馬 杰

(安徽省宿州第二中學(xué)雪楓中學(xué)校區(qū) 234000)

2023年教育部考試院命制的高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅱ卷供遼寧、海南、重慶、安徽、山西、吉林、黑龍江、云南等地使用,該套試卷遵循《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》的要求,目的在于將育人和育才相統(tǒng)一,培養(yǎng)擁有“四個(gè)自信”的時(shí)代新人．試題具有良好的信度和區(qū)分度,發(fā)揮了“價(jià)值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向,能力為重、知識(shí)為基”的作用,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科的功能,對(duì)引領(lǐng)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)有著重要的意義．

1 試題特點(diǎn):返樸抱真,“四翼”齊飛,穩(wěn)中求進(jìn)

1.1 注重基礎(chǔ)知識(shí)的考查,突出基礎(chǔ)性

高中數(shù)學(xué)教材中的概念、性質(zhì)、公式、法則、公理、定理等是構(gòu)建高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)體系的核心,也是解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的基石．概念是思維的細(xì)胞,通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解,可以建立起清晰的數(shù)學(xué)思維框架;公式、法則、性質(zhì)、定理等是從數(shù)學(xué)的角度對(duì)現(xiàn)實(shí)世界客觀存在事物的概括性的表達(dá),靈活運(yùn)用這些內(nèi)容有助于開(kāi)拓學(xué)生的思維,幫助學(xué)生“會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”．

典例1(新課標(biāo)Ⅱ卷第14題)底面邊長(zhǎng)為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截,截去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2,高為3的正四棱錐,所得棱臺(tái)的體積為．

評(píng)析本題屬于基礎(chǔ)題,重點(diǎn)考查棱臺(tái)的體積公式(需要記憶)和相似的知識(shí).當(dāng)然,本題還可以利用棱錐的體積公式,大四棱錐的體積減去小四棱錐的體積,即得棱臺(tái)的體積．本套試卷包含了一定比例的基礎(chǔ)性試題,如第1～4,13題等,這些試題涉及到集合、復(fù)數(shù)、抽樣方法、組合、函數(shù)、向量等知識(shí)點(diǎn)．旨在引導(dǎo)學(xué)生注重打牢基礎(chǔ),掌握進(jìn)入高校學(xué)習(xí)的必備知識(shí)．

1.2 注重基本技能的運(yùn)用,彰顯綜合性

數(shù)學(xué)基本技能主要是指能夠按照一定的程序與步驟進(jìn)行熟練操作的數(shù)學(xué)具體方法[1],包括數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、邏輯推理能力、抽象概括能力等．?dāng)?shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)是形成數(shù)學(xué)基本技能的載體,需要學(xué)生在復(fù)雜試題情境中綜合利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決問(wèn)題．

A．bc>0 B．a(chǎn)b>0

C．b2+8ac>0 D．a(chǎn)c<0

評(píng)析導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的基本工具之一,本題的函數(shù)經(jīng)過(guò)求導(dǎo)以后,根據(jù)其既有極大值又有極小值,轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的一元二次方程有兩個(gè)正根,利用韋達(dá)定理或一元二次方程根的分布即可得到結(jié)果,綜合考查了函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、方程、根的分布等知識(shí),發(fā)展了學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理能力．類(lèi)似地,試卷的第7,16等題綜合考查了對(duì)三角函數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力．

1.3 注重基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的實(shí)踐,加強(qiáng)應(yīng)用性

“四基”中的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是指學(xué)生通過(guò)親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程所獲得的具有個(gè)性特征的經(jīng)驗(yàn),包括數(shù)學(xué)建模、命題結(jié)論、思想方法、價(jià)值精神上積累解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)．荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴(lài)登塔爾強(qiáng)調(diào)“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種活動(dòng)”,這種活動(dòng)可以幫助學(xué)生更好地理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí),并將所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于解決實(shí)際問(wèn)題,提升學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．

典例3(新課標(biāo)Ⅱ卷第19題)某研究小組經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異,經(jīng)過(guò)大量調(diào)查,得到如下所示的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖(圖1):

圖1

利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn),需要確定臨界值c,將該指標(biāo)大于c的人判定為陽(yáng)性,小于或等于c的人判定為陰性,此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率,記為p(c);誤診率是將未患病者判定為陽(yáng)性的概率,記為q(c)．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)平均分布,以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．

(1)當(dāng)p(c)=0.5%時(shí),求臨界值c和誤診率q(c);

(2)設(shè)函數(shù)f(c)=p(c)+q(c),當(dāng)c∈[95,105]時(shí),求f(c)的解析式,并求f(c)在區(qū)間[95,105]上的最小值．

解析 (1)由患病者的指標(biāo)頻率分布直方圖可得,數(shù)據(jù)落在區(qū)間[95,100]的頻率為0.002×5=0.01,當(dāng)漏診率p(c)=0.5%時(shí),易得臨界值c=97.5．再根據(jù)未患病者的指標(biāo)頻率分布直方圖,數(shù)據(jù)大于臨界值97.5時(shí),對(duì)應(yīng)的頻率為(100-97.5)×0.01+0.002×5=0.035,所以q(c)=3.5%．

評(píng)析本題情境來(lái)自于現(xiàn)實(shí)生活題,融合了概率、統(tǒng)計(jì)、函數(shù)等相關(guān)知識(shí),讓學(xué)生利用積累的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)確定臨界值,制定合理的檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn),讓誤診率和漏診率得以平衡,較好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的應(yīng)用價(jià)值．類(lèi)似的,試卷的第8,10,12等題根據(jù)探究性學(xué)習(xí)中的實(shí)踐結(jié)論,可以快速地給出答案,為一類(lèi)題的解決思路提供一種策略．

1.4 注重基本思想的引領(lǐng),發(fā)展創(chuàng)新性

數(shù)學(xué)思想是對(duì)具體事物的理性認(rèn)識(shí)的升華,是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中所形成的基本的思維方式和方法．?dāng)?shù)學(xué)的基本思想對(duì)于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)水平具有引領(lǐng)作用,將對(duì)學(xué)生未來(lái)的學(xué)習(xí)和工作產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響．中學(xué)數(shù)學(xué)中的基本思想主要包括函數(shù)與方程、分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸思想以及概率中的隨機(jī)思想、統(tǒng)計(jì)推斷思想等.

典例4(新課標(biāo)Ⅱ卷第22題)(1)證明:當(dāng)0

解析 (1)令g(x)=x-sinx,所以g′(x)=1-cosx≥0,得g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,所以g(x)>g(0),即x-sinx>0,故sinx

令h(x)=x-x2-sinx,則h′(x)=1-2x-cosx,再令m(x)=1-2x-cosx,則m′(x)=-2+sinx<0,所以m(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,所以h′(x)=m(x)

評(píng)析 本題將導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)融合,屬于一道創(chuàng)新題,重點(diǎn)考查了函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)、極值、函數(shù)不等式等知識(shí),在對(duì)導(dǎo)函數(shù)的深入分析中,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的分類(lèi)討論、函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化等思想,凸顯數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)．

2 教學(xué)思考:以評(píng)促教,上通高考,下達(dá)課堂

2.1 既要設(shè)置情境,也要脫離情境

在教學(xué)中,我們常常會(huì)通過(guò)設(shè)置一個(gè)情境來(lái)引入相關(guān)概念．然而,在抽象出概念之后,我們卻經(jīng)常忽視了脫離情境的過(guò)程．《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(下稱(chēng)“課標(biāo)2017”)中指出,教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)要有利于發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)[2]．

案例1(新課標(biāo)Ⅱ卷第12題(多選))在信道內(nèi)傳輸0,1信號(hào),信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立．發(fā)送0時(shí),收到1的概率為α(0<α<1),收到0的概率為1-α;發(fā)送1時(shí),收到0的概率為β(0<β<1),收到1的概率為1-β．考慮兩種傳輸方案:單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個(gè)信號(hào)只發(fā)送1次,三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號(hào)需要譯碼,譯碼規(guī)則如下:單次傳輸時(shí),收到的信號(hào)即為譯碼;三次傳輸時(shí),收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼(例如,若依次收到1,0,1,則譯碼為1)( )．

A．采用單次傳輸方案,若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為(1-α)(1-β)2

B．采用三次傳輸方案,若發(fā)送1,則依次收到1,0,1的概率為β(1-β)2

C．采用三次傳輸方案,若發(fā)送1,則譯碼為1的概率為β(1-β)2+(1-β)3

D．當(dāng)0<α<0.5時(shí),若發(fā)送0,則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率

解析 設(shè)事件A1表示發(fā)送0收到1,事件A2表示發(fā)送0收到0;設(shè)事件B1發(fā)送1收到0,事件B2表示發(fā)送1收到1．因?yàn)樾盘?hào)的傳輸是相互獨(dú)立的,所以P(A1)=α,P(A2)=1-α,P(B1)=β,P(B2)=1-β．

對(duì)于選項(xiàng)A,若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率P1=P(B2A2B2)=P(B2)P(A2)P(B2)=(1-β)(1-α)(1-β)=(1-α)(1-β)2,故A正確．

對(duì)于選項(xiàng)B,采用三次傳輸方案,若發(fā)送1,則依次收到1,0,1的概率P2=P(B2B1B2)=P(B2)P(B1)P(B2)=(1-β)β(1-β)=β(1-β)2,故B正確．

所以本題答案為ABD．

啟示本題設(shè)置的是一個(gè)信道傳輸信號(hào)的現(xiàn)實(shí)情境,旨在考查對(duì)新概念、新知識(shí)的理解．在脫離這個(gè)情境后,單次傳輸和三次傳輸對(duì)應(yīng)的是概率和二項(xiàng)分布問(wèn)題．這種脫離情境的方法是為了解決問(wèn)題,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言,并抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題,從而培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)．

通過(guò)情境設(shè)置和脫離情境的兩個(gè)過(guò)程,可以幫助學(xué)生更好地理解概念,建立與實(shí)際生活的聯(lián)系．學(xué)生能夠更加深入地理解數(shù)學(xué)的本質(zhì),從而更好地掌握相關(guān)知識(shí)和技能,提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效果．

2.2 既要課時(shí)教學(xué),也要主題教學(xué)

《普通高中課程方案(2017年版)》指出,要重視“以學(xué)科大概念為核心,使課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化,以主題為引領(lǐng),使課程內(nèi)容情境化,促進(jìn)學(xué)科核心素養(yǎng)的落實(shí)”．通過(guò)主題式教學(xué),我們可以將各個(gè)知識(shí)點(diǎn)有機(jī)地結(jié)合起來(lái),形成一個(gè)完整的知識(shí)體系,讓學(xué)生能夠更加全面地理解和應(yīng)用所學(xué)知識(shí)．

A．p=2

C．以MN為直徑的圓與l相切

D．△OMN為等腰三角形

本題正確答案為AC．

啟示本題旨在考查拋物線(xiàn)的概念以及直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系,通過(guò)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程的聯(lián)立,要求學(xué)生能理解運(yùn)算對(duì)象,探究運(yùn)算思路,提升學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)．因此,教學(xué)中不僅要注重課時(shí)教學(xué),還要采用主題式教學(xué)．例如,以本題為中心就可以從“拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)弦性質(zhì)”的視角設(shè)計(jì)一節(jié)主題教學(xué)活動(dòng),讓學(xué)生能夠從整體上把握所學(xué)的知識(shí),構(gòu)建良好的知識(shí)網(wǎng)絡(luò),加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和運(yùn)用,提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)和應(yīng)用能力．

2.3 既要問(wèn)題引領(lǐng),也要自主探究

教師在問(wèn)題導(dǎo)向?qū)W習(xí)中的角色不僅僅是傳授知識(shí),更應(yīng)該是引導(dǎo)學(xué)生探索知識(shí),激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)力,讓學(xué)生成為自主學(xué)習(xí)者和問(wèn)題解決者[3]．教學(xué)中,教師需要引領(lǐng)學(xué)生掌握基本的解題思路和方法,同時(shí)也要給予學(xué)生充分自主探究的空間,讓他們?cè)趯?shí)踐中不斷嘗試、發(fā)現(xiàn)和總結(jié)．只有這樣,學(xué)生才能真正理解和掌握知識(shí),培養(yǎng)解決問(wèn)題的能力和創(chuàng)新精神．

(1)求{an}的通項(xiàng)公式;

(2)證明:當(dāng)n>5時(shí),Tn>Sn．

啟示本題融合等差數(shù)列中的奇偶項(xiàng)、分組求和、不等式等問(wèn)題,考查了學(xué)生的分類(lèi)討論思想和探究問(wèn)題的能力．教師在教學(xué)中要有問(wèn)題意識(shí),找到學(xué)生學(xué)習(xí)的困難點(diǎn),發(fā)揮教師的引領(lǐng)作用,注重啟發(fā)式教學(xué),讓學(xué)生從一道題出發(fā)自主探究一類(lèi)問(wèn)題的解法．

2.4 既要落實(shí)“四能”,也要優(yōu)化評(píng)價(jià)

“課標(biāo)2017”指出,“數(shù)學(xué)教學(xué)要培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力”．對(duì)于“四能”的落實(shí),美國(guó)實(shí)用主義教育家杜威曾說(shuō)過(guò):“在很大程度上,教學(xué)的藝術(shù)在于使新問(wèn)題的難度大到能激勵(lì)思考,小到自然注意到的新奇因素能引起疑惑,能使學(xué)生從熟悉的事物中獲得一些啟發(fā)點(diǎn),并從中產(chǎn)生有助于解決問(wèn)題的建議．”

啟示該題是以直線(xiàn)與圓相交為背景創(chuàng)設(shè)的一道開(kāi)放性問(wèn)題．先求出弦長(zhǎng)AB,再把點(diǎn)C到直線(xiàn)AB的距離表示出來(lái),結(jié)合面積公式即可求出結(jié)果．如果考慮到直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)(-1,0)恰好在圓C上,會(huì)減少一點(diǎn)運(yùn)算量,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想．

教師不但是教與學(xué)的組織者、引導(dǎo)者與合作者,更是扮演著評(píng)價(jià)者的角色．在評(píng)價(jià)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是否達(dá)成時(shí),“課標(biāo)2017”建議設(shè)計(jì)一些開(kāi)放性的題目作為評(píng)價(jià)工具之一．這樣可以更加全面地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和思維水平,避免過(guò)度依賴(lài)單一的評(píng)價(jià)指標(biāo)．因此,我們應(yīng)該在教學(xué)中利用一些開(kāi)放性試題,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和解決問(wèn)題的能力,以更好地提升學(xué)生“四能”的發(fā)展．

3 結(jié)語(yǔ)

高考是國(guó)家選拔人才的重要途徑,不僅承載選拔和評(píng)價(jià)的功能,而且是實(shí)現(xiàn)立德樹(shù)人的重要載體和素質(zhì)教育的關(guān)鍵環(huán)節(jié)[4]．作為一名數(shù)學(xué)教師,我們必須深入研究高考試題,不僅是為了讓學(xué)生能夠順利地應(yīng)對(duì)考試,更是為了有效地給學(xué)生傳授知識(shí)．既要上通高考,也要下達(dá)課堂;既要有理論引領(lǐng),也要進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐,并以“課標(biāo)2017”中的教學(xué)目標(biāo)為導(dǎo)向,實(shí)現(xiàn)教、學(xué)、評(píng)的一致性．這樣才能夠真正實(shí)現(xiàn)教育目的,更好地服務(wù)于學(xué)生的學(xué)習(xí)需求,為他們的未來(lái)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)．