李寧寧 劉立毅

(山東省德州市第一中學(xué))

兩根平行導(dǎo)軌置于水平面或斜面上,處于垂直導(dǎo)軌平面的勻強磁場中,兩個金屬桿垂直放在導(dǎo)軌上切割磁感線,我們稱此類問題為雙桿問題。下面將此類問題的三種模型進(jìn)行歸納總結(jié),供參考。

一、導(dǎo)軌等間距,一桿有初速度

圖1

圖2

圖3

【例1】(2022·遼寧卷·15)如圖4所示,兩平行光滑長直金屬導(dǎo)軌水平放置,間距為L,abcd區(qū)域有勻強磁場,磁感應(yīng)強度大小為B,方向豎直向上。初始時刻,磁場外的細(xì)金屬桿M以初速度v0向右運動,磁場內(nèi)的細(xì)金屬桿N處于靜止?fàn)顟B(tài)。兩金屬桿與導(dǎo)軌接觸良好且運動過程中始終與導(dǎo)軌垂直。兩桿的質(zhì)量均為m,在導(dǎo)軌間的電阻均為R,感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁場及導(dǎo)軌的電阻忽略不計。

圖4

(1)求M剛進(jìn)入磁場時受到的安培力F的大小和方向;

(3)初始時刻,若N到cd的距離與第(2)問初始時刻的相同、到ab的距離為kx(k>1),求M出磁場后不與N相撞條件下k的取值范圍。

圖5

二、導(dǎo)軌等間距 一桿受外力

圖6

圖7

圖8

【例2】如圖9所示,水平放置的平行粗糙金屬導(dǎo)軌間距為L,導(dǎo)軌處在豎直向上、磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場中,兩個相同的金屬棒ab、cd垂直導(dǎo)軌平行放置,與導(dǎo)軌始終接觸良好,每個金屬棒質(zhì)量均為m,接入電路的電阻均為R,兩個金屬棒與導(dǎo)軌間的動摩擦因數(shù)均為μ,重力加速度為g,開始時cd棒鎖定在導(dǎo)軌上,對ab棒施加水平向右的恒定拉力F1=3μmg,棒ab前進(jìn)的距離為d時速度達(dá)到最大值,此時將恒力大小變?yōu)镕2=2μmg,方向不變,同時解除對棒cd的鎖定,再經(jīng)過一段時間金屬棒cd做勻速運動。導(dǎo)軌足夠長且電阻不計。求：

圖9

(1)棒ab的最大速度v的大小;

(2)棒ab從開始運動到最大速度的過程中產(chǎn)生的焦耳熱Qab和安培力做的功W安;

(3)棒ab和cd勻速運動的速度v1和v2的大小;

(4)棒cd勻速運動后經(jīng)時間t,回路中產(chǎn)生的焦耳熱Q焦2和總熱量Q總。

圖10

【評析】第(2)問,解題關(guān)鍵是掌握焦耳熱公式Q焦=-W安及適用條件：①純電阻電路;②動生電動勢;③單棒為閉合回路的唯一電源,無反電動勢;④單棒所受安培力做負(fù)功;⑤磁場靜止(或以相對磁場靜止的物體為參考系計算安培力的功)。本問符合這5個條件,公式可用,即閉合回路的總焦耳熱等于安培力對棒ab做功的負(fù)值。第(4)問,兩棒均為電源,不符合前述5個條件,安培力對任一單棒ab(或cd)做的功W安單≠-Q焦。當(dāng)兩棒都切割磁感線時,電路中的總焦耳熱等于一對相互作用的安培力對兩棒所做總功的負(fù)值,即Q焦=-W安總。因此本題中Q焦=-(W安ab+W安cd)。電流通過導(dǎo)體時產(chǎn)生的熱量(電熱)叫焦耳熱,常用Q焦=-W安、Q焦=I2Rt計算,物體間因滑動摩擦力做功產(chǎn)生的能量叫熱能,即內(nèi)能,俗稱摩擦生熱,常用Q摩=Ff·Δx計算。兩者無必然關(guān)系,需注意區(qū)分。

三、導(dǎo)軌不等間距 一桿有初速度

圖11

圖12

圖13

(1)導(dǎo)體棒乙到達(dá)bg時的速度v1大小;

(2)導(dǎo)體棒乙在水平導(dǎo)軌上運動的過程中,閉合回路面積的改變量ΔS;

(3)導(dǎo)體棒乙在水平導(dǎo)軌上運動的過程中,導(dǎo)體棒乙上產(chǎn)生的焦耳熱Q乙。

圖14