盧恩良

1 試題呈現(xiàn)

已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，直線y=x-2與拋物線C交于A，B兩點.

（1）求△FAB的面積；

（2）過拋物線C上一點P作圓M：（x-3）2+y2=4的兩條斜率都存在的切線分別與拋物線C交于異于點P的兩點D，E.證明：直線DE與圓M相切.

本題是典型的拋物線多動點問題，結(jié)合直線與圓的位置關系進行考查，對學生邏輯推理能力和數(shù)學運算能力有較高的要求.直線與圓錐曲線綜合問題，常規(guī)方法是聯(lián)立直線與曲線方程，根據(jù)根與系數(shù)關系，將幾何條件代數(shù)化進行求解，但往往求解復雜，運算繁瑣.

因拋物線方程的特點，對于拋物線多動點問題，我們常采用設點法，利用拋物線的兩點弦方程簡化計算.本文主要對試題第（2）問進行解答.

2 試題解答

思路分析：雖然P，D，E三點都在拋物線上運動，但點D和E的運動都是由點P引起的.因此，只要確定好了點P，點D和E相應也會確定，切線PD和PE也能確定下來. 如此看來，我們應該想辦法借助于點P來表示直線DE方程，然后計算圓心M（3，0）到直線DE的距離等于半徑即可證得此題.

拋物線上兩點弦方程：已知拋物線y2=2px（p>0）上不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2），則直線AB方程為2px-（y1+y2）y+y1y2=0.

一般地，我們稱此方程為拋物線上兩點弦方程，證明過程略.

改編試題2 已知拋物線C：y2=4x，圓M：（x-t）2+y2=1（t>0）.過拋物線上一動點P作兩條斜率都存在的切線分別與拋物線交于異于點P的兩點D，E.是否存在實數(shù)t，使得直線DE與圓M相切？如果存在，請求出t的值；如果不存在，請說明理由.