng)公式不一定是唯一的.

思路二 命制高考難度試題

例2 已知數(shù)列an前6項(xiàng)為2，－2，－2，2，－2，－2，…，則an=.（寫(xiě)出符合要求的一個(gè)答案即可）.

立意分析：命制高考難度的試題時(shí)，可以有一定數(shù)量的開(kāi)放性問(wèn)題，問(wèn)題情境的設(shè)計(jì)應(yīng)自然、合理，重點(diǎn)體現(xiàn)知識(shí)的遷移與應(yīng)用. 本題實(shí)質(zhì)是由1，－1，－1，1，－1，－1，…這樣一個(gè)數(shù)列演化而成，于是得到兩個(gè)通項(xiàng)公式an=2·（－1）n2－n/2或an=22cos（2n－1）π/4. 同時(shí)這個(gè)數(shù)列也可以看成（－1）0，（－1）1，（－1）－1，（－1）0，（－1）1，（－1）－1，…，各項(xiàng)乘以2得到，再聯(lián)想到正弦函數(shù)性質(zhì)，從而得到另一個(gè)通項(xiàng)公式an=2·（－1）－23/3sin（2n+1）π/3.

思路三 命制競(jìng)賽難度試題

例3 已知數(shù)列an的前9項(xiàng)為1，1，1，2，2，2，3，3，3，…，則an=.（寫(xiě)出符合要求的一個(gè)答案即可）.

立意分析：競(jìng)賽題對(duì)于鞏固基礎(chǔ)知識(shí)、培養(yǎng)深度思維能力、問(wèn)題關(guān)聯(lián)能力、選拔創(chuàng)新性人才，有不可替代的作用. 如果仔細(xì)觀察聯(lián)想，利用三角函數(shù)的周期性就可以解決本題.

它可由數(shù)列1，0，0，2，0，0，3，0，0，…，其中an=2/31/2+sin（2nπ/3－π/6）·n+2/3；數(shù)列0，1，0，0，2，0，0，3，0，…，其中an=2/31/2+sin（2nπ/3－5π/6）·n+1/3；與數(shù)列0，0，1，0，0，2，0，0，3，…，其中an=2/31/2+sin（2nπ/3－3π/2）·n/3三個(gè)相加得到，故an=2/31/2+sin（2nπ/3－π/6）·n+2/3+2/31/2+sin（2nπ/3－5π/6）·n+1/3+2/31/2+sin（2nπ/3－3π/2）·n/3.

下面這幾道類(lèi)似題，供讀者賞析.

①、已知數(shù)列an的前幾項(xiàng)為0，1，0，2，0，3，…，則an=；

②、已知數(shù)列an的前幾項(xiàng)為1，1，2，2，3，3，…，則an=；

③、已知數(shù)列an的前幾項(xiàng)為2，0，0，2，0，0，2，0，0，…，則an=.

（答案：①an=1+（－1）n·n/4；②an=2n+1+（－1）n+1/4；③an=1+2sin（2n+1）π/4）

二、命題思考

基于以上的命題實(shí)踐，提煉出如下命題原則和程序.

1.命制的試題要符合科學(xué)性、規(guī)范性的原則. 試題內(nèi)容與答案要科學(xué)合理，表述準(zhǔn)確簡(jiǎn)潔，沒(méi)有歧義，評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)具有可操作性. 靈活運(yùn)用符號(hào)、圖表、文字三種語(yǔ)言，使得字符圖表匹配，圖形規(guī)范優(yōu)美，語(yǔ)言通俗易懂，能緩解學(xué)生解題壓力，帶給學(xué)生信心和動(dòng)力.

2.命制的試題要有精準(zhǔn)度和有效性.精準(zhǔn)度是指試題的考查內(nèi)容、考查的思想方法、檢測(cè)的能力意識(shí)要有針對(duì)性.一般情況下，選擇題、填空題每題考查知識(shí)點(diǎn)1～3個(gè)；解答題考查知識(shí)點(diǎn)3～6個(gè)、思想方法2～4個(gè)、能力意識(shí)2～3個(gè).試題的思維量、運(yùn)算量、閱讀量及解答書(shū)寫(xiě)量都要恰當(dāng).有效性是指試題具有較好的檢測(cè)功能，真正起到診斷問(wèn)題、選拔分層的作用，如試題的內(nèi)容、難度、信度、區(qū)分度跟題型、所處試卷的位置是否匹配，考查知識(shí)點(diǎn)之間搭配是否自然合理.

3.命制的試題要有思想性和公平性. 試題要體現(xiàn)新課程的理念，對(duì)關(guān)鍵能力的考查要求.既要關(guān)注經(jīng)濟(jì)社會(huì)與科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，突顯素養(yǎng)立意，又要對(duì)城鄉(xiāng)不同地域、不同生活經(jīng)驗(yàn)的學(xué)生公平合理．

4.命制試題的基本程序.應(yīng)包括立意與選材，關(guān)聯(lián)與建構(gòu)，加工與調(diào)整，審核與定型四個(gè)步驟，以此確保編題質(zhì)量.

參考文獻(xiàn)

［1］ 課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開(kāi)發(fā)中心.普通高中教科書(shū)（A版） 數(shù)學(xué)（選擇性必修第二冊(cè)）［M］.北京，人民教育出版社，2019.