王珺瑤，陳紅永，石先杰，左朋,3

（1.中國工程物理研究院總體工程研究所，四川 綿陽 621999；2.工程材料與結(jié)構(gòu)沖擊振動四川省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 綿陽 621999；3.中國科學(xué)技術(shù)大學(xué) 近代力學(xué)系，合肥 230026）

輕質(zhì)高強(qiáng)度的鋁合金常被應(yīng)用于受力構(gòu)件以保證結(jié)構(gòu)的剛度和強(qiáng)度[1-3]，但是鋁合金無法承受過高的溫度，而酚醛樹脂基纖維增強(qiáng)材料具有耐燒蝕性能適中、物理力學(xué)性能良好、工藝性好、成本低等優(yōu)點(diǎn)[4]，常用于抗燒蝕、熱防護(hù)結(jié)構(gòu)[5-6]。因此，鋁合金-環(huán)氧膠-碳酚醛多層結(jié)構(gòu)是一種性能優(yōu)良的飛行器蒙皮材料結(jié)構(gòu)。飛行器的穩(wěn)定性和可靠性取決于多層復(fù)合蒙皮結(jié)構(gòu)的動力學(xué)性能[7]，而復(fù)合結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能由其材料參數(shù)決定，因而獲得實(shí)時準(zhǔn)確的復(fù)合材料參數(shù)對飛行器動力學(xué)建模及力學(xué)性能預(yù)示至關(guān)重要。

金屬基體-碳酚醛結(jié)構(gòu)是典型的各向同性-正交各向異性材料的多層復(fù)合結(jié)構(gòu)，中間膠層保證了界面之間的變形協(xié)調(diào)及結(jié)合強(qiáng)度。對于此類多材料的復(fù)雜結(jié)構(gòu)，其中的碳酚醛復(fù)合材料受到工藝過程的影響，難以通過傳統(tǒng)的單一材料實(shí)驗(yàn)獲得準(zhǔn)確的建模參數(shù)，而實(shí)驗(yàn)與數(shù)值方法相結(jié)合的參數(shù)識別技術(shù)，能夠針對多材料的復(fù)雜結(jié)構(gòu)獲取準(zhǔn)確的材料參數(shù)[8]。針對單一復(fù)合材料組成的結(jié)構(gòu)參數(shù)識別方法研究較多，如基于邊界位移的有限元更新法的復(fù)合材料層合板材料參數(shù)識別[9]，基于人工蜂群算法的復(fù)合材料層間內(nèi)聚力模型參數(shù)識別[10]，基于橋聯(lián)模型的復(fù)合材料單向板和軸向性能反演識別纖維橫向性能及集體性能[11]，以及采用遺傳算法和序列二次規(guī)劃法的車用復(fù)合材料的材料參數(shù)識別[12]等研究?？紤]各向同性-正交各向異性多種材料構(gòu)成的復(fù)合結(jié)構(gòu)，對其中復(fù)合材料參數(shù)進(jìn)行參數(shù)識別還未見深入研究報(bào)道，而且單層復(fù)合材料參數(shù)識別多基于大量的解析模型計(jì)算或有限元分析[13]，結(jié)合模態(tài)實(shí)驗(yàn)[14]等方式獲得結(jié)構(gòu)的動力學(xué)特性，以此作為參數(shù)識別的優(yōu)化目標(biāo)[15-16]，可以進(jìn)行復(fù)合材料單層板的參數(shù)識別。隨著結(jié)構(gòu)復(fù)雜度的上升，動力學(xué)模型計(jì)算量會大幅增加，而基于代理模型[17]的模型降階技術(shù)建立材料參數(shù)與動力學(xué)特性的直接關(guān)聯(lián)模型，在保證精度的前提下提高材料參數(shù)識別效率。針對金屬基體-環(huán)氧膠-碳酚醛組成的多層復(fù)合結(jié)構(gòu)，基于代理模型的參數(shù)識別技術(shù)可高效獲取建模參數(shù)。

本文通過建立各向同性-正交各向異性材料圓錐殼的動力學(xué)模型，開展了鋁合金-碳酚醛復(fù)合材料圓錐殼模型的模態(tài)實(shí)驗(yàn)?；趯?shí)驗(yàn)結(jié)果，聯(lián)合實(shí)驗(yàn)數(shù)值仿真分析和代理模型技術(shù)，通過在設(shè)計(jì)空間內(nèi)選擇足夠多的樣本迭代獲得設(shè)計(jì)的相應(yīng)特性，并建立響應(yīng)面優(yōu)化模型。最后，應(yīng)用多項(xiàng)式算法對響應(yīng)面模型進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化，獲得鋁合金-碳纖維復(fù)合材料中碳纖維復(fù)合材料單層板的9 個材料參數(shù)，并研究了圓錐殼前5 組固有頻率對材料參數(shù)的敏感性。

1 多層復(fù)合圓錐殼結(jié)構(gòu)動力學(xué)模型

典型金屬基體-碳酚醛多層復(fù)合圓錐殼結(jié)構(gòu)如圖1 所示。在結(jié)構(gòu)中面z=0 處建立正交坐標(biāo)系(x,θ,z)，x為圓錐殼的母線方向，θ和z分別為圓周和厚度方向，圓錐殼體的母線長度、厚度以及半頂角分別用符號L、h、α來描述，R0和R1分別為圓錐殼的小圓半徑和大圓半徑。參考給定的坐標(biāo)系，根據(jù)一階剪切變形理論，圓錐殼上任一點(diǎn)沿x、θ、z方向的變形量U、V、W的矢量形式為，可以由結(jié)構(gòu)中面處的位移分量u=(u,v,w,ψx,ψθ)表示[18-20]：

式中：u、v、w分別為對應(yīng)點(diǎn)在x、θ、z方向上的線性位移分量；ψx、ψθ分別為繞x、θ方向的旋轉(zhuǎn)位移；t為時間分量。結(jié)構(gòu)中面處的膜應(yīng)變、曲率變化率和橫向切應(yīng)變可以由位移分量描述[18-20]：

式中：B=xsinα、Rθ=xtanα分別為θ方向的拉梅常數(shù)及曲率半徑。

在材料本構(gòu)方面，將鋁合金和環(huán)氧膠看作特殊的正交各向異性材料單層板處理。根據(jù)廣義胡克定律，鋁合金-環(huán)氧膠-碳酚醛復(fù)合材料層合板任意第k層的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系[19]如式（5）所示。材料鋪設(shè)順序?yàn)殇X合金（k=1）、環(huán)氧膠（k=2）、碳酚醛單層板（k≥3）。

根據(jù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系T[19]，層合板剛度系數(shù)和材料常數(shù)Qij間的關(guān)系為：。任意一層材料常數(shù)的具體表達(dá)式為：

式中：E11、E22和E33分別為正交各向異性材料的3 個彈性模量；G12、G23和G13為剪切模量；ijν為泊松比。k=1 和k=2 時，該層材料為各向同性，有和等 2 個獨(dú)立的材料參數(shù)，；k≥3 時，該層材料為正交各向異性，有E11、E22、E33、G12、G23、G13、12ν、ν23和ν13等9個獨(dú)立的材料參數(shù)。

根據(jù)建立的本構(gòu)方程表達(dá)式，可得到圓錐殼的動能T和勢能U，將圓錐殼的動能和勢能代入Lagrange方程，可得：

通過數(shù)值求解方程矩陣的特征值，即可獲得復(fù)合圓錐殼結(jié)構(gòu)的固有頻率。

從式（4）—（7）中可以看出，3 層結(jié)構(gòu)的材料參數(shù)均會影響圓錐殼的動力學(xué)特性。對于金屬及高聚物等各向均質(zhì)材料，材料性質(zhì)較為確定，且不易發(fā)生變化，仿真建模參數(shù)易通過材料實(shí)驗(yàn)獲??；而碳酚醛復(fù)合材料參數(shù)較多，與加工工藝、材料特性及結(jié)構(gòu)構(gòu)型有關(guān)，為獲得較為準(zhǔn)確的復(fù)合材料參數(shù)，基于模態(tài)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行反向識別是一種可行的辦法。

2 復(fù)合材料圓錐殼模態(tài)實(shí)驗(yàn)

模態(tài)實(shí)驗(yàn)是獲取結(jié)構(gòu)動力學(xué)特性的有效手段。本文研究對象是由3 種材料制成的多層圓錐殼結(jié)構(gòu)，其中內(nèi)層是作為結(jié)構(gòu)層的鋁合金，外層鋪設(shè)用于隔熱的碳酚醛復(fù)合材料層合板，2 層結(jié)構(gòu)用環(huán)氧膠粘接在一起。圓錐殼母線長度為 553 mm，頂面內(nèi)直徑為285 mm，底面內(nèi)直徑為120 mm，3 層材料從內(nèi)到外厚度分別為3、1、11 mm，如圖2 所示。

圖2 金屬基體復(fù)合材料圓錐殼試件結(jié)構(gòu)模型Fig.2 Model for specimen structure of metal substrate composite material conical shell

開展復(fù)合圓錐殼結(jié)構(gòu)的自由模態(tài)實(shí)驗(yàn)時，采用低剛度的橡皮繩將圓錐殼大端懸吊，以模擬自由邊界條件。圓錐殼模態(tài)實(shí)驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)測點(diǎn)布局如圖3 所示，沿圓錐殼周向和母線方向分別均布8×5 共計(jì)40 個測點(diǎn)。實(shí)驗(yàn)采用SIMO 識別方法，測試系統(tǒng)如圖4 所示。由于復(fù)合圓錐殼低階模態(tài)對結(jié)構(gòu)響應(yīng)影響較大，且初步分析顯示，前10 階非零頻率模態(tài)均為對稱/反對稱模態(tài)，每對模態(tài)縮并為1 組，取前5 組。通過實(shí)驗(yàn)提取前5 組模態(tài)結(jié)果（見表1），作為參數(shù)識別的優(yōu)化目標(biāo)。

表1 復(fù)合材料圓錐殼模態(tài)實(shí)驗(yàn)前5 組模態(tài)及阻尼比Tab.1 Modes and damping ratios of the first five groups of composite conical shell in the modal experiment

圖3 圓錐殼自由模態(tài)實(shí)驗(yàn)及測點(diǎn)布局Fig.3 Free modal experiment of the conical shell and layout of the measurement points: a) free modal experiment of the conical shell; b) layout of the measurement points of the modal experiment

圖4 模態(tài)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)Fig.4 Modal experiment system

3 復(fù)合材料參數(shù)識別

3.1 圓錐殼動力學(xué)代理模型

采用有限元法開展復(fù)合圓錐殼結(jié)構(gòu)的模態(tài)分析均需開展大量計(jì)算，代理模型可以降低計(jì)算量，并提高效率。為對參數(shù)進(jìn)行快速優(yōu)化，需建立復(fù)合圓錐殼動力學(xué)特性的代理模型，利用近似化的方法對離散的響應(yīng)數(shù)據(jù)集合進(jìn)行插值或擬合化，構(gòu)建響應(yīng)面替代實(shí)際復(fù)雜的仿真計(jì)算[21]。

建立試件前5 組固有頻率與結(jié)構(gòu)材料參數(shù)之間的代理模型時，首先建立試件的動力學(xué)仿真模型；其次對材料參數(shù)在不確定性范圍內(nèi)抽樣取點(diǎn)，仿真獲得不同材料參數(shù)下復(fù)合圓錐殼的固有頻率。仿真模型中，采用層合板理論對圓柱殼復(fù)合材料層進(jìn)行建模，根據(jù)設(shè)計(jì)定義碳酚醛復(fù)合材料的鋪層為[90/0]S。將鋁合金及環(huán)氧樹脂看作各向同性的特殊材料參數(shù)的單層板，其材料參數(shù)由材料手冊獲得，密度ρ分別為2 800、1 160 kg/m3，彈性模量E分別為68、3 GPa，泊松比ν分別為0.33、0.3。

建立復(fù)合圓錐殼前幾階模態(tài)頻率與復(fù)合材料參數(shù)之間的代理模型時，首先建立圓錐殼動力學(xué)有限元模型，其幾何尺寸與試件保持一致，采用殼單元對復(fù)合結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模。經(jīng)計(jì)算，全局網(wǎng)格尺寸為0.02 m時可保證收斂性，邊界條件為自由狀態(tài)。其中鋁合金、碳酚醛以及粘接層環(huán)氧樹脂各層之間采用共節(jié)點(diǎn)形式建模，以降低多層界面接觸狀態(tài)差異導(dǎo)致的對結(jié)構(gòu)固有頻率的影響。碳酚醛單層板的9 個材料參數(shù)均根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)，考慮參數(shù)的不確定性區(qū)間（見表2），進(jìn)行初始賦值，并將其作為待識別參數(shù)，根據(jù)基于響應(yīng)面優(yōu)化的參數(shù)識別算法進(jìn)行修正。

表2 碳酚醛復(fù)合材料參數(shù)優(yōu)化結(jié)果Tab.2 Material parameter optimization results of the carbon phenolic composite

代理模型的精度依賴于合理、有效的參數(shù)采樣策略。拉丁超立方法[22]采用特殊的分層抽樣方法，能夠保證采樣點(diǎn)在整個樣本空間隨機(jī)分布、不聚集，且擬合非線性響應(yīng)能力強(qiáng)，因此本文選擇拉丁超立方法為采樣方法。完成采樣后，采用合適的代理模型對樣本點(diǎn)進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，構(gòu)建響應(yīng)面。多項(xiàng)式響應(yīng)面是利用擬合原理構(gòu)造代理模型的方法，通過最小二乘法獲得近似多項(xiàng)式的參數(shù)建立多項(xiàng)式模型，具有結(jié)構(gòu)簡單、計(jì)算量小、能夠有效過濾計(jì)算中的數(shù)值噪聲等優(yōu)點(diǎn)，如式（8）所示。

式中：λj代表樣本點(diǎn)；表示λj對應(yīng)的實(shí)驗(yàn)第k個固有頻率值；ξ0、ξ i、ξ ic是多項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)，通過最小二乘法進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合求解。

基于代理模型進(jìn)行參數(shù)識別時，考慮工程上在對各階模態(tài)對結(jié)構(gòu)響應(yīng)影響不明時，假設(shè)各階模態(tài)對響應(yīng)的影響貢獻(xiàn)一致，因此取前5 組模態(tài)頻率平均絕對誤差最小進(jìn)行優(yōu)化，定義優(yōu)化函數(shù)，如式（9）所示。

式中：m為樣本點(diǎn)的個數(shù)；為第j個樣本點(diǎn)所對應(yīng)的第l組代理模型的計(jì)算頻率值。通過仿真建立前5 組模態(tài)頻率值與9 個材料參數(shù)的響應(yīng)面多項(xiàng)式代理模型，以第1、2 組模態(tài)頻率的響應(yīng)面為例，如圖5 所示。其中圖5 d 給出了復(fù)合材料泊松比及剪切模量影響第2 組頻率的響應(yīng)面。

圖5 第1、2 組模態(tài)頻率的響應(yīng)面Fig.5 Response surface of the 1st and 2nd groups of modal frequencies

從圖5 可以看出，在所取值的區(qū)間內(nèi)，第1 組模態(tài)頻率相對材料參數(shù)的響應(yīng)面線性度較好?？梢?，隨著材料參數(shù)變化，頻率可能為線性變化。彈性模量對結(jié)構(gòu)固有頻率的影響是可以預(yù)見的，如式（6）所示，復(fù)合材料的泊松比和剪切模量會在不同程度上影響結(jié)構(gòu)復(fù)合材料各層的剛度系數(shù)，進(jìn)而對整體結(jié)構(gòu)的剛度矩陣產(chǎn)生影響，最終影響復(fù)合圓錐殼結(jié)構(gòu)的固有頻率。隨著泊松比變大，第2 組模態(tài)頻率升高；隨著剪切模量變大，固有頻率也呈上升趨勢。第 2組模態(tài)頻率隨剪切模量的變化斜率大于隨泊松比的變化斜率。

為保證構(gòu)建完全多項(xiàng)式代理模型的可靠性，參數(shù)優(yōu)化后，采用均方根誤差ηRMSE、決定系數(shù)R2等指標(biāo)評估優(yōu)化結(jié)果[23]，如式（10）和式（11）所示。均方根誤差ηRMSE越接近0、決定系數(shù)R2越接近最大值1，表明代理模型擬合度越好。

式中：yi和分別為第i個樣本的實(shí)驗(yàn)值和參數(shù)優(yōu)化后的預(yù)測值。

3.2 材料參數(shù)優(yōu)化識別

考慮到復(fù)合材料加工工藝等帶來的不確定性，在優(yōu)化初值的基礎(chǔ)上，對所有復(fù)合材料參數(shù)考慮±10%的偏差區(qū)間，以此作為材料參數(shù)不確定性范圍。經(jīng)過多輪迭代優(yōu)化后，可以確定碳酚醛單層板的等效材料參數(shù)，結(jié)果見表2。優(yōu)化過程中引入最大允許Pareto百分比和收斂穩(wěn)定性百分比評估收斂性。最大允許Pareto 百分比定義為：每次優(yōu)化迭代過程中想獲得的滿足Pareto 最優(yōu)解的點(diǎn)個數(shù)與每次迭代樣本點(diǎn)數(shù)量之比。收斂穩(wěn)定性百分比是基于均值和均方差表示全局穩(wěn)定性的參數(shù)，定義如下：

式中：S為收斂穩(wěn)定性百分比；Wmax、Wmin為初始迭代目標(biāo)值的最大值和最小值；Ai和Ai-1分別代表第i次和第i-1 次迭代目標(biāo)值的均值，也可用均方差來計(jì)算。優(yōu)化過程中，設(shè)置最大允許Pareto 百分比為70%，收斂穩(wěn)定性百分比為2%。

參數(shù)的收斂性如圖6 所示，模型在經(jīng)過8 次迭代后即可收斂。模型預(yù)測結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值的對比如圖7 所示，均方根誤差ηRMSE均接近0，決定系數(shù)R2達(dá)到1，表明本文建立的優(yōu)化代理模型具有較高的準(zhǔn)確度和可靠性。從優(yōu)化結(jié)果可以看出，優(yōu)化后除第2、3 組模態(tài)頻率誤差分別為2.62%和9.94%之外，其他組次均優(yōu)于1%。

圖6 優(yōu)化結(jié)果的收斂性Fig.6 Convergence of optimization results

圖7 材料參數(shù)優(yōu)化后試件模態(tài)仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對比Fig.7 Comparison between modal simulation results and experimental results of the specimen after optimization of material parameters

4 參數(shù)敏感性分析

為分析碳酚醛的各材料參數(shù)對圓錐殼動力學(xué)特性的影響程度，采用敏感性指標(biāo)進(jìn)行表征[24-25]。本文優(yōu)化變量為碳酚醛單層板的9 個材料參數(shù)，通過代理模型分析圓錐殼前5 組模態(tài)頻率對復(fù)合材料參數(shù)的敏感性，以前3 組模態(tài)頻率為例，如圖8 所示。

圖8 前3 組模態(tài)材料參數(shù)對復(fù)合圓錐殼固有頻率敏感性Fig.8 Sensitivity of the first three groups of modal material parameters to the natural frequency of composite conical shells:a) 1st group; b) 2nd group; c) 3rd group

從圖8 中可以看出，針對本文中圓錐殼結(jié)構(gòu)的前3 組模態(tài)頻率，碳酚醛復(fù)合材料參數(shù)中，纖維方向的拉伸模量E11對固有頻率的影響最大，三向拉伸模量中，厚度方向拉伸模量E33的影響最小。3 類參數(shù)中，拉伸模量的影響最大，泊松比的影響最小，剪切模量的影響介于拉伸模量及泊松比之間。圖8 中也顯示出，針對不同組模態(tài)頻率，各參數(shù)的影響程度各不同。敏感性結(jié)果可為識別影響復(fù)合圓錐殼結(jié)構(gòu)動力學(xué)特性的關(guān)鍵參數(shù)提供直觀的參考。

5 結(jié)論

本文基于代理模型方法，建立了針對鋁合金-環(huán)氧膠-碳酚醛多層復(fù)合圓錐殼的材料參數(shù)優(yōu)化識別方法，并分析了圓錐殼結(jié)構(gòu)動力學(xué)特性對材料參數(shù)的敏感性。主要研究結(jié)論如下：

1）基于拉丁超立方抽樣及多項(xiàng)式代理模型，可在仿真模型基礎(chǔ)上建立精度較好的圓錐殼結(jié)構(gòu)前5組模態(tài)頻率對復(fù)合材料參數(shù)的代理模型。

2）通過考慮材料參數(shù)不確定性區(qū)間，經(jīng)過參數(shù)優(yōu)化識別之后，復(fù)合圓錐殼結(jié)構(gòu)的碳酚醛單層板的結(jié)構(gòu)固有頻率與實(shí)驗(yàn)值吻合較好，優(yōu)化后的材料參數(shù)可用于進(jìn)一步結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析。

3）通過參數(shù)敏感性分析可知，鋁合金-環(huán)氧膠-碳酚醛圓錐殼結(jié)構(gòu)中，碳酚醛單層板E11對固有頻率的影響最為顯著。

4）與復(fù)合材料彈性模量參數(shù)影響類似，泊松比和剪切模量等參數(shù)也會同時影響復(fù)合材料層合板的剛度系數(shù)，從而影響復(fù)合圓錐殼結(jié)構(gòu)的固有頻率。與彈性模量相比，泊松比ν23對前5 組模態(tài)頻率的影響最小，剪切模量的影響介于拉伸模量及泊松比之間。