應(yīng)琴芬 唐笑敏 王羅那

(湖州師范學(xué)院教師教育學(xué)院 313000)(湖州師范學(xué)院理學(xué)院 313000)

1 問題提出

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)作為數(shù)學(xué)學(xué)科的“承重墻”,如何落地是教育界廣為關(guān)注的問題之一.但要實(shí)現(xiàn)理論與實(shí)踐的融通發(fā)展,還存在不少困難.究其原因主要有以下兩個(gè)方面:其一,數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)遠(yuǎn)高于知識(shí)技能,單純通過課堂上的教、學(xué)、練,無法完全實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).“悟”是核心素養(yǎng)培育的重要路徑.其二,數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展需要經(jīng)歷系統(tǒng)化的數(shù)學(xué)活動(dòng).當(dāng)下“備一課,上一課”的課時(shí)教學(xué),會(huì)導(dǎo)致學(xué)生囿于碎片化學(xué)習(xí)困境,影響核心素養(yǎng)的生成.

單元整體教學(xué)起源于19世紀(jì)末的“新教育運(yùn)動(dòng)”.相較國外而言,我國對此的研究起步較晚,但近年來已成為我國教育界的研究熱點(diǎn)之一.李昌官指出:“單元教學(xué)是針對課時(shí)教學(xué)整體感不強(qiáng)、知識(shí)分解過度、學(xué)習(xí)碎片化、教學(xué)效益低下的現(xiàn)象而提出的,是更好地培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的需要.”[1]那么,為什么單元整體教學(xué)能有效涵育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)?如何打破章節(jié)壁壘,營造“悟”的學(xué)習(xí)情境,開展有利于發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)呢?本文立足數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與單元整體教學(xué)的內(nèi)涵特征,闡述二者之間的耦合關(guān)系.進(jìn)一步,以浙教版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)》“三角形全等的判定(SSS)”為例,開發(fā)單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)案例,進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)反思,以培育學(xué)生的核心素養(yǎng).

2 關(guān)聯(lián)解構(gòu)

2.1 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與單元整體教學(xué)的特征分析

一方面,數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)作為知識(shí)技能、思想方法與情感態(tài)度等的綜合體現(xiàn),應(yīng)伴隨知識(shí)的進(jìn)階而提升,需要經(jīng)歷系統(tǒng)化的數(shù)學(xué)活動(dòng)才能逐漸生成,具有綜合性、習(xí)得性、持續(xù)性、發(fā)展性、整體性與階段性等特點(diǎn).另一方面,單元整體教學(xué)是以教材的自然單元為基礎(chǔ),以整體教學(xué)觀為指導(dǎo),對教學(xué)目標(biāo)與內(nèi)容、教學(xué)活動(dòng)與方式、教學(xué)過程與評價(jià)等進(jìn)行系統(tǒng)規(guī)劃、整體設(shè)計(jì)和有序?qū)嵤?從而實(shí)現(xiàn)“整體大于局部之和”的教學(xué)效果的一種教學(xué)方法[2].換言之,教師在開展單元整體教學(xué)時(shí),應(yīng)立足學(xué)科邏輯,結(jié)合具體情境,幫助學(xué)生在自主獲得學(xué)習(xí)對象、找到研究方法與建構(gòu)知識(shí)體系的過程中逐步發(fā)展核心素養(yǎng).由此可知,單元整體教學(xué)具有問題情境性、動(dòng)態(tài)生長性與系統(tǒng)關(guān)聯(lián)性等特征.

不難發(fā)現(xiàn),單元整體教學(xué)的問題情境性是指在教學(xué)過程中應(yīng)以問題為導(dǎo)向、情境為載體,采用“問題引領(lǐng)型”教學(xué)方式,從而為知識(shí)技能與思想素養(yǎng)的形成提供必要條件,與之對應(yīng)的是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的綜合性與習(xí)得性.單元整體教學(xué)的動(dòng)態(tài)生長性是指在開展以知識(shí)、方法、思想等為主線的單元教學(xué)時(shí),應(yīng)注重知識(shí)的內(nèi)部聯(lián)系,幫助學(xué)生在后續(xù)的類似內(nèi)容中靈活遷移應(yīng)用,與之對應(yīng)的是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的連續(xù)性與發(fā)展性.單元整體教學(xué)的系統(tǒng)關(guān)聯(lián)性是指在教學(xué)中既要從整體上把握知識(shí),也要注重各個(gè)階段之間的層級(jí)銜接,與之對應(yīng)的是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的整體性與階段性.因此,單元整體教學(xué)必然能有效涵育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).兩者在特征方面的對應(yīng)關(guān)系如圖1所示.

2.2 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與單元整體教學(xué)的耦合關(guān)系

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)依賴于數(shù)學(xué)知識(shí)與技能,又高于數(shù)學(xué)知識(shí)與技能,凌駕于數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法之上[3],是開展單元整體教學(xué)的目的所在.單元整體教學(xué)作為一種超越知識(shí)技能、關(guān)注學(xué)科邏輯的教學(xué)模式,在打通不同章節(jié)知識(shí)“隔墻”的同時(shí),還能創(chuàng)設(shè)“悟”的學(xué)習(xí)環(huán)境.這為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展提供有利條件.這樣,通過單元整體教學(xué)的三個(gè)步驟:獲得學(xué)習(xí)對象、找到研究方法與建構(gòu)知識(shí)體系,最終引導(dǎo)和幫助學(xué)生形成整體觀念,從而發(fā)展核心素養(yǎng).反之,學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)也需要細(xì)化在上述三個(gè)步驟的教學(xué)活動(dòng)中.

圖1 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與單元整體教學(xué)在特征方面的對應(yīng)關(guān)系

因此,單元整體教學(xué)不僅僅只是以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的教學(xué),更要在教學(xué)流程中充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的特征.即引導(dǎo)學(xué)生在獲得學(xué)習(xí)對象的同時(shí),會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界,這指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的綜合性與習(xí)得性特征;在找到研究方法的同時(shí),會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界,這指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的持續(xù)性與發(fā)展性特征;在建構(gòu)知識(shí)體系的同時(shí),會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界,這指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的整體性與階段性特征.由此,讓學(xué)生在經(jīng)歷“三會(huì)”的過程中實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)的培育.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與單元整體教學(xué)的耦合關(guān)系如圖2所示.

圖2 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與單元整體教學(xué)的耦合關(guān)系

3 案例呈現(xiàn)

全等三角形作為研究平面圖形的基礎(chǔ),是幾何入門最關(guān)鍵的環(huán)節(jié).相較全等三角形的概念與性質(zhì)而言,其判定方法更具有高度抽象性與形式嚴(yán)謹(jǐn)性.故三角形全等的判定成為培育學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的理想載體.遺憾的是,國內(nèi)教材皆將SSS,SAS,ASA,AAS,HL各一課分開處理,這導(dǎo)致學(xué)生難以在整體視野下建立知識(shí)框架體系.事實(shí)上,SSS是學(xué)生學(xué)習(xí)全等三角形的概念與性質(zhì)后首個(gè)接觸的判定方法.就單元整體教學(xué)的視角而言,SSS既是全等三角形內(nèi)容的延續(xù),也是后續(xù)研究平面幾何的基礎(chǔ).相應(yīng)地,學(xué)生在“畫圖—感知—猜想—驗(yàn)證—說理—表達(dá)”系統(tǒng)化學(xué)習(xí)的過程中,逐步形成全等三角形的知識(shí)體系,發(fā)展幾何直觀與邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).下面采用問題串的方式設(shè)計(jì)單元整體教學(xué).

3.1 創(chuàng)設(shè)情境:獲得學(xué)習(xí)對象

情境1為營造溫馨和諧的學(xué)習(xí)環(huán)境,老師欲在教室墻面裝飾一串三角旗.若已知一個(gè)彩旗,怎樣剪裁才能確保所有彩旗形狀、大小一致?能將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題嗎?

問題 使用全等三角形的定義來判定三角形全等過于復(fù)雜,有沒有更為簡便的判定方法?

講解 三角形的形狀與大小由三個(gè)頂點(diǎn)相對位置唯一確定;相對位置取決于頂點(diǎn)間的距離與方向,即取決于三角形的邊長與內(nèi)角.可見,測量一個(gè)三角形彩旗的三條邊與三個(gè)角,以此為例進(jìn)行裁剪,可保證所有三角形全等.那么,六個(gè)要素必須全部測量嗎?還有沒有更為簡便的判定方法?

追問1 如果有,最簡單(即條件最少的)的判定方法是什么呢?

設(shè)計(jì)意圖立足學(xué)科邏輯創(chuàng)設(shè)的問題情境,不僅展現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的習(xí)得性與綜合性,更有利于學(xué)生從整體上把握研究對象.在幫助學(xué)生獲得學(xué)習(xí)對象(三角形全等的判定)與找到邏輯起點(diǎn)(全等三角形的定義)的同時(shí),促使學(xué)生養(yǎng)成從數(shù)學(xué)視角觀察現(xiàn)實(shí)世界的好習(xí)慣,為學(xué)生幾何直觀能力的發(fā)展奠定基礎(chǔ).

3.2 施行推理:找到研究方法

問題1 對于探索更簡便方法判定三角形全等的問題而言,直接研究難度較大,怎樣研究會(huì)使問題難度降低呢?

問題2 以要素?cái)?shù)量為分類標(biāo)準(zhǔn)展開研究,其他分類標(biāo)準(zhǔn)的研究類似.若只考慮一個(gè)元素,即已知一組三角形中的一條邊或一個(gè)角對應(yīng)相等,能判定三角形全等嗎?

問題3 若考慮兩個(gè)要素,即已知一組三角形中兩邊、一邊一角(一角及其鄰邊、一角及其對邊)、兩角對應(yīng)相等,能判定三角形全等嗎?

活動(dòng)1三個(gè)要素所涉及的分類過于繁雜,需要依次分析.類比上述過程,嘗試設(shè)計(jì)研究方案,條理清晰即可.

問題4 若一組三角形中三邊對應(yīng)相等,能判定三角形全等嗎?

講解 在幾何演繹體系中,說明一個(gè)命題是假命題,只需舉反例即可.反之,證明一個(gè)命題是真命題,需要借助演繹推理進(jìn)行嚴(yán)格證明.

活動(dòng)2已知線段a,b,c(圖3),用直尺和圓規(guī)在紙上畫出△ABC,使得BC=a,AC=b,AB=c.將△ABC裁剪后與同桌進(jìn)行比較,它們是全等三角形嗎?(引出SSS)

圖3

設(shè)計(jì)意圖其一,摒棄課本“開門見山式”作圖驗(yàn)證,采用學(xué)生自主設(shè)計(jì)研究方案的學(xué)法.這不僅有助于學(xué)生整體把握學(xué)習(xí)對象,而且有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.其二,通過改編教科書的證明方法(用刻度尺和圓規(guī)在一張透明紙上畫出△DEF,使其三邊分別為1.3 cm,1.9 cm和2.5 cm),讓學(xué)生在經(jīng)歷特殊到一般、合情推理到演繹推理的過程中,逐步發(fā)展幾何直觀與邏輯推理能力.在強(qiáng)調(diào)同類知識(shí)研究方法的同時(shí),凸顯核心素養(yǎng)的持續(xù)性與發(fā)展性.

3.3 理清圖式:建構(gòu)知識(shí)體系

情境2幾何圖形在日常生活中有著廣泛應(yīng)用.譬如,埃及的金字塔、房屋的人字架等都采用三角形結(jié)構(gòu).但是學(xué)校的收縮門、吊車的折疊梯等都采用四邊形結(jié)構(gòu).為什么前者設(shè)計(jì)成三角形?其他平面圖形可以嗎?(同桌之間互相討論,進(jìn)而引出三角形的穩(wěn)定性)

講解 本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容與研究方法如 圖4所示.

設(shè)計(jì)意圖其一,借助實(shí)際問題,鞏固全等三角形的判定定理(SSS),促使學(xué)生在數(shù)學(xué)表達(dá)與交流過程中,獲得幾何直觀能力.其二,在整體思路與方法的指引下,立足學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu),組織學(xué)生回顧探究過程,幫助學(xué)生在建構(gòu)結(jié)構(gòu)化知識(shí)體系的過程中,體現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的整體性與階段性.

圖4

3.4 反思過程:發(fā)展核心素養(yǎng)

例1在四邊形ABCD中,AB=CD,AD=CB.求證:∠A=∠C.

習(xí)題 工人師傅常用角尺平分一個(gè)任意角.做法如下:如圖5,∠AOB是一個(gè)任意角,在邊OA和OB上分別取OM=ON,移動(dòng)角尺,使角尺兩邊相同的刻度分別與M,N重合.過角尺頂點(diǎn)C的射線OC即是∠AOB的平分線.為什么?

圖5 圖6

例2如圖6,已知∠BAC,用直尺和圓規(guī)作∠BAC的平分線AD,并說出該作法正確的理由.

問題 目前,全等三角形研究了哪些內(nèi)容?能舉例說明日常生活中運(yùn)用全等三角形知識(shí)的實(shí)際例子嗎?

追問1 全等三角形是按照怎樣的研究思路開展探究的?各個(gè)環(huán)節(jié)的研究角度有哪些?

追問2 在研究三角形全等的判定時(shí),運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)思想?研究方法是什么?

追問3 今后還會(huì)學(xué)習(xí)全等三角形的哪些內(nèi)容?能否嘗試運(yùn)用本節(jié)課的研究方法,繼續(xù)探究全等三角形的其他判定方法?

設(shè)計(jì)意圖其一,改編課本例題2,并將例題2放置在改編題之后,既聯(lián)系生活實(shí)際,又遵循循序漸進(jìn)、由易到難的原則,讓學(xué)生在練習(xí)過程中進(jìn)一步提升推理能力與應(yīng)用意識(shí).其二,組織學(xué)生從知識(shí)技能、研究思路與研究方法等方面回顧課堂,并在最后進(jìn)行“展望式”小結(jié).在引領(lǐng)學(xué)生整體思考的同時(shí)幫助學(xué)生學(xué)會(huì)類比遷移,從而讓學(xué)生在經(jīng)歷“三會(huì)”的過程中逐步提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的水平.

4 設(shè)計(jì)反思

4.1 巧設(shè)問題情境,明確學(xué)習(xí)對象

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)作為一種內(nèi)隱特質(zhì),其外化需要借助具體的教學(xué)情境.關(guān)于問題情境的創(chuàng)設(shè),認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為從已知的較一般的整體中分化細(xì)節(jié),要比從已知的細(xì)節(jié)中概括整體容易一些[4].因此,單元整體教學(xué)應(yīng)體現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的綜合性與習(xí)得性.相應(yīng)地,教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)立足學(xué)科邏輯,從核心問題出發(fā)創(chuàng)設(shè)良好的問題情境,引導(dǎo)學(xué)生在問題發(fā)現(xiàn)與提出的過程中逐漸明確學(xué)習(xí)對象,最終幫助學(xué)生學(xué)會(huì)“用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界”.

4.2 注重推理活動(dòng),尋求研究方法

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)并不是“一潭死水”,而是逐級(jí)進(jìn)階的“動(dòng)態(tài)系統(tǒng)”,它將在學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)中持續(xù)發(fā)揮作用.所以,單元整體教學(xué)應(yīng)體現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的持續(xù)性與發(fā)展性.換言之,教師在開展教學(xué)時(shí)應(yīng)組織學(xué)生進(jìn)行類比、特殊化與一般化等推理活動(dòng),幫助學(xué)生在直接接觸與親自體驗(yàn)的過程中,找到同類數(shù)學(xué)對象的研究方法,從而讓學(xué)生在反復(fù)遷移與靈活運(yùn)用的過程中學(xué)會(huì)“用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界”.

4.3 塑造認(rèn)知結(jié)構(gòu),形成知識(shí)體系

學(xué)科知識(shí)結(jié)構(gòu)不同于學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu).前者旨在講明知識(shí)邏輯順序,后者重在關(guān)注學(xué)生心理發(fā)展.單元整體教學(xué)既要呈現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的整體性,也要凸顯階段性.即要求教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí),應(yīng)從學(xué)科知識(shí)結(jié)構(gòu)出發(fā),塑造學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).教師要在精準(zhǔn)把握學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上,幫助學(xué)生厘清數(shù)學(xué)知識(shí),讓學(xué)生在體驗(yàn)“學(xué)習(xí)對象在變、研究方法不變”的過程中建構(gòu)知識(shí)體系,最終在經(jīng)歷系統(tǒng)化的數(shù)學(xué)活動(dòng)后,學(xué)會(huì)“用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”.

4.4 優(yōu)化反思評價(jià),涵育核心素養(yǎng)

課時(shí)評價(jià)更多指向知識(shí)技能層面,較少關(guān)注學(xué)科內(nèi)在邏輯,這不利于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.因此,單元整體教學(xué)應(yīng)重視反思評價(jià)環(huán)節(jié).要立足“總—分—總”結(jié)構(gòu),首先引導(dǎo)學(xué)生回顧單元主題中已學(xué)習(xí)的知識(shí)內(nèi)容,然后基于單元主題框架探討本節(jié)課的研究成果,最后回到單元主題的核心問題.教師要在“三會(huì)”學(xué)習(xí)過程中打破“只見樹木,不見森林”的困境,發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

在數(shù)學(xué)單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)中,核心問題的創(chuàng)設(shè)是一條明線,學(xué)習(xí)對象與研究方法的挖掘是一條暗線.明線是直觀易見的,而暗線的推進(jìn)需要在明線的指導(dǎo)下進(jìn)行,且最終回溯至明線.兩者相輔相成,共同幫助學(xué)生自主建構(gòu)知識(shí)體系,發(fā)展核心素養(yǎng).