夏詩(shī)偉 段志貴 楊元韡

(江蘇省鹽城市田家炳中學(xué) 224001)(鹽城師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 224002)(江蘇省常州高級(jí)中學(xué) 213000)

1 一輪復(fù)習(xí)存在的問(wèn)題及其分析

一輪復(fù)習(xí)時(shí)間緊內(nèi)容多,大多數(shù)學(xué)校以一輪復(fù)習(xí)資料或各學(xué)校自編講義為主,很多教師知道要回歸教材但又不知怎樣回歸,想在課堂上給學(xué)生預(yù)留時(shí)間但又怕完不成教學(xué)任務(wù).如何在教學(xué)過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)等一些問(wèn)題給一線(xiàn)教師帶來(lái)了教學(xué)的矛盾與困惑.究其原因,是新高考改革時(shí)間不長(zhǎng),不少教師還沒(méi)有改變?cè)薪虒W(xué)方式,再者教者不了解《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》,不清楚《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》和《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系說(shuō)明》,以至于不知道高考考查的目的和需要培養(yǎng)學(xué)生具備怎樣的能力．對(duì)于高三大多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō),他們完全通過(guò)刷題來(lái)提高數(shù)學(xué)成績(jī),注重強(qiáng)化解題套路,對(duì)非常規(guī)方式呈現(xiàn)的試題就束手無(wú)策;對(duì)書(shū)本中的閱讀知識(shí)沒(méi)有應(yīng)用意識(shí),缺乏強(qiáng)烈的問(wèn)題意識(shí),在閱讀中不注意體會(huì)問(wèn)題本質(zhì);知識(shí)體系不夠完善,綜合能力比較欠缺,缺少對(duì)題型的感悟與知識(shí)的梳理．

2 一輪復(fù)習(xí)要回歸教材追溯本質(zhì)

深度學(xué)習(xí)在教育領(lǐng)域側(cè)重于學(xué)生的學(xué)習(xí)方式的改進(jìn),對(duì)知識(shí)的遷移應(yīng)用以及對(duì)學(xué)生高階思維的培養(yǎng).深度教學(xué)就是要遵循教育教學(xué)規(guī)律,將知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行有機(jī)整合,幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中構(gòu)建整體的知識(shí)體系,促進(jìn)其核心素養(yǎng)發(fā)展[1].為此,一輪復(fù)習(xí)首要的策略就是回歸教材,追溯知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程,追溯知識(shí)背后豐富的數(shù)學(xué)思想方法．

2.1 回歸教材,辨析概念本質(zhì)

一輪復(fù)習(xí)時(shí)很多知識(shí)學(xué)生已學(xué)過(guò)但記憶比較模糊,甚至有些遺忘.有些學(xué)生對(duì)某一模塊不熟練,但對(duì)其他的模塊相對(duì)比較熟練.因此一輪復(fù)習(xí)是對(duì)基本概念的梳理與鞏固,重視概念的應(yīng)用、理清知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系與區(qū)別,讓學(xué)生對(duì)知識(shí)概念有更新更深入的認(rèn)識(shí).

蘇教版必修一第119頁(yè)的“探究拓展”中不僅對(duì)函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)或直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)做了拓展,還可由此引導(dǎo)學(xué)生提煉一般規(guī)律:關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱(chēng)的函數(shù)表達(dá)式可表示為f(x)+f(2a-x)=2b,關(guān)于直線(xiàn)x=a對(duì)稱(chēng)的函數(shù)表達(dá)式可表示為f(x)=f(2a-x).很多學(xué)生對(duì)周期性表達(dá)式與對(duì)稱(chēng)性表達(dá)式容易混淆,如“若f(x+a)+f(x)=c(a≠0),則T=2a”“若f(x+a)+f(x+b)=c(a≠b),則T=2|a-b|”,從表達(dá)式看的確與對(duì)稱(chēng)性有相似,但周期的代數(shù)表達(dá)式中是括號(hào)內(nèi)的差值為常數(shù),而對(duì)稱(chēng)性的代表表達(dá)式中則是括號(hào)內(nèi)的和為常數(shù).

例1(2018全國(guó)Ⅱ卷文第12題)已知f(x)是定義域?yàn)?-∞,+∞)的奇函數(shù),滿(mǎn)足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,則f(1)+f(2)+…+f(50)=( ).

A.-50 B.0 C.2 D.50

解由f(1-x)=f(1+x)且f(x)為奇函數(shù),得-f(-1+x)=f(1+x),于是f(x)為周期函數(shù),T=2|(1+x)-(-1+x)|=4.又f(0)=0,故f(2)=f(0)=0,f(-1)=-f(1)=-2,從而f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,故f(1)+f(2)+…+f(50)=f(1)+f(2)=2．

從教材基本概念入手,指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)知識(shí)點(diǎn)間的區(qū)別與聯(lián)系,搭建知識(shí)點(diǎn)交匯的橋梁,獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則.在建立知識(shí)框架體系的過(guò)程中,讓學(xué)生對(duì)知識(shí)的本質(zhì)有更深入的認(rèn)識(shí),能靈活地應(yīng)用概念.

2.2 深究教材,拓展知識(shí)廣度

教師站得高,才能引領(lǐng)學(xué)生看得遠(yuǎn),教師是學(xué)生學(xué)習(xí)的引路人,教師站立的高度決定了學(xué)生的視野.課堂教學(xué)必須突出強(qiáng)烈的問(wèn)題意識(shí),讓學(xué)生在閱讀感悟中體會(huì)問(wèn)題本質(zhì),我們除了要鉆研所教教材中的概念,更要研究與教材概念相關(guān)聯(lián)的知識(shí),拓展學(xué)生的知識(shí)廣度、提高學(xué)生的解題能力．

本題可利用蘇教版必修一第66頁(yè)“閱讀與探究”中的基本不等式的推廣進(jìn)行證明.

此類(lèi)閱讀題不僅能拓展學(xué)生的知識(shí)面,更能促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的融會(huì)貫通、靈活運(yùn)用.縱觀近幾年的高考試卷,都沒(méi)有突破高中數(shù)學(xué)知識(shí)范圍,更沒(méi)有超越教材以外的內(nèi)容.因此,教師在教學(xué)中不僅要把“四能”提升作為教學(xué)的主要任務(wù),還應(yīng)滲透數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

3 一輪復(fù)習(xí)要圍繞學(xué)科核心素養(yǎng)

作為一線(xiàn)教師,對(duì)素養(yǎng)導(dǎo)向下的高考評(píng)價(jià)體系的理解與實(shí)踐,最直接的體現(xiàn)就是對(duì)數(shù)學(xué)試題的分析.而高中生解題更多的是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)積累與直觀感覺(jué),缺少對(duì)題型的感悟與對(duì)知識(shí)的梳理.教師對(duì)一類(lèi)典型問(wèn)題的通性通法進(jìn)行講解,有利于學(xué)生掌握解題方法,有助于學(xué)生形成基礎(chǔ)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),使學(xué)生知識(shí)能力被梳理得脈絡(luò)清晰[2].學(xué)生在不斷總結(jié)經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程中,將經(jīng)驗(yàn)內(nèi)化,養(yǎng)成解決問(wèn)題的常規(guī)方法,在知識(shí)建構(gòu)和思想引領(lǐng)中形成自我解題方法和思維模式,實(shí)現(xiàn)思維的內(nèi)化.

深度學(xué)習(xí)是一種主動(dòng)、批判、有意義的學(xué)習(xí)方式,其目的是發(fā)展高階思維,具有批判理解、信息整合、反思建構(gòu)、遷移運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)[3].數(shù)學(xué)運(yùn)算是核心素養(yǎng)之一.新高考試卷對(duì)學(xué)生的運(yùn)算要求較高,許多學(xué)生由于運(yùn)算達(dá)不到要求,完成試卷就顯得很困難.在教學(xué)中要實(shí)現(xiàn)“做一題,通一類(lèi);得一法,通一片”的學(xué)習(xí)效果,不僅提高學(xué)生解決問(wèn)題的效率,提升自己對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的感悟,由此使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更有信心.促使學(xué)生從學(xué)習(xí)型轉(zhuǎn)變?yōu)檠芯啃?不斷深化對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解與應(yīng)用.

從素養(yǎng)導(dǎo)向的理解來(lái)看,研究高考試題還可以將知識(shí)教學(xué)、習(xí)題解答、問(wèn)題解決與素養(yǎng)的理解更加緊密地聯(lián)系起來(lái),從而實(shí)現(xiàn)素養(yǎng)引導(dǎo)教學(xué)、評(píng)價(jià),在教學(xué)與評(píng)價(jià)中更好地理解素養(yǎng)的良性互動(dòng)[4].在復(fù)習(xí)中,我們應(yīng)把握好“思”與“算”的辯證關(guān)系,重視通性通法以及知識(shí)點(diǎn)間的融會(huì)貫通,提升運(yùn)算求解能力.高考不僅考查單獨(dú)的知識(shí)點(diǎn),更考查知識(shí)點(diǎn)的靈活運(yùn)用,一輪復(fù)習(xí)已經(jīng)突破新課學(xué)習(xí)時(shí)模塊獨(dú)立的學(xué)習(xí)方式,是學(xué)生提升綜合能力的重要過(guò)程,因此要站在系統(tǒng)整體的高度理解知識(shí),構(gòu)建立體化的知識(shí)網(wǎng)絡(luò).幫助學(xué)生從高考真題中感受知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的搭建過(guò)程,強(qiáng)化學(xué)生獨(dú)立思考的習(xí)慣,增強(qiáng)模塊之間的相互聯(lián)系,增進(jìn)分析和解決問(wèn)題的能力.

4 一輪復(fù)習(xí)要注重思維品質(zhì)培養(yǎng)

一輪復(fù)習(xí)不僅要提高學(xué)生的解題能力,更要在解題復(fù)習(xí)中提升學(xué)生的思維品質(zhì).正如鄭毓信教授認(rèn)為數(shù)學(xué)深度教學(xué)是指數(shù)學(xué)教學(xué)必須超越具體知識(shí)和技能深入到思維的層面,由具體的數(shù)學(xué)方法和策略過(guò)渡到一般性的思維策略與思維品質(zhì)的提升[4].深度教學(xué),一方面從知識(shí)的本質(zhì)內(nèi)涵深入研究,深刻理解和充分掌握知識(shí)本質(zhì)屬性和內(nèi)在聯(lián)系;另一方面從提升學(xué)生的思維能力入手,引導(dǎo)學(xué)生重視對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本思想方法的深入理解和綜合運(yùn)用,將核心素養(yǎng)內(nèi)化為學(xué)生自身能力.

4.1 放慢課堂節(jié)奏,培養(yǎng)思維深刻性

學(xué)習(xí)的過(guò)程是自我感悟的過(guò)程,課堂需要慢一點(diǎn),給一點(diǎn)時(shí)間讓學(xué)生動(dòng)手做、動(dòng)腦思,更要讓學(xué)生學(xué)會(huì)反思自我解題活動(dòng)的心路歷程.有一位大學(xué)數(shù)學(xué)教授說(shuō)過(guò),學(xué)數(shù)學(xué)只有慢、不片面地追求速度、反復(fù)思考,才能深入理解、透徹領(lǐng)會(huì),真正掌握數(shù)學(xué)的精髓和真諦.而當(dāng)前高三復(fù)習(xí)有很多的試題訓(xùn)練,很多學(xué)生對(duì)錯(cuò)誤的題目急于訂正,訂正好題目就萬(wàn)事大吉,沒(méi)有反思自己做題錯(cuò)誤的原因,也不總結(jié)成功的經(jīng)驗(yàn),這是本末倒置.

教學(xué)中對(duì)思維能力的培養(yǎng),不宜將能激發(fā)思維的問(wèn)題或思考點(diǎn)只用直白問(wèn)題直接呈現(xiàn),而要把需要思考的關(guān)鍵點(diǎn)放慢一點(diǎn),讓學(xué)生有思考的時(shí)間和空間,自己讀題,說(shuō)一說(shuō)想法,分析如何繼續(xù)思考問(wèn)題、解決問(wèn)題.否則就失去激發(fā)學(xué)生思維的機(jī)會(huì),沒(méi)有起到培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力的效果.學(xué)生不僅需要知道怎么做題,更要知道如何想到怎么解題.重視學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程,在過(guò)程中掌握數(shù)學(xué)方法,解決實(shí)際問(wèn)題,養(yǎng)成高品質(zhì)的思維模式,培養(yǎng)思維的深刻性,促進(jìn)邏輯思維能力發(fā)展,形成規(guī)范化思考問(wèn)題的品質(zhì)．

例4(2021八省聯(lián)考第7題)已知拋物線(xiàn)y2=2px上三點(diǎn)A(2,2),B,C,直線(xiàn)AB,AC是圓(x-2)2+y2=1的兩條切線(xiàn),則直線(xiàn)BC的方程為( ).

A.x+2y+1=0 B.3x+6y+4=0

C.2x+6y+3=0 D.x+3y+2=0

不僅學(xué)生需要反思,教師在課堂中也需要反思．有時(shí)我們精心備課的內(nèi)容在課堂上呈現(xiàn)時(shí),學(xué)生與我們總會(huì)有不一樣的想法,有時(shí)學(xué)生思考問(wèn)題的方法更精彩.這就要求我們要相信學(xué)生,放手讓學(xué)生去想、去做,敢于表達(dá)自己的意見(jiàn).在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、解題過(guò)程中逐步培養(yǎng)系統(tǒng)視角、聯(lián)系觀點(diǎn)、整體認(rèn)識(shí),多角度體會(huì)解題,在算理引領(lǐng)下精準(zhǔn)運(yùn)算,提升思維的深刻性、靈活性、創(chuàng)新性.

4.2 加強(qiáng)交流討論,培養(yǎng)思維創(chuàng)造性

教師在一輪復(fù)習(xí)教學(xué)過(guò)程中要建立完整的教學(xué)體系,以多樣化的題型培養(yǎng)學(xué)生實(shí)際解決問(wèn)題的能力,提高學(xué)生的綜合能力,讓學(xué)生的思維得到鍛煉,挖掘?qū)W生的數(shù)學(xué)思想和核心素養(yǎng)[5].縱觀近兩年全國(guó)各地高考數(shù)學(xué)試題,不難發(fā)現(xiàn),新課程標(biāo)準(zhǔn)中所列的教學(xué)內(nèi)容,在高考中都可能涉及.

近兩年高考試題非常注重創(chuàng)新性,有試題問(wèn)題域的創(chuàng)新,如2020年北京卷第21題數(shù)列及函數(shù)關(guān)系問(wèn)題,2021年新高考Ⅰ卷第12題柱體問(wèn)題,2022年新高考Ⅰ卷第20題概率與統(tǒng)計(jì)問(wèn)題,2022年新高考Ⅱ卷第7題棱臺(tái)的外接球問(wèn)題;有題型的創(chuàng)新,如2022年新高考Ⅰ卷第14題答案不唯一,2022年新高考Ⅱ卷第21題條件三選二、再推三,2021年全國(guó)甲卷理科第18題;有試題難易度分布的創(chuàng)新,不再如以往的高考卷由易到難,現(xiàn)在的難易度分布如山峰式的變化．因此,一輪復(fù)習(xí)要加強(qiáng)教學(xué)的針對(duì)性,要設(shè)計(jì)一些探索或有討論的問(wèn)題,讓學(xué)生開(kāi)闊思路,豐富想象;學(xué)生相互之間也可以編制一些題目,相互之間展開(kāi)討論．促使學(xué)生克服思維定勢(shì),從全新的角度進(jìn)行思考問(wèn)題,對(duì)于問(wèn)題獲得一種新的認(rèn)識(shí),以達(dá)到對(duì)問(wèn)題的解決．學(xué)生面對(duì)異于常規(guī)、新穎的問(wèn)題時(shí)思維要能夠發(fā)散,并能創(chuàng)造性地解決問(wèn)題．

4.3 重視一題多解,培養(yǎng)思維靈活性

涂榮豹教授認(rèn)為:現(xiàn)在提出的“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”就是通常所說(shuō)的思維能力,思維即“思考”,數(shù)學(xué)素養(yǎng)本質(zhì)應(yīng)當(dāng)是數(shù)學(xué)思考[6]．如何將課堂上所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用到實(shí)際中?學(xué)生思維的靈活性至關(guān)重要．思維靈活性強(qiáng)的學(xué)生可以從多角度、多方向思考問(wèn)題,能夠?qū)⑺鶎W(xué)知識(shí)進(jìn)行遷移,綜合地分析問(wèn)題、思考問(wèn)題、解決問(wèn)題.在課堂教學(xué)中進(jìn)行一題多解訓(xùn)練,是培養(yǎng)學(xué)生思維靈活性的有效途徑．

A.a

C.c

課堂中對(duì)具體題目的講解,要鼓勵(lì)學(xué)生多方面思考,用多種方法解決.一題多解對(duì)于個(gè)體而言是知識(shí)廣度和思維能力的體現(xiàn),而對(duì)于群體而言則是思維能力的疊加.這不僅能鼓勵(lì)學(xué)生與他人分享知識(shí)經(jīng)驗(yàn),幫助學(xué)生構(gòu)建基礎(chǔ)知識(shí)邏輯,形成概念框架體系,而且在掌握知識(shí)技能的同時(shí)深入認(rèn)識(shí)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系.

在一輪復(fù)習(xí)中我們要立足教材,充分認(rèn)識(shí)知識(shí)生成、發(fā)展和運(yùn)用的過(guò)程,領(lǐng)悟教材所滲透的數(shù)學(xué)思想和方法,同時(shí)也要活用教材,以真題為參考,重視知識(shí)點(diǎn)之間的融會(huì)貫通,搭建完整的知識(shí)體系.“數(shù)學(xué)是思維的體操”,要讓學(xué)生通過(guò)課堂教學(xué)感悟數(shù)學(xué)、學(xué)會(huì)思考并能多維度地思考解決問(wèn)題的方法,提升數(shù)學(xué)思維能力.學(xué)生不僅能夠?qū)W會(huì)數(shù)學(xué)、使用數(shù)學(xué),更能進(jìn)行“再創(chuàng)造”.由深度教學(xué)促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí),使學(xué)生經(jīng)歷從“學(xué)會(huì)”到“會(huì)學(xué)”再到“樂(lè)學(xué)”的螺旋上升、良性循環(huán)的學(xué)習(xí)路徑,能夠提高其數(shù)學(xué)思維能力,促進(jìn)思維品質(zhì)的養(yǎng)成以及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育與發(fā)展.