陳小亮 李 明

(江西省吉安市第一中學(xué),江西 吉安 343000)

1 火箭噴射氣體相對(duì)速度不變的深層次原因

為了研究方便,我們通常認(rèn)為火箭發(fā)射過(guò)程滿足動(dòng)量守恒(不考慮空氣阻力和重力對(duì)火箭的影響).同時(shí)也認(rèn)為火箭每次噴出氣體速度不變,前者能理解但后者引起了爭(zhēng)議.這里氣體的速度是指對(duì)地面的絕對(duì)速度還是對(duì)火箭的相對(duì)速度?是相對(duì)于發(fā)射前還是相對(duì)于發(fā)射后火箭的速度?為什么可以認(rèn)為相對(duì)速度不變?

情境:假設(shè)火箭以速度v0向前飛行,某時(shí)刻火箭往后噴出質(zhì)量Δm的氣體速度為v2,火箭主體質(zhì)量(除去燃?xì)?為m,其速度變?yōu)関1,則此次噴氣消耗的能量ΔE大約多少?

解析:設(shè)發(fā)射后火箭和氣體相對(duì)質(zhì)心的速度分別為v1′和v2′,質(zhì)心的速度噴氣前后不變恒為v0,噴射的氣體相對(duì)發(fā)射后火箭的相對(duì)速度為

u=v2-v1=(v2′+v0)-(v1′+v0)=v2′-v1′,

即u=v2′-v1′.

又因質(zhì)心系動(dòng)量守恒有mv1′+Δmv2′=0,結(jié)合以上兩式得

在質(zhì)心系中總動(dòng)能為

地面系火箭噴氣后總動(dòng)能由柯尼希定理得

地面系火箭噴氣前總動(dòng)能為

噴氣過(guò)程釋放的能量為

由上式可知,在燃料的化學(xué)性質(zhì)和噴口形狀等確定的條件下,一次燃燒的質(zhì)量Δm和放出的能量ΔE都近似不變,因此我們通常處理成火箭發(fā)射過(guò)程中氣體相對(duì)發(fā)射后箭體的相對(duì)速度u是不變的,這樣更貼近真實(shí)發(fā)射過(guò)程.

說(shuō)明:若選地面參考系列火箭的動(dòng)量守恒方程和能量守恒方程,理論上可以求解,但由于解答太過(guò)于繁瑣本文略過(guò),有興趣的讀者可以自行證明.

2 火箭兩種噴射氣體方式獲得的速度

情境:假設(shè)火箭主體(除去燃?xì)?的質(zhì)量為m,內(nèi)部看成n團(tuán)質(zhì)量相等的氣體,每團(tuán)氣體的質(zhì)量為Δm,現(xiàn)火箭靜止點(diǎn)火發(fā)射,噴出氣體相對(duì)噴氣后火箭的速度為u.

(1) 若火箭把n團(tuán)氣體一次性噴出,則火箭主體將獲得多大的速度?

(2) 若分n次連續(xù)噴射,則火箭主體最后將獲得多大的速度?

解析:(1) 設(shè)一次噴射完氣體火箭獲得的速度為vn′,根據(jù)動(dòng)量守恒有

0=mvn′-n·Δm(u-vn′),

(2) 第1次發(fā)射后獲得速度v1.根據(jù)動(dòng)量守恒有

第2次發(fā)射后獲得速度v2.根據(jù)動(dòng)量守恒有

[m+(n-1)Δm]v1=[m+(n-2)Δm]v2-Δm(u-v2).

得

以此類推,第k-1次發(fā)射后的速度為vk-1,則第k次發(fā)射動(dòng)量守恒有

[m+(n-k+1)Δm]vk-1=[m+(n-k)Δm]vk-Δm(u-vk).

得

數(shù)學(xué)歸納可得連續(xù)噴氣的末速度為(n項(xiàng)組合)

而一次全部噴氣的末速度為(拆成n項(xiàng)組合)

以上兩式比較可得除了第1項(xiàng)相等后面項(xiàng)第一式更大vn>vn′,即連續(xù)噴氣獲得的末速度大于一次性噴相同質(zhì)量的氣體.

實(shí)際火箭發(fā)射采用連續(xù)噴氣的方式發(fā)射,當(dāng)然上述的物理模型還比較簡(jiǎn)陋,實(shí)際上火箭的發(fā)射過(guò)程是連續(xù)變質(zhì)量問(wèn)題,我們要用到高等數(shù)學(xué)的方法來(lái)確定火箭的收尾速度.

說(shuō)明:高考范圍內(nèi)經(jīng)常出現(xiàn)一些連續(xù)發(fā)射題目,可以等效為一起發(fā)射,兩種發(fā)射結(jié)果速度相等,其原因是這類題設(shè)定發(fā)射物體的對(duì)地速度不變,而這里火箭發(fā)射是相對(duì)速度不變,這是二者本質(zhì)的區(qū)別.

3 連續(xù)發(fā)射的理論分析和多級(jí)火箭的意義

情境:設(shè)任意時(shí)刻t,火箭(包括dt時(shí)間燃燒的燃料)質(zhì)量為m,速度為v,在t+dt時(shí)刻,火箭質(zhì)量變?yōu)閙′=m+dm(噴出氣體dm<0),噴出燃?xì)獾馁|(zhì)量為dm,發(fā)射后火箭的相對(duì)速度為u,則火箭的收尾速度是多少?

由系統(tǒng)動(dòng)量守恒得

mv=(m+dm)(v+dv)+(-dm)(v+dv-u).

這表明火箭的收尾速度與噴射相對(duì)速度和質(zhì)量比的自然對(duì)數(shù)成正比.相對(duì)速度u與燃料化學(xué)性質(zhì)和噴出形狀等有關(guān),因此增加收尾速度最好增加質(zhì)量比.而采用多級(jí)火箭及時(shí)把燃燒完燃料的空殼扔掉,減少火箭空殼的質(zhì)量,這樣更有助于增加質(zhì)量比,提高收尾速度.

因此現(xiàn)代火箭一般采用多級(jí)發(fā)射,當(dāng)然級(jí)數(shù)越多,構(gòu)造越復(fù)雜,工作的可靠性越差,現(xiàn)代火箭一般采用三級(jí)火箭作為動(dòng)力.