王 奇，李宏男,2，張 鵬

(1.沈陽建筑大學(xué)土木工程學(xué)院，遼寧，沈陽 110168；2.大連理工大學(xué)土木工程學(xué)院，遼寧，大連 116024；3.大連海事大學(xué)交通運輸裝備與海洋工程學(xué)院，遼寧，大連 116023)

線性動力吸振器因其結(jié)構(gòu)簡單、便于安裝而被廣泛用于結(jié)構(gòu)的振動控制中[1?2]。為了提高線性吸振器的減振效果，學(xué)者們將多種形式的耗能、吸振組件引入其中，例如引入碰撞[3? 5]和內(nèi)共振[6]。碰撞調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(pounding tuned mass damper,PTMD)是在懸掛質(zhì)量擺(suspended mass pendulum,SMP)基礎(chǔ)上增設(shè)限位裝置，通過質(zhì)量塊與限位器碰撞增加阻尼器的耗能能力。研究表明：PTMD的減震性能優(yōu)于SMP，并且具有很好的魯棒性[7?9]。彈簧擺(spring pendulum, SP)是用彈簧替代了SMP的擺線，依靠彈簧內(nèi)共振增加阻尼的吸振能力[10]。在本文作者的工作中[11]，將碰撞阻尼與彈簧擺相結(jié)合，提出了一種新型非線性阻尼器，即彈簧擺碰撞調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(spring pendulum pounding tuned mass damper, SPPTMD)。SPPTMD 由彈簧擺及限位裝置構(gòu)成，通過彈簧內(nèi)共振及質(zhì)量塊與限位器碰撞耗能。研究結(jié)果表明：SPPTMD 具有良好的減震效果。

在振動控制系統(tǒng)的設(shè)計中，減振裝置的參數(shù)及布置位置的選取對減振效果的影響很大[12?13]，對這些變量進行優(yōu)化是很有必要的。智能優(yōu)化算法根據(jù)原理不同可分為三類：基于生物學(xué)原理的優(yōu)化算法、基于物理學(xué)原理的優(yōu)化算法和其他類型的優(yōu)化算法[14]?；谏飳W(xué)原理的優(yōu)化算法是對生物進化行為的模擬，包括遺傳算法、人工魚群算法、螢火蟲算法和粒子群算法等。GRECO 等[15]利用遺傳算法，以建設(shè)成本和減振率為優(yōu)化目標(biāo)，對阻尼器進行了優(yōu)化。金波等[16]基于改進遺傳算法對粘滯阻尼器的位置及數(shù)量進行了優(yōu)化。張曉峰等[17]和周紅杰等[18]分別采用人工魚群算法和多島遺傳算法，對用于漂浮式風(fēng)力機振動控制的TMD 參數(shù)進行了優(yōu)化。龍關(guān)旭等[19]通過螢火蟲算法和模擬退火算法，對用于大跨斜拉橋振動控制的阻尼器參數(shù)進行了優(yōu)化。王小金等[20]采用粒子群算法對用于高層結(jié)構(gòu)減振的TMD 參數(shù)進行了優(yōu)化。基于物理學(xué)原理的優(yōu)化算法包括模擬退火算法和混沌優(yōu)化算法等。賴文龍等[21]提出了基于模擬退火算法的阻尼器位置優(yōu)化。KAVEH 等[22]采用混沌優(yōu)化算法優(yōu)化了TMD 的參數(shù)。其他算法包括和聲搜索算法、差分進化算法等。NIGDELI和BEKDA?[23]采用和聲搜索算法，以結(jié)構(gòu)頂層加速度傳遞函數(shù)最小為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，對TMD 的質(zhì)量、周期和阻尼系數(shù)進行了優(yōu)化。LE-DUC 等[24]將差分進化算法與無梯度全局優(yōu)化算法結(jié)合，對各種類型的磁流變阻尼器參數(shù)進行了優(yōu)化。上述研究均表明，對減振裝置進行優(yōu)化設(shè)計能有效地提高其抑振性能。

盡管已有研究表明：SPPTMD 具有較好的減震性能，但其設(shè)計參數(shù)(包括頻率比、彈簧內(nèi)共振系數(shù)、碰撞間隙等)尚需進一步優(yōu)化設(shè)計才能達(dá)到更好的減震效果。

粒子群算法適合在動態(tài)、多目標(biāo)優(yōu)化環(huán)境中進行尋優(yōu)計算。與眾多優(yōu)化算法相比，粒子群算法需要調(diào)整的參數(shù)較少，算法結(jié)構(gòu)簡單，并且具有更高效的并行計算能力，可以在較短時間搜尋到全局最優(yōu)[25?26]。另外，粒子群算法對種群數(shù)量變化不是十分敏感，尋優(yōu)性能穩(wěn)定[27?28]。因此，本文采用魯棒性強并且收斂快的粒子群算法，對SPPTMD 的參數(shù)進行優(yōu)化。以結(jié)構(gòu)最大位移最小為目標(biāo)函數(shù)，并且選取多條地震動驗證了優(yōu)化后SPPTMD 的減震性能。

1 結(jié)構(gòu)-SPPTMD 系統(tǒng)模型

1.1 SP 減振機理

SP 可認(rèn)為是一種改進的SMP，即用彈簧代替擺線。SP 具有兩種圓頻率：徑向振動模式圓頻率ωs和擺動振動模式圓頻率ωp(圖1[11])。

圖1 SP 的振動模式Fig.1 Vibration modes of the SP

研究發(fā)現(xiàn)[29]，當(dāng)滿足特定條件時，兩種振動模式將強烈耦合，振動能量會在兩種振動模式之間不斷傳遞，被稱為內(nèi)共振現(xiàn)象，根據(jù)內(nèi)共振條件可得彈簧剛度為：

式中：ks為彈簧的剛度；為彈簧內(nèi)共振系；md為質(zhì)量塊的質(zhì)量；g=9.8 m/s2為重力加速度；lo為彈簧在重力作用下的長度：

式中：f為主結(jié)構(gòu)頻率；為阻尼器頻率比。

內(nèi)共振現(xiàn)象將放大SP 的動力吸振能力，相比于懸掛質(zhì)量擺，滿足內(nèi)共振時SP 的減振效率更高。然而，已有SP 仍存在耗能能力不足問題，故引入碰撞耗能模式，提出了彈簧擺碰撞調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(SPPTMD)。

1.2 SPPTMD 減振機理

SPPTMD 是在SP 的基礎(chǔ)上增設(shè)限位器(如圖2所示[11])，它是依靠SP 及附加質(zhì)量與限位器碰撞來耗能的非線性吸振器。在結(jié)構(gòu)振幅較小時，附加質(zhì)量與限位器沒有發(fā)生碰撞，SPPTMD 退化為傳統(tǒng)SP；當(dāng)結(jié)構(gòu)振幅較大時，附加質(zhì)量與限位器發(fā)生碰撞，此時SPPTMD 通過撞擊消耗阻尼器吸收的系統(tǒng)動能。

圖2 SPPTMD 示意圖Fig.2 Schematic of the SPPTMD

1.3 結(jié)構(gòu)-SPPTMD 系統(tǒng)模型的建立

假設(shè)，SPPTMD 附加在一個n自由度體系的第i個自由度上(如圖3 所示[11])，則結(jié)構(gòu)-SPPTMD體系的運動方程為：

圖3 第i 個自由度上的控制力Fig.3 Controlling forces imposed on the i-th DOF

式中：Ms、Cs和Ks分別為無控結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；x¨(t) 、x˙(t) 和x(t)分別為無控結(jié)構(gòu)的加速度、速度和位移；I為1 的列向量；x¨g為 地 面 加 速 度；L為SPPTMD 的 位 置 向 量；Fs,x和Fc,x分別為附加質(zhì)量在x方向的恢復(fù)力和碰撞力；Fdir為碰撞力方向；xd和yd分別為質(zhì)量塊在水平和垂直方向的位移；Fs,y和Fc,y分別為附加質(zhì)量在y方向的恢復(fù)力和碰撞力。SPPTMD 的位置向量L可寫成：

由于限位器是環(huán)形的，左右兩側(cè)都能發(fā)生碰撞。碰撞力方向Fdir為：

根據(jù)之前的研究，可以得恢復(fù)力和碰撞力的公式：

式中：xi為無控結(jié)構(gòu)第i個自由度的水平方向的位移；lori為彈簧原長。

假設(shè)質(zhì)量塊與邊界的間距是gp，根據(jù)Hertz 接觸單元和非線性阻尼的碰撞力模型可得SPPTMD的碰撞力為[30]：

式中：β為碰撞剛度；δ為粘彈性材料的相對變形；c為碰撞阻尼。δ和c可由下面2 個公式計算：

式中：ξ為碰撞阻尼比；mi為無控結(jié)構(gòu)第i個自由度的質(zhì)量。ξ可由下式計算:

2 粒子群算法的優(yōu)化過程

為解決SPPTMD 參數(shù)優(yōu)化問題，本文以結(jié)構(gòu)最大位移最小為優(yōu)化目標(biāo)，以SPPTMD 阻尼比、內(nèi)共振系數(shù)和碰撞間隙為優(yōu)化變量，采用粒子群算法進行優(yōu)化設(shè)計。粒子群算法最早是由KENNEDY和EBERHART[31]提出的，其基本思想是：每個粒子將其在空間中搜尋到的最優(yōu)解記為個體極值，將粒子的個體極值在粒子群中共享，找到整個粒子群當(dāng)前的最優(yōu)解，并將其記為當(dāng)前全局最優(yōu)解。每個粒子根據(jù)當(dāng)前的個體極值及全局最優(yōu)解來調(diào)整粒子的速度和位置，直到找到全局最優(yōu)解。

粒子群尋優(yōu)過程如圖4 所示：

圖4 優(yōu)化流程圖Fig.4 Optimization flow chart

步驟1：初始化粒子群，例如設(shè)置粒子群規(guī)模、慣性因子、學(xué)習(xí)因子、優(yōu)化變量初始值、粒子群更新速度、最大迭代次數(shù)；

步驟2：根據(jù)目標(biāo)函數(shù)，計算每個粒子的適應(yīng)度值，尋找個體極值；

步驟3：粒子間共享個體極值，找到當(dāng)前粒子群的全局最優(yōu)解；

步驟4：每個粒子根據(jù)當(dāng)前速度、位置、和全局最優(yōu)值調(diào)整下一步的速度和位置；

步驟5：不斷的迭代尋找全局最優(yōu)值；

步驟6：保存全局最優(yōu)值及最優(yōu)參數(shù)，尋優(yōu)過程結(jié)束。

本文將有控和無控結(jié)構(gòu)頂點最大位移的比值最小作為優(yōu)化目標(biāo)，目標(biāo)函數(shù)為：

式中，D0和D1分別為結(jié)構(gòu)在無控和有控時的頂點最大位移。

3 數(shù)值算例分析

3.1 工程實例

以某53.9 m 高的輸電塔為振動控制研究對象。如圖5 所示，輸電塔被簡化為15 個自由度，一階頻率為 1.87 Hz。為了說明優(yōu)化方法的有效性，本文將優(yōu)化前、后SPPTMD 的減震效果進行了比較。其中，定義未優(yōu)化的SPPTMD 頻率比為1，質(zhì)量比為3%，內(nèi)共振系數(shù)為2，碰撞剛度為17 000 N/m3/2，碰撞間隙為0.05 m，SPPTMD 通過螺栓連接到輸電塔的頂部。對SPPTMD 的頻率比、內(nèi)共振系數(shù)和碰撞間隙進行優(yōu)化，使結(jié)構(gòu)頂點位移最小。

圖5 輸電塔示意圖Fig.5 Schematic of the transmission tower

定義減震率為：

3.2 地震動選取

為了優(yōu)化SPPTMD 在I 類、II 類、III 類、IV 類場地中的減震性能，每類場地選取了3 條地震動進行研究，峰值加速度調(diào)整為400 cm/s2，地震記錄相關(guān)信息如表1 所示，反應(yīng)譜曲線如圖6 所示。

表1 地震記錄Table 1 Seismic records

圖6 加速度反應(yīng)譜Fig.6 Acceleration response spectrum

3.3 結(jié)果分析

優(yōu)化結(jié)果如表2 所示，表3 列出了結(jié)構(gòu)峰值位移減震情況，由于所選取的地震動較多，文中只給出了4 條地震動作用下結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)(如圖7、圖8 所示)。

表2 最優(yōu)參數(shù)Table 2 Optimal parameters

表3 減震率Table 3 Vibration reduction ratios

圖7 地震動作用下結(jié)構(gòu)位移時程曲線Fig.7 Displacement time history of the structure under the seismic

圖8 地震動作用下結(jié)構(gòu)位移包絡(luò)圖Fig.8 Envelope of displacement of the structure under the seismic

從計算結(jié)果可以看出，任何工況下SPPTMD減震率均在36%以上。未優(yōu)化的SPPTMD 在I 類、II 類、III 類、IV 類場地中的峰值減震率的均值都在40%以上，分別為40.52%、41.96%、43.17%和49.34%，其中IV 類場地中的減震率比I 類場地增加了8.82個百分點。優(yōu)化后的SPPTMD峰值減震率的均值都在48%以上，分別為48.77%、52.02%、53.41%和62.17%，其中IV 類場地中的減震率比I 類場地增加了13.4 個百分點。

與優(yōu)化前相比，I 類～IV 類場地中SPPTMD減震率均值分別提高了8.25、10.06、10.24 和12.84個百分點?？梢?，SPPTMD 的振動控制性能隨著場地類別的提升而提升；優(yōu)化后，SPPTMD 在IV 類場地中的抑振性能提高的幅度最大。綜上所述，編制的優(yōu)化程序能夠有效優(yōu)化SPPTMD 的參數(shù)，提升阻尼器的減震性能。

4 結(jié)論

為了提高SPPTMD 的振動控制性能，采用粒子群算法對SPPTMD 參數(shù)進行了優(yōu)化，并研究了不同場地地震動作用下SPPTMD 的減震效果，得出了以下主要結(jié)論：

(1)對不同場地類別的結(jié)構(gòu)進行振動控制時，SPPTMD 的最優(yōu)參數(shù)也不同，且存在如下規(guī)律：場地類別越堅硬，頻率比越低，內(nèi)共振系數(shù)越大。

(2) 場地土越軟弱SPPTMD 的振動控制性能越好，I 類場地減震率最低，IV 類場地減震率最高。

(3)優(yōu)化后，SPPTMD 減震率有大幅提高，減震率均值最高可達(dá)60%，說明編制的優(yōu)化程序能夠有效優(yōu)化SPPTMD 的參數(shù)。