周雅俊

筆者在《橢圓中由兩垂直直線引出的“包絡(luò)”》一文中得到這樣一個結(jié)論：在平面直角坐標(biāo)系中，圓的方程是x2+y2=r2r>0，由點(diǎn)Mx0，y0引兩條相互垂直的動直線MP、MQ，這族直線PQ的包絡(luò)線是一個橢圓，以原點(diǎn)O0，0和點(diǎn)M（x0，y0）為焦點(diǎn)，長軸長是2r2－x20－y20.在此基礎(chǔ)上類比橢圓，提出過這樣一個猜想：在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的方程是x2a2+y2b2=1a>b>0，由點(diǎn)Mx0，y0x20a2+y20b2<1引兩條相互垂直的動直線MP、MQ，與橢圓相交于P，Q兩點(diǎn)，這族直線PQ的包絡(luò)線是一個橢圓，其以Mx0，y0和點(diǎn)c2a2+b2x0，－c2a2+b2y0為焦點(diǎn)，長軸長是2aba2+b2－x20－y20a2+b2.顯然圓中的結(jié)論是橢圓的猜想的特殊情況，所以只需要證明橢圓中的猜想即可.這個猜想之所以難以證明，是因?yàn)樗玫臋E圓方程不是標(biāo)準(zhǔn)方程，由某個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程變換得到也比較困難.再三探究，筆者翻看教材時，在橢圓的光學(xué)性質(zhì)處得到啟發(fā)，得以證明.整理成文與讀者分享，不當(dāng)之處期待方家的指正.