王 姍，熊宇璐

(1.運城師范高等專科學校 數(shù)計系，山西 運城 044000；2.中國地質(zhì)大學(武漢) 數(shù)學與物理學院，湖北 武漢 430074)

1 引言

在過去的幾十年里，確定性的混沌系統(tǒng)的理論與數(shù)值研究一直是非線性動力系統(tǒng)分析作為非線性動力系統(tǒng)的重要研究之一[1-3].除了數(shù)學理論上的研究，有些混沌模型對于實際的物理意義的解釋起著不可或缺的作用.現(xiàn)有常見的Lorenz系統(tǒng)[4]、R?ssler系統(tǒng)[5]、Chen系統(tǒng)[6]、Lü系統(tǒng)[7].它們的混沌特性具有確定性、非線性、對初始條件敏感依賴性和非周期性等基本特征.最近，俄羅斯學者Leonov和Kuznetsov等人提出了混沌吸引子的分類：自激和隱藏的吸引子[8].

地磁逆轉(zhuǎn)是指地球磁極在地質(zhì)時期中的交替現(xiàn)象.Plykin等[9]研究了磁流體動力學中的混沌行為和奇異吸引子.劉曉軍等[10]研究了仿真地磁場長期變化中極性反轉(zhuǎn)的Rikitake發(fā)電機的混沌與混沌同步，分析了Rikitake系統(tǒng)的動力學行為.Llibre等[11]利用多項式向量場的Poincaré緊致化方法，研究了Rikitake系統(tǒng)在無窮遠點的動力學特性.鮑江宏[12]研究了分段圓盤發(fā)電機的復雜動力學行為，證明了分段圓盤發(fā)電機在一定的條件下是可積的.鮑江宏和陳丹丹[13]等人研究了四維分段圓盤發(fā)電機的隱藏混沌吸引子，研究了四維分段圓盤發(fā)電機的Pitchfork分岔和Hopf分岔，并對其有界性也進行了研究.魏周超等[14]研究了隱藏超混沌與電子電路在五維自激單極盤發(fā)電機中的應用.Gissinger等提出了表示湍流磁力發(fā)電機的混沌逆轉(zhuǎn)模型[15]，研究表明在流體力學中發(fā)生逆轉(zhuǎn)的情況下，在非線性混沌動力學對于解釋復雜的逆轉(zhuǎn)過程有著重要的研究意義.Rajagopal等[16]提出了修改后的地磁逆轉(zhuǎn)模型，并研究了復雜的分岔現(xiàn)象和多穩(wěn)態(tài)性質(zhì).

本文進一步研究Gissinger等人提出的混沌逆轉(zhuǎn)模型的分岔行為，通過計算Lyapunov系數(shù)判定Hopf分岔的方向，證明了極限環(huán)的存在性.此結(jié)果在一定程度上解釋了逆轉(zhuǎn)模型的混沌產(chǎn)生機理.

2 地磁逆轉(zhuǎn)模型及其基本動力學性質(zhì)

為了描述地磁場的極性反轉(zhuǎn)規(guī)律，人們提出了大量的倒轉(zhuǎn)模型，試圖從混沌的角度來探討地磁場的極性反轉(zhuǎn)規(guī)律.Gissinger等人在地球磁場反轉(zhuǎn)的框架建立了如下三維自治系統(tǒng)：

(2.1)

其中a，b，c均為大于零的實參數(shù).首先對系統(tǒng)(2.1)的平衡點進行分析，令方程組的右邊等于零，可以得到系統(tǒng)(2.1)平衡點的情況：

把系統(tǒng)(2.1)在平衡點S1進行線性化，可以得到其Jacobian矩陣

系統(tǒng)(2.1)在S1的特征方程分別為：

-ab+c2+(-a+b-ab+c2)λ+(1-a+b)λ2+λ3=0.

(2.2)

綜上所述，再根據(jù)Routh-Hurwitz判定條件，我們得到如下結(jié)論：

定理2.1 當參數(shù)0

3 Hopf分岔分析及其周期解穩(wěn)定性

下面對平衡點S1進行Hopf分岔問題分析.

定理3.1 當0

故因此滿足橫截條件.所以當0

由文獻[17-20]給出第一Lyapunov系數(shù)的求法，考慮下面系統(tǒng)

x′=f(x，ξ)，

(3.1)

其中x3∈R3，ξ∈Rm分別是系統(tǒng)(3.1)的狀態(tài)變量和控制參數(shù)，假設系統(tǒng)(3.1)有平衡點x=x0，ξ=ξ0，記x=x-x0，則F(x)=f(x，ξ0)的泰勒展開式為

其中A=fx(0，ξ0)，并且i=1，2，3有

(3.2)

假設在平衡點(x0，ε0)處系統(tǒng)(3.1)Jacobi矩陣A有一對純虛根λ1，2=±ωi(ω>0)，和一個負實根λ3，實根同時保證其他特征值沒有零實部.矩陣A對應的特征值的ωi特征向量記為q∈C3，p∈C3為矩陣AT(AT為A轉(zhuǎn)置)對應特征值-ωi的特征向量，它們分別滿足：

其中Gjk∈C.則第一Lyapunov系數(shù)可以定義為：

(3.3)

對于非線性系統(tǒng)在平衡點S1不是原點，我們對原系統(tǒng)做變量代換，使S1平移到S0(0，0，0).我們就可以得到一個新的系統(tǒng)：

X=AX+F(X)，X∈Rn，

其中

計算得：

由(3.3)式可知，第一Lyapunov系數(shù)

因此，可得到如下定理：

定理3.2 系統(tǒng) (2.1) 在平衡點S1處的第一Lyapunov系數(shù)為

結(jié)合定理3.1可知，當a

4 數(shù)值驗證

令參數(shù)b=0.1，c=0.9，則地磁逆轉(zhuǎn)模型(2.1)發(fā)生Hopf分岔的臨界值a=a0=0.1.當取a

圖1 當初始值為(0.1，0.1，0.9)時：(a) 系統(tǒng)(2.1)在平衡點(0，0，0.9)附近x(t)的時間響應圖；(b) 系統(tǒng)(2.1)在平衡點(0，0，0.9)附近y(t)的時間響應圖.

圖2 當初始值為(0.439，0.2，0.9)時：(a) 系統(tǒng)(2.1)在平衡點(0，0，0.9)附近x(t)的時間響應圖；(b) 不穩(wěn)定周期導致的混沌吸引子.

5 結(jié)論

本文經(jīng)過細致的數(shù)學推導對一個三維地磁逆轉(zhuǎn)模型進行了研究，理論分析了這個系統(tǒng)的平衡點的穩(wěn)定性與Hopf分岔，得出了系統(tǒng)Hopf分岔的參數(shù)條件。由第一Lyapunov系數(shù)得出該系統(tǒng)分岔方向以及其周期解的穩(wěn)定性，通過進行數(shù)值驗證分析了磁逆轉(zhuǎn)模型混沌產(chǎn)生的機理.