趙敏行

(上海交通大學(xué)附屬中學(xué)高一(16)班 200439)

1 引言

費(fèi)馬點(diǎn)是在三角形內(nèi)部且到三個頂點(diǎn)距離之和最短的點(diǎn),要求三條線段等權(quán)重,如果放松對權(quán)重相等的要求,就是加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)．顯然,費(fèi)馬點(diǎn)是加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)的特例．本文在文獻(xiàn)[1]～[4]的基礎(chǔ)上探討加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)及其性質(zhì)．

圖1

以三角形的每一條邊為底向外作等邊三角形,對應(yīng)點(diǎn)連線交于一點(diǎn)就是費(fèi)馬點(diǎn)．同時,費(fèi)馬點(diǎn)也是三個向外作的等邊三角形外接圓的交點(diǎn)(圖1)．在最大角小于120°的三角形中,費(fèi)馬點(diǎn)在三角形內(nèi),在最大角大于或等于120°的三角形中,費(fèi)馬點(diǎn)在鈍角的頂點(diǎn)．

費(fèi)馬點(diǎn)要求三條線段的權(quán)重是相同的,即1∶1∶1,故采用等邊三角形和圖形旋轉(zhuǎn)的方法可以得到費(fèi)馬點(diǎn),如果放松對權(quán)重相等的要求,即三個權(quán)重都不相同時,加權(quán)距離和最短的點(diǎn)就是加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)．

2 確定加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)的方法①

①需要三個權(quán)重符合構(gòu)成三角形三邊的條件,權(quán)重不符合上述條件的情況在本文最后討論．

加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)不要求三條線段的權(quán)重相等,假設(shè)PA,PB和PC的權(quán)重都不相同,即求αPA+βPB+γPC的最小值．在△ABC中取任一點(diǎn)G,以BG為底邊作△BGH,滿足BG∶GH∶HB=α∶β∶γ,其中α,β,γ滿足構(gòu)成三角形三邊的條件．

圖2

省略圖形旋轉(zhuǎn)過程,直接以BC為底作權(quán)重比三角形△BCD,點(diǎn)P一定在AD上．同樣可以得到頂點(diǎn)B和C的對應(yīng)連線BE和CF,點(diǎn)P也在這兩條線段上,三條線段交于同一點(diǎn)就是點(diǎn)P,即加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)．

下面證明三條連線AD,BE和CF交于同一點(diǎn)P,即加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)．

圖3

首先,我們研究了原三角形與權(quán)重比三角形對應(yīng)角的關(guān)系.如圖3所示,△ABF,△AEC,

△DCB都是三邊比為α∶β∶γ的相似三角形,設(shè)∠α為權(quán)重比三角形中邊α的對角,∠β為權(quán)重比三角形中邊β的對角,∠γ為權(quán)重比三角形中邊γ的對角,則∠BAF=∠CAE=∠BDC=∠α,∠CBD=∠ABF=∠AEC=∠β,∠ECA=∠BCD=∠AFB=∠γ,并且∠α+∠β+∠γ=180°．

連接AD和BE交于點(diǎn)P,連接CP和PF,需要證明三點(diǎn)C,P,F共線．線段AD來源于圖2,∠BPD=∠BCD,因此BDCP四點(diǎn)共圓,同理AECP四點(diǎn)共圓．于是,∠DPB=∠γ,∠DPC=∠β,∠EPC=∠α,∠APE=∠γ,所以∠APB=∠α+∠β,并且∠AFB=∠γ,所以AFBP四點(diǎn)共圓．由此得∠FPB=∠BAF=∠α,所以∠FPC=∠α+∠β+∠γ=180°,即點(diǎn)F,P,C共線,即AD,BE和CF交于同一點(diǎn)P,點(diǎn)P就是加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)．

同時,BDCP,AECP和AFBP都四點(diǎn)共圓,即△BCD,△ECA和△BFA的外接圓也交于同一點(diǎn)P,即加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)．

根據(jù)上述過程,確定加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)的方法是:以原三角形的每條邊為底邊,向外作權(quán)重比三角形,對應(yīng)點(diǎn)連線交于一點(diǎn),同時三個相似三角形的外接圓也交于同一點(diǎn),這個點(diǎn)就是加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)．

例如,在求αPA+βPB+γPC最小值的加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)時,要求權(quán)重比三角形三邊比為α∶β∶γ,即BC∶CD∶DB=α∶β∶γ,AC∶AE∶CE=β∶γ∶α,AB∶AF∶FB=γ∶β∶α,連接對應(yīng)點(diǎn),三條連線AD,BE,CF交于同一點(diǎn),就是加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)．同時,三個權(quán)重比三角形的外接圓也交于加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)(圖3),這樣確定加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)的方法與費(fèi)馬點(diǎn)相似,只是全等三角形換成了權(quán)重比三角形．

3 加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)的性質(zhì)

費(fèi)馬點(diǎn)有兩個重要性質(zhì):一是費(fèi)馬點(diǎn)與頂點(diǎn)連線形成三個相等的角,都是120°;二是最大角小于120°的三角形,費(fèi)馬點(diǎn)在三角形內(nèi)．與費(fèi)馬點(diǎn)不同,加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)有如下性質(zhì):

(1)加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)與頂點(diǎn)連線形成的三個角分別等于權(quán)重比三角形的兩個內(nèi)角之和,而不一定是120°．如圖3所示,∠APB=∠α+∠β,∠APC= ∠α+∠γ,∠BPC=∠β+∠γ．

(2)原三角形的某個內(nèi)角與權(quán)重比三角形對應(yīng)的內(nèi)角之和(共三對,原三角形頂點(diǎn)A的內(nèi)角與權(quán)重比三角形邊α所對的內(nèi)角為一對．以此類推,即∠α+∠CAB,∠β+∠ABC,∠γ+∠BCA)最多只會有一對角的和大于180°,不存在兩對同時大于180°的情況．

(3)加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)在三角形內(nèi)的條件是:原三角形的某個內(nèi)角與權(quán)重比三角形對應(yīng)的內(nèi)角之和(三對)都小于180°,即加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)在三角形內(nèi)需要同時滿足∠α+∠CAB<180°,∠β+∠ABC<180°,∠γ+∠BCA<180°．由此推論,銳角三角形的加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)也可能不在三角形內(nèi),最大角大于120°的鈍角三角形的加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)也可能在三角形內(nèi),取決于原三角形的內(nèi)角與對應(yīng)的權(quán)重比三角形的內(nèi)角之和．

(4)原三角形的某個內(nèi)角與權(quán)重比三角形對應(yīng)的內(nèi)角之和(三對)中有一對角的和大于180°時,加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)不在三角形內(nèi),而在和大于180°的那對角的頂點(diǎn)．

(5)當(dāng)權(quán)重?zé)o法構(gòu)成三角形時,比如α+β=γ時,相當(dāng)于按照一個角是平角、兩個角是0°的三角形(即∠γ=180°,∠α=0°,∠β=0°)進(jìn)行圖形旋轉(zhuǎn)確定加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn),此時加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)不在三角形內(nèi),而在平角對應(yīng)的原三角形的頂點(diǎn)上(即∠γ對應(yīng)的原三角形頂點(diǎn)C)．