萬福昌

(江蘇省蘇州市陸慕高級中學(xué) 215131)

全國高考卷常出現(xiàn)數(shù)的大小比較問題,如2020年全國Ⅰ卷理科卷、2021年全國Ⅰ卷理科卷、2022年全國新高考卷等．?dāng)?shù)的大小問題也高頻出現(xiàn)在各種模擬試題中,引起了許多一線教師對數(shù)的大小比較問題進行探究．?dāng)?shù)的大小問題不僅是考試的熱點,也是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點之一．本文以人教版教材一道對數(shù)比較大小習(xí)題為例,探究解決數(shù)的大小比較問題的思路和方法,依據(jù)新課標(biāo),基于大概念觀點,小中見大,呈示解法,把握解法本質(zhì),籍此闡釋提取“數(shù)的大小比較”作為大概念的依據(jù),并對該問題的教學(xué)進行思考．

1 習(xí)題及解法探究

題目比較log23,log34,log45三個數(shù)的大小．(人教A版必修第一冊第141頁第13(2)題)

考慮到學(xué)生解題有難度,故將題目放置在教材“拓廣探索”題中．多數(shù)教師在教學(xué)中發(fā)現(xiàn):學(xué)生由于剛剛學(xué)完對數(shù)函數(shù)一節(jié)內(nèi)容,沒有對數(shù)大小比較的解題經(jīng)驗,在解決本題時確實感到困難．

·思路1——倍增法

解法1因為5log23=log2243∈(7,8),5log34=log31 024∈(6,7),5log45=log43 125∈(5,6),所以5log23>5log34>5log45,從而 log23>log34>log45．

說明從數(shù)的角度看,倍增法就是將數(shù)值接近的數(shù)改變倍數(shù),拉開差距,再進行比較．依據(jù)不等式性質(zhì)a>b?ka>kb(k>0)．從形的角度看,由klogam=logamk,對數(shù)函數(shù)圖象上的點(m,logam)和(n,logbn)分別變?yōu)?mk,logamk)

(k>1),(nk,logbnk)(n>1),兩點之間的距離變大,更易觀察函數(shù)值的差異．若僅比較log23和log34的大小,只要同乘以2即可．

·思路2——減數(shù)法

說明從數(shù)的角度看,每個數(shù)先減去2再進行比較．為什么兩個數(shù)的絕對差值沒有變化,卻能便于比較呢?我們還要看到背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)．我們從形的角度看,同減去2使得真數(shù)值發(fā)生了變化,相當(dāng)于將函數(shù)圖象上的點變換到圖象左側(cè)更陡的一段上,拉開了兩點的距離,便于確定中間數(shù)．

以下解題思路和解法,都可從數(shù)或形方面理解,不再在說明中具體闡釋．

·思路3——中間值法

說明中間值法難點在如何確定中間值．微調(diào)真數(shù)的根指數(shù),湊成底數(shù)的指數(shù)冪形式后放縮,這是解題的關(guān)鍵．其本質(zhì)就是放縮成同底數(shù)的對數(shù)函數(shù),運用對數(shù)單調(diào)性進行大小比較．

·思路4——作差法

·思路5——作商法

說明作商法是比較大小的常用方法．作商后一般用換底公式化為同底對數(shù),再湊成底數(shù)的指數(shù)冪形式,進行真數(shù)放縮,達到與1比大小的目的．

·思路6——斜率法

說明根據(jù)已知構(gòu)造分式結(jié)構(gòu),運用數(shù)形結(jié)合思想,聯(lián)想兩點的斜率,即一次函數(shù)的一次項系數(shù),畫圖,由直觀得出結(jié)論．

·思路7——構(gòu)造函數(shù)法

說明構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)后判定函數(shù)的單調(diào)性,繼而進行數(shù)的大小比較．

·思路8——化指數(shù)法

說明指對數(shù)互化是解決指對數(shù)問題的常用方法之一．對數(shù)式化為指數(shù)式,巧變?yōu)?y-x與1的比較,基本思路是產(chǎn)生指數(shù)y-x,思路簡單自然．解法11和解法12參考了文[1][2]．

·思路9——換底不等式法

結(jié)論1 設(shè)n>m>1,p>0,q≥1,則有l(wèi)ogpm+q(pn+q)

具體證明過程參閱文[3],運用結(jié)論1可以快捷獲解．

解法13當(dāng)p=1,q=1時,分別取m=2,n=3和m=3,n=4,有l(wèi)og23>log1×2+1(1×3+1)>log1×3+1(1×4+1),即為log23>log34>log45．

結(jié)論2 設(shè)n>m>1,p>0,q≥1,則有l(wèi)ogpmpn

具體證明過程參閱文[3],運用結(jié)論2可以快捷獲解．

說明結(jié)論1和結(jié)論2稱為換底不等式．

·思路10——泰勒展開式法

2 提取“數(shù)的大小比較”作為大概念的依據(jù)

大概念的提取是“大概念教學(xué)”的前提,浙江大學(xué)教育學(xué)院劉徽總結(jié)了大概念提取的八條路徑,即課程標(biāo)準(zhǔn)、學(xué)科核心素養(yǎng)、專家思維、概念派生、知能目標(biāo)、生活價值、學(xué)習(xí)難點和評價標(biāo)準(zhǔn)．其中,前四種是自上而下提取的,由此方式提取的大概念往往是“現(xiàn)成”的,難點在于教師能否準(zhǔn)確理解大概念;后四種是自下而上提取的,難點在于是否能沿正確的方向上升到大概念的層面[4]．

課程標(biāo)準(zhǔn)是國家課程的基本綱領(lǐng)性文件,因此,原則上所有大概念的提取都要參照課程標(biāo)準(zhǔn),甚至從課程標(biāo)準(zhǔn)可以直接提煉大概念[4]．高中數(shù)學(xué)將不等關(guān)系作為內(nèi)容之一放置在主題一“預(yù)備知識”中,函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基本的概念,是描述客觀世界變量關(guān)系和規(guī)律的最為基本的數(shù)學(xué)語言和工具．函數(shù)單調(diào)性的概念是用數(shù)的大小比較形式來定義的,數(shù)的大小比較能體現(xiàn)幾種常見初等函數(shù)的性質(zhì)運用的價值．

知能目標(biāo),即知識和技能目標(biāo),也可以向上提煉為大概念[2]．從小學(xué)的整數(shù)大小比較、分數(shù)大小比較,到初中的有理數(shù)大小比較和實數(shù)大小比較,學(xué)生積累了一定的比較經(jīng)驗,但比較大小的經(jīng)驗是低級的、不連貫的,到高中經(jīng)過提煉,可以將它們上升為“依據(jù)不等式性質(zhì),構(gòu)造函數(shù)進行大小比較”這一大概念．

數(shù)的大小問題,題目雖短小,但其內(nèi)涵豐富,能較好體現(xiàn)《中國高考質(zhì)量評價體系》的“一核”“四層”“四翼”的要求．

(1)能考查函數(shù)主題的知識掌握情況

人教2019 A版高中數(shù)學(xué)教材中出現(xiàn)了近百道大小比較習(xí)題,可見數(shù)的大小比較是學(xué)習(xí)新課標(biāo)主題內(nèi)容的重點題型,有利于考查不等式性質(zhì),有利于函數(shù)性質(zhì)的運用,在平時教學(xué)中應(yīng)該引起高度的重視,視為教學(xué)重點之一．《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(下稱《課標(biāo)2017》)指出:在數(shù)學(xué)高考命題中,考查內(nèi)容應(yīng)圍繞數(shù)學(xué)內(nèi)容主題,聚焦學(xué)生對重要數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、方法的理解和應(yīng)用,強調(diào)基礎(chǔ)性．?dāng)?shù)的大小問題能考查函數(shù)主線的概念、性質(zhì),在教學(xué)函數(shù)性質(zhì)時要多時段地進行教學(xué)設(shè)計,讓函數(shù)性質(zhì)的學(xué)習(xí)在大小比較中得到提升．

(2)能考查數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力

數(shù)的大小比較,一般要進行轉(zhuǎn)化、變形、估算、放縮,能很好地考查學(xué)生的解題方法、計算能力、數(shù)據(jù)處理能力、推理能力、建模能力,以及運用數(shù)形結(jié)合思想方法的解題能力．?dāng)?shù)的大小比較習(xí)題有區(qū)分度,有利于選拔人才,也能體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性(即“四翼”)的高考考查要求．

(3)能考查數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)

《課標(biāo)2017》中提出六個數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),數(shù)的大小問題可以一個題目考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)素養(yǎng),特別能考查數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．?dāng)?shù)的大小比較的本質(zhì)方法是構(gòu)造函數(shù)法,由具體的數(shù)構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)就是一個微型數(shù)學(xué)建模的過程,其中包含數(shù)學(xué)建模過程的關(guān)鍵步驟,所以數(shù)的大小比較能考查學(xué)生的建模能力和素養(yǎng)．

綜合課程標(biāo)準(zhǔn)和高考評價要求、新教材、新高考等諸多因素,“數(shù)的大小比較”可以確定為中學(xué)數(shù)學(xué)的大概念．

3 大概念下“數(shù)的大小比較”教學(xué)思考

《課標(biāo)2017》重視以數(shù)學(xué)大概念為核心,使課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化,促進數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落實．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)科大概念并非指學(xué)科中某一具體的概念或方法,而是這些具體知識背后能反映數(shù)學(xué)本質(zhì)的、更為核心的、具有普遍性和廣泛解釋力的原理和思想方法．它具有抽象性、中心性、意義性、結(jié)構(gòu)性、包容性和遷移性等基本特征．大概念教學(xué)需要注意概念深度學(xué)習(xí),多層次、多時段組織教學(xué),不斷升華大概念的內(nèi)涵和外延,不斷構(gòu)建系統(tǒng)化的方法體系．

(1)重視大小比較的全景設(shè)計

近些年來全國各套高考試卷對(指、對、冪、三角)函數(shù)值大小比較的考查主要集中在指對互化、(指、對、冪、三角)函數(shù)的運算性質(zhì)、圖象、單調(diào)性以及不等式性質(zhì)等內(nèi)容,有一定難度,偶爾作為壓軸題出現(xiàn)．平時教學(xué)中盡量不補充新結(jié)論,不增加學(xué)生學(xué)習(xí)的負擔(dān)．突出不等式基本性質(zhì)的運用,如解法1十分簡單,其背后蘊含著不等式的性質(zhì)．突出函數(shù)單調(diào)性,應(yīng)重視(指、對、冪、三角)函數(shù)的性質(zhì)與圖象的掌握以及常見的大小比較方法,如作差、作商、圖象法、構(gòu)造函數(shù)等方法的訓(xùn)練,夯實基礎(chǔ)知識,掌握基本技能,提升解決問題的能力．

本文提供了數(shù)的大小問題解法全景,如何在教學(xué)中選用、取舍、擇時?這是值得思考的問題,需要進行整體設(shè)計．解法13和解法14的解題過程雖然簡單,但學(xué)生需要知道對數(shù)不等式的二級結(jié)論,解法15涉及到高等數(shù)學(xué)知識,這些方法只能針對學(xué)有余力的學(xué)生．解法9要在學(xué)習(xí)了解析幾何直線斜率知識后方可再次學(xué)習(xí),解法10則要在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)后方可再次學(xué)習(xí)．總體上,我們在進行數(shù)的大小比較問題教學(xué)時,需依據(jù)課標(biāo)要求,符合高考評價要求,結(jié)合學(xué)生學(xué)情,重視課本習(xí)題,既要設(shè)計好每一處大小比較問題的教學(xué),也要進行整體設(shè)計．

(2)重視數(shù)學(xué)本質(zhì)的把握,提升學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)

指、對、冪、三角函數(shù)有關(guān)數(shù)大小比較的問題蘊含著非常豐富的數(shù)學(xué)思想和靈活的數(shù)學(xué)方法,包括轉(zhuǎn)化與化歸、分類與整合、代數(shù)與幾何、局部與整體等．通過指、對、冪、三角函數(shù)的學(xué)習(xí)和研究,在數(shù)的大小比較教學(xué)過程中,學(xué)生思考和解決問題的能力能得到有效的強化和提升．由于指、對、冪、三角函數(shù)值比較大小問題的考查是高考中較為穩(wěn)定的考查方向,容易形成一些固定的解題套路、形成思維定勢,在日常教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生一題多解、一題多思,在掌握常規(guī)思路的同時培養(yǎng)發(fā)散思維．?dāng)?shù)的大小比較和和其他數(shù)學(xué)概念一樣,可以從數(shù)和形兩個方面把握其本質(zhì)．教學(xué)中要重視構(gòu)造函數(shù)方法的教學(xué),既要重視同類函數(shù)值的比較,也要重視不同類函數(shù)值的比較,引導(dǎo)學(xué)生觀察數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)特征,聯(lián)想函數(shù)解析式、函數(shù)圖象和性質(zhì),運用導(dǎo)數(shù)與不等式等數(shù)學(xué)工具,確定解決問題的策略和方法,提升綜合應(yīng)用能力．