上海市民立中學(xué)(200040) 孫利明

臨近高三一?？己蜕虾４嚎?高三學(xué)生已經(jīng)復(fù)習(xí)過(guò)了函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、二項(xiàng)式定理和解析幾何等相關(guān)知識(shí),但碰到一個(gè)新的數(shù)學(xué)問(wèn)題,班級(jí)學(xué)生往往不會(huì)綜合應(yīng)用這些知識(shí)來(lái)求解,很多時(shí)候聽(tīng)到學(xué)生會(huì)這樣說(shuō):“老師,這個(gè)問(wèn)題我沒(méi)有思路”、“老師,我的方法解決不了這個(gè)題目”等. 目前學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中遇到的困難主要是: 不能將題目中的條件和結(jié)論進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.

本文將對(duì)高中數(shù)學(xué)的一個(gè)典型題目探究其解決的方法并作一般情況下的推廣,使學(xué)生經(jīng)歷多角度、多維度思考研究數(shù)學(xué)問(wèn)題并且解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程,體會(huì)題目條件和結(jié)論的等價(jià)轉(zhuǎn)化,掌握求代數(shù)式取值范圍的常用方法和策略.

1 題目呈現(xiàn)

已知x≥0,y≥0 且x+y=1,求x2+y2的取值范圍.

2 探究解法

法一(函數(shù)思想)

法二(運(yùn)用基本不等式)

法三(三角換元思想)

法四(對(duì)稱換元思想)法五(數(shù)形結(jié)合思想)

設(shè)d=d表示線段AB(x≥0,y≥0 且x+y= 1) 上動(dòng)點(diǎn)C(x,y) 到(0,0)的距離. 由圖可得,當(dāng)C與A(1,0)或B(0,1)重合時(shí),dmax= 1, 即(x2+y2)max= 1; 當(dāng)OC⊥AB時(shí),dmin=即(x2+y2)min=

法六(數(shù)形結(jié)合思想)

設(shè)x2+y2=r2(r ＞0), 此方程表示以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心、半徑為r的動(dòng)圓,記為⊙O. 由圖可得,當(dāng)⊙O經(jīng)過(guò)線段AB的端點(diǎn)時(shí),rmax= 1,即(x2+y2)max= 1;當(dāng)⊙O與線段AB的相切時(shí),rmin=

法七(向量法)

3 問(wèn)題推廣

4 教學(xué)反思

本節(jié)課從7 種方法求解了一個(gè)求代數(shù)式取值范圍的題目,并對(duì)本題進(jìn)行了一般情況下的推廣. 本題作為高中數(shù)學(xué)的典型題目,需要學(xué)生經(jīng)歷一題多解的探究學(xué)習(xí)過(guò)程,值得教師進(jìn)行一題多解的教學(xué). 這樣的教學(xué)使得高三的數(shù)學(xué)課堂更加高效,學(xué)生的學(xué)習(xí)更加有效. 下面再談幾點(diǎn)加強(qiáng)高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)有效性和高效性的方法:

(1)美國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說(shuō):“一個(gè)專心的認(rèn)真?zhèn)湔n的教師能夠拿出一個(gè)有意義但又不復(fù)雜的題目,去幫助學(xué)生挖掘問(wèn)題的各個(gè)方面,使得通過(guò)這道題,就好像通過(guò)一道門戶,把學(xué)生引入一個(gè)完整的理論領(lǐng)域. ”因此,恰當(dāng)?shù)倪M(jìn)行一題多解能夠有效地完善學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系,感受不同解題方法,提升學(xué)生思維的發(fā)散性;建立知識(shí)發(fā)展脈絡(luò),提升學(xué)生思維的系統(tǒng)性.

(2)布魯納曾經(jīng)說(shuō)過(guò):“探索,是數(shù)學(xué)教學(xué)的生命線. ”蘇霍姆林斯基也說(shuō)過(guò):“人的心靈深處都有一種根深蒂固的需要,就是希望感到自己是一個(gè)發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者. ”教學(xué)中,只有讓學(xué)生經(jīng)歷自主探索的過(guò)程,才能最大限度地激發(fā)和調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性和求知欲; 只有讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)知識(shí),才能有效地促進(jìn)學(xué)生真正掌握知識(shí).

(3)課堂是教師的主陣地,課堂上教師不僅要教會(huì)學(xué)生知識(shí),更要教會(huì)學(xué)生思考問(wèn)題和解決問(wèn)題的方法. 例如三角比章節(jié)由很多的公式,高三復(fù)習(xí)中如果教師僅僅是告訴學(xué)生有這些三角公式,要求學(xué)生去死記硬背,勢(shì)必會(huì)造成學(xué)生不能很好的應(yīng)用三角公式. 教師應(yīng)該在教學(xué)中讓學(xué)生體會(huì)這些三角公式的來(lái)龍去脈,經(jīng)歷三角公式的推導(dǎo)過(guò)程,發(fā)現(xiàn)三角公式之間的內(nèi)在關(guān)系,只要這樣,學(xué)生才能靈活的運(yùn)用三角公式.

(4)數(shù)學(xué)是思維的科學(xué),高三復(fù)習(xí)中解題的目的是為了使學(xué)生理解和掌握這些題背后的思想與方法,從而追求數(shù)學(xué)思想的貫通和方法的靈活運(yùn)用. 因此,要注重解決問(wèn)題的通性通法,注重通性通法的應(yīng)用.

(5)對(duì)每一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題教師要培養(yǎng)學(xué)生多思勤想、研究的習(xí)慣, 常規(guī)性地引導(dǎo)學(xué)生能不能從正面作出引伸和拓廣,從逆向探索能否進(jìn)一步擴(kuò)展.