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        明晰命題概念,理解證明價(jià)值

        2023-08-18 13:27:01萬廣磊
        初中生世界·七年級 2023年8期

        萬廣磊

        通過本章的學(xué)習(xí),同學(xué)們將會知道,利用證明,我們能夠有理有據(jù)地闡述問題,以理服人,這體現(xiàn)了邏輯推理的強(qiáng)大力量,也培養(yǎng)了我們終身需要的科學(xué)態(tài)度和理性精神。

        一、明晰有關(guān)概念及聯(lián)系

        在本章的學(xué)習(xí)中,我們將了解定義、命題、基本事實(shí)、定理、推論等有關(guān)概念。

        對名稱或術(shù)語的含義進(jìn)行描述或做出規(guī)定,就是給出它們的定義。比如,“平行線”的定義是“在同一平面內(nèi),不相交的兩條直線”。

        命題是判斷一件事情的語句,一般結(jié)構(gòu)是“條件+結(jié)論”。比如,“兩條平行線被第三條直線所截,同旁內(nèi)角互補(bǔ)”,條件是“兩條平行線被第三條直線所截”,結(jié)論是“同旁內(nèi)角互補(bǔ)”。

        命題有真有假。如果命題的條件成立,那么結(jié)論成立,像這樣的命題叫作真命題。如兩條平行線被第三條直線所截,同位角相等;如果a>b,b>c,那么a>c;對頂角相等。如果命題的條件成立時(shí),不能保證結(jié)論總是正確的,也就是說結(jié)論不成立,像這樣的命題叫作假命題。如同旁內(nèi)角互補(bǔ);如果a>b,那么ac>bc。

        每一個(gè)命題都有逆命題。對于兩個(gè)命題,如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另外一個(gè)命題的結(jié)論和條件,那么這兩個(gè)命題叫作互逆命題。其中一個(gè)命題叫作原命題,另外一個(gè)命題叫作原命題的逆命題。比如,“兩直線平行,同位角相等”的逆命題是“同位角相等,兩直線平行”。

        需要特別說明的是,原命題的真假與逆命題的真假沒有必然聯(lián)系。原命題為真,逆命題未必為真。比如,真命題“對頂角相等”的逆命題是“相等的兩個(gè)角是對頂角”,這顯然是假命題。

        基本事實(shí)(公理)是人們在長期實(shí)踐中總結(jié)出來的、正確的命題,它不需要證明。例如,我們已經(jīng)學(xué)過幾個(gè)基本事實(shí):①兩點(diǎn)確定一條直線;②兩點(diǎn)之間,線段最短;③經(jīng)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行;④過一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線垂直;⑤同位角相等,兩直線平行;等等?;臼聦?shí)可以作為證明其他真命題的依據(jù)。如應(yīng)用基本事實(shí)“兩直線平行,同位角相等”,可以推導(dǎo)出“內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行”和“同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行”。

        定理是根據(jù)基本事實(shí)推導(dǎo)出來的真命題,都是最基本的和常用的,也有許多經(jīng)過證明的真命題沒有被選作定理。因此,定理都是真命題,而真命題不都是定理。例如,“若∠1=∠2,∠2=∠3,那么∠1=∠3”,這就是一個(gè)真命題,但不能說它是定理。

        此外,推論是由基本事實(shí)和定理推出的結(jié)論,往往比定理的限制條件多一些。比如,由三角形內(nèi)角和定理“三角形的內(nèi)角和等于180°”得到的推論有“直角三角形兩個(gè)銳角互余”和“三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”。因此,推論是定理的特殊情況。

        綜上,定義、基本事實(shí)、定理、推論都是真命題。

        二、明白證明的必要性

        學(xué)習(xí)幾何離不開觀察和實(shí)驗(yàn)。幾何中研究物體的形狀、大小、位置關(guān)系等,許多都是通過觀察進(jìn)行的。例如,我們在小學(xué)數(shù)學(xué)里觀察過一些三角形三個(gè)角的和,并運(yùn)用實(shí)驗(yàn)(剪拼)的方法,得到“三角形三個(gè)角的和等于180°”這個(gè)結(jié)論。但是,從觀察和實(shí)驗(yàn)得到的認(rèn)識是初步的,往往是不全面的、不深入的。是不是所有的三角形都是這樣的?為什么每個(gè)三角形三個(gè)角的和必然是180°呢?這就要在觀察的基礎(chǔ)上,有理有據(jù)地說明理由,這就是推理。推理不僅可以使我們從觀察實(shí)驗(yàn)得到的知識更全面、更深入,而且可以進(jìn)一步得到一些新知識。

        根據(jù)已知的真命題,確定某個(gè)命題真實(shí)性的過程叫作證明。證明要做到言必有據(jù),往往需要我們從一些關(guān)聯(lián)的條件出發(fā),應(yīng)用一定的知識,通過分析、推理,然后做出正確的判斷。

        在幾何中,除了基本事實(shí)外,不管命題的結(jié)論多么明顯,都必須通過推理來證明。這是因?yàn)橹庇^有時(shí)會造成錯(cuò)覺,并不永遠(yuǎn)可信。通過對少數(shù)具體例子進(jìn)行觀察和測量得出的結(jié)論,不能保證在一般情況下都成立,因而有些圖形的性質(zhì)并不能通過測量得出。

        因此,在幾何中,除了公理以外,任何一個(gè)命題的正確性,只有在進(jìn)行了推理、論證以后,才會得到認(rèn)可,而這種推理、論證,就是借助于演繹推理來進(jìn)行的。最重要的是,通過推理的方法來研究圖形的性質(zhì),不僅可以掌握許多無法通過觀察、度量得到的性質(zhì),而且可以揭示這些性質(zhì)之間的內(nèi)在聯(lián)系,有利于我們對幾何圖形的進(jìn)一步研究。

        (作者單位:江蘇省南京市鼓樓實(shí)驗(yàn)中學(xué))

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