龍海文

(深圳市福田區(qū)教科院,廣東 深圳 518000)

在每個圍繞恒星運動的行星中,或者圍繞行星的衛(wèi)星體系中,都存在5個特殊的點,例如在日地系統(tǒng)中的5個特殊的點,衛(wèi)星處于這些點上在受太陽、地球兩大天體引力的作用下,能三者保持相對靜止,我們把這些點叫拉格朗日點.如圖1所示,這5個點上的衛(wèi)星擁有的特點和穩(wěn)定性也有不同,這5個點是怎么推算出來的?它們的穩(wěn)定性如何?下面具體分析.

圖1

1 在L1(L2、L3)點上的穩(wěn)定性

1.1 衛(wèi)星在L1點上位置關系

如圖2所示,以M1表示太陽的質量,M2表示地球的質量,m表示衛(wèi)星質量,r表示日地間距,ω表示地球公轉的角速度.若衛(wèi)星在離地球距離為x處的L1點繞太陽做圓周運動,且衛(wèi)星的周期和地球的公轉周期相等,據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律,對衛(wèi)星分析,有

圖2

(1)

對地球分析,有

(2)

由式(1)(2)得

1.2 衛(wèi)星在L1點上穩(wěn)定性

下面分析該軌道的穩(wěn)定性.設衛(wèi)星繞太陽運動的軌道半徑略減Δx(Δx→0),此時衛(wèi)星的合力為

在略移軌道運動所需的向心力為

比較兩者有

故衛(wèi)星將在萬有引力作用下繼續(xù)遠離原來軌道,該軌道不穩(wěn)定.

當衛(wèi)星處于圖1中L3位置時,由于M1?M2,地球對衛(wèi)星的引力遠小于太陽對衛(wèi)星的引力,衛(wèi)星基本在地球公轉軌道上繞太陽做圓周運動.如此衛(wèi)星繞太陽運動的軌道半徑略減Δx,此衛(wèi)星在萬有引力的作用下將不再回到原來軌道,故此衛(wèi)星是不穩(wěn)定的.

上面分析可知,L1、L2、L3都不穩(wěn)定,下面分析L4、L5點的穩(wěn)定性.

2 在L4(L5)點上的穩(wěn)定性

從孤立系統(tǒng)動量守恒蘊含的質心平衡態(tài)來考慮一般三星的情況.

孤立系統(tǒng)在絕對均勻的空間中可以利用變分法得到系統(tǒng)的一個運動積分,以常矢量的形式存在,我們定義其為系統(tǒng)的總動量

(3)

對于空間中任意相對原參考系以v速度運動的慣性參考系,系統(tǒng)的動量為

(4)

可以斷言,一定存在某個慣性系使得P′=0,其相對原參考系的速度為

(5)

可以看到

(6)

可以自然地定義R為系統(tǒng)質心徑矢,v為質心的速度,而孤立系統(tǒng)動量守恒蘊含了該關系的質心處于平衡狀態(tài).

2.1 確定三星圓周運動的圓心為系統(tǒng)質心

宇宙中孤立的三星系統(tǒng)中一類是以不共線的質量分別為m1、m2、m3三顆星的形式存在的,理想化的模型是平面上繞定點旋轉的3個質點.明晰系統(tǒng)質心必定處于平衡態(tài),且質心本身的運動狀態(tài)于問題而言無關緊要,故認定質心靜止,那么空間各向同性蘊含三星圓周運動時的圓心必須是系統(tǒng)的質心.

2.2 確定以三星為頂點的三角形為正三角形

為了證明這個問題,如圖3所示,以m1為原點,由m1指向m2、m3的單位矢量分別為s0、l0,且令三星之間的距離分別為r1、r2、r3,從而系統(tǒng)質心的矢徑為

圖3

(7)

其中M=m1+m2+m3.同時m2、m3對m1的合力為

(8)

合力必定指向質心,得出R和F共線,進而得出

r2=r3.

(9)

由對稱性可知r2=r1,r3=r1,從而得出r1=r2=r3,意味著質量不同的三星為頂點的三角形是正三角形,即使偏離軌道,萬有引力的合力會將衛(wèi)星拉回原來的軌道.故衛(wèi)星在L4、L5點上的軌道是穩(wěn)定的.

2.3 確定三星系統(tǒng)的運動情況

問題第3步是只對m1列動力學方程有

(10)

其中任意(s0、l0)夾角為60°,從式(7)和式(8)中可得出R、F的范數(shù)R、F為

(11)

(12)

而r1=r2=r3,令r1=r2=r3=L,L是表征三星問題的唯一幾何度量,并由三星系統(tǒng)所含能量唯一確定,從而有

(13)

(14)

將式(13)(14)代回式(10)得到

(15)

啟示:這個完美的答案可以視為是雙星問題的自然推廣,但多星問題有驚人的任意性.這個簡潔的結果不適合四星體系,因為四星系統(tǒng)(非線性形式)的頂點多面形而無法如三星系統(tǒng)一般能確定為正多邊形,平面的維數(shù)為2,即僅僅兩個線性無關矢量得以形成,而四星系統(tǒng)中有3個矢量,以“合力指向質心”所得到的線性方程組會有無窮組解.小說《三體》中的“蝴蝶效應”其實和此問題有關.