田文龍 齊樂(lè)華 晁許江

* (西北工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院,西安 710072)

? (西北工業(yè)大學(xué)深圳研究院,廣東深圳 518057)

引言

復(fù)合材料具有低密度、優(yōu)異的力學(xué)性能(高比強(qiáng)度、高比剛度、低熱膨脹系數(shù)和良好的耐磨性能等)及物理性能(優(yōu)良的導(dǎo)電、導(dǎo)熱和減振性能等),在航空、航天、國(guó)防和汽車(chē)等領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用[1-5],例如在著名的雙發(fā)寬體遠(yuǎn)程客機(jī)空客A350和波音Boeing787 中使用的復(fù)合材料的體積和質(zhì)量占比分別達(dá)80.0%和50.0%.因此,準(zhǔn)確表征復(fù)合材料的熱-力學(xué)性能,建立其微觀結(jié)構(gòu)與熱-力學(xué)性能的映射關(guān)系,具有非常重要的科學(xué)研究意義和工程應(yīng)用價(jià)值,既可以為其工程應(yīng)用提供理論指導(dǎo),還有利于其微觀結(jié)構(gòu)優(yōu)化及制備成形.

實(shí)驗(yàn)測(cè)試法具有設(shè)備昂貴復(fù)雜、測(cè)試周期較長(zhǎng)和不能得到復(fù)合材料微觀變形場(chǎng)等缺點(diǎn)[6],而傳統(tǒng)分析方法不能充分考慮復(fù)合材料復(fù)雜的微觀結(jié)構(gòu)[7-8],因此數(shù)值方法常被用來(lái)預(yù)測(cè)復(fù)合材料的熱-力學(xué)性能.數(shù)值方法既可以充分地考慮復(fù)合材料復(fù)雜的微觀結(jié)構(gòu)、準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)復(fù)合材料的熱-力學(xué)性能,還能夠提供復(fù)合材料各組分的微觀變形信息.當(dāng)采用數(shù)值方法預(yù)測(cè)復(fù)合材料熱-力學(xué)性能時(shí),首先需要?jiǎng)?chuàng)建能夠準(zhǔn)確表征復(fù)合材料微觀結(jié)構(gòu)的代表性體胞單元(RVE),而本文的側(cè)重點(diǎn)就在于復(fù)合材料RVE 的創(chuàng)建方法.

目前,復(fù)合材料RVE 的創(chuàng)建方法主要包括以下3 類: (1)增強(qiáng)體非接觸類方法,包括隨機(jī)順序吸附(RSA)法[9-10]和基于分子動(dòng)力學(xué)(MD)的方法[11-12]等;(2)增強(qiáng)體相交移除類方法,主要是增強(qiáng)體遷移法[13-14];(3)基于圖像三維重構(gòu)技術(shù)的方法[15-16].基于圖像三維重構(gòu)技術(shù)的方法通過(guò)采用X 射線斷層攝影技術(shù)和三維圖像分析技術(shù)獲取復(fù)合材料微觀結(jié)構(gòu)的層析圖像,然后使用專業(yè)的軟件重構(gòu)出復(fù)合材料RVE.該類方法創(chuàng)建的復(fù)合材料RVE 與真實(shí)的復(fù)合材料微觀結(jié)構(gòu)非常接近,然而卻需要昂貴、復(fù)雜的實(shí)驗(yàn)設(shè)備和專業(yè)的軟件,且重構(gòu)過(guò)程非常復(fù)雜,導(dǎo)致其應(yīng)用范圍較小.由于原理及執(zhí)行算法的簡(jiǎn)單,RSA 法是前述提到的復(fù)合材料RVE 創(chuàng)建方法中應(yīng)用最廣泛的方法.然而,該類方法生成的復(fù)合材料RVE 中增強(qiáng)體體積分?jǐn)?shù)存在特定的極限值(jamming limit)[17],同時(shí)創(chuàng)建增強(qiáng)體數(shù)量較多的復(fù)合材料RVE 時(shí)執(zhí)行效率較低,且無(wú)法控制復(fù)合材料RVE 中增強(qiáng)體的取向分布.基于MD 法的復(fù)合材料RVE 創(chuàng)建方法可以創(chuàng)建較高增強(qiáng)體體積分?jǐn)?shù)的復(fù)合材料RVE 及提高復(fù)合材料RVE 創(chuàng)建效率.然而,該類方法的數(shù)值執(zhí)行算法非常復(fù)雜,同時(shí)也無(wú)法控制復(fù)合材料RVE 中增強(qiáng)體的取向分布.增強(qiáng)體遷移法能夠創(chuàng)建具有高增強(qiáng)體體積分?jǐn)?shù)的復(fù)合材料RVE、提高復(fù)合材料RVE 的創(chuàng)建效率及控制復(fù)合材料RVE 中增強(qiáng)體的取向分布,然而目前文獻(xiàn)中報(bào)道的該類方法只能創(chuàng)建復(fù)合材料非周期性RVE,且創(chuàng)建增強(qiáng)體數(shù)量較多的復(fù)合材料RVE 時(shí)執(zhí)行效率也較低.

近年來(lái),相關(guān)學(xué)者提出了一種新型增強(qiáng)體非接觸類復(fù)合材料RVE 創(chuàng)建方法,即有限元壓縮方法[18-19]:首先創(chuàng)建具有較低增強(qiáng)體體積分?jǐn)?shù)的復(fù)合材料RVE,然后采用有限元方法對(duì)其進(jìn)行壓縮,獲取具有較高增強(qiáng)體體積分?jǐn)?shù)的復(fù)合材料RVE.有限元壓縮方法簡(jiǎn)單、高效,并且具有創(chuàng)建較高增強(qiáng)體體積分?jǐn)?shù)復(fù)合材料RVE 的能力.Islam 等[18]將RSA 算法和有限元壓縮方法相結(jié)合,創(chuàng)建了體積分?jǐn)?shù)高達(dá)50.0%和大長(zhǎng)徑比的隨機(jī)纖維增強(qiáng)復(fù)合材料的RVE(其他RVE 創(chuàng)建方法很難達(dá)到).為創(chuàng)建平面纖維增強(qiáng)復(fù)合材料的RVE,Zhang 等[19]結(jié)合虛擬填裝算法和有限元壓縮方法,創(chuàng)建了纖維體積分?jǐn)?shù)高達(dá)45.0%復(fù)合材料的RVE,且在纖維動(dòng)態(tài)壓縮過(guò)程中基本不改變其取向分布.然而,有限元壓縮方法目前還無(wú)法創(chuàng)建復(fù)合材料周期性RVE.

為創(chuàng)建具有較高增強(qiáng)體體積分?jǐn)?shù)的復(fù)合材料周期性RVE,本文提出一種改進(jìn)型有限元壓縮方法,該方法主要包括3 個(gè)步驟: (1)利用RSA 算法生成具有較低體積分?jǐn)?shù)的復(fù)合材料周期性RVE;(2)基于周期性邊界條件和有限元壓縮方法得到有限元網(wǎng)格格式、具有較高體積分?jǐn)?shù)的復(fù)合材料周期性RVE;(3)后處理有限元模擬結(jié)果以得到復(fù)合材料周期性RVE 中所有增強(qiáng)體的位置及取向,進(jìn)而創(chuàng)建CAD格式、具有較高體積分?jǐn)?shù)的復(fù)合材料周期性RVE.采用提出的改進(jìn)型有限元壓縮方法成功創(chuàng)建了球形增強(qiáng)體復(fù)合材料的周期性RVE,其中增強(qiáng)體體積分?jǐn)?shù)可達(dá)50%;然后,利用第1,2 和3 階最近鄰距離的概率分布函數(shù)[20]和最近鄰取向角的累積概率分布函數(shù)[17]、Ripleys-K函數(shù)K(r)[17]和對(duì)關(guān)聯(lián)函數(shù)G(r)[21]來(lái)表征創(chuàng)建的復(fù)合材料周期性RVE 中增強(qiáng)體的分布;最后,基于創(chuàng)建的復(fù)合材料周期性RVE和有限元均質(zhì)法預(yù)測(cè)復(fù)合材料的彈性性能,并與實(shí)驗(yàn)測(cè)試和雙夾雜模型[22]預(yù)測(cè)的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,驗(yàn)證提出的改進(jìn)型有限元壓縮方法的有效性.

1 復(fù)合材料RVE 創(chuàng)建方法

本文提出一種用于創(chuàng)建具有較高增強(qiáng)體體積分?jǐn)?shù)的復(fù)合材料周期性RVE 的有限元壓縮方法,該方法的示意圖如圖1 所示,主要包括3 個(gè)步驟: (1)采用改進(jìn)的RSA 算法創(chuàng)建具有較低增強(qiáng)體體積分?jǐn)?shù)的復(fù)合材料周期性RVE;(2)在周期性邊界條件的約束下,采用有限元方法壓縮第1 步創(chuàng)建的較低增強(qiáng)體積分?jǐn)?shù)的復(fù)合材料周期性RVE,以得到有限元網(wǎng)格格式、具有較高增強(qiáng)體體積分?jǐn)?shù)的復(fù)合材料周期性RVE;(3)對(duì)第2 步的有限元模擬結(jié)果進(jìn)行后處理,得到復(fù)合材料周期性RVE 中所有增強(qiáng)體的位置及取向,然后創(chuàng)建CAD 格式、具有較高增強(qiáng)體體積分?jǐn)?shù)的復(fù)合材料周期性RVE.

圖1 基于有限元壓縮方法的復(fù)合材料周期性RVE 創(chuàng)建過(guò)程示意圖Fig.1 Schematic diagram of the generation process of periodic RVE of composites using the FE compression method

本文后續(xù)將以球形增強(qiáng)體復(fù)合材料RVE 為研究對(duì)象,詳細(xì)介紹提出的有限元壓縮方法的基本原理.

1.1 復(fù)合材料稀疏RVE 創(chuàng)建方法

由于RSA 算法具有原理簡(jiǎn)單和執(zhí)行效率高(當(dāng)RVE 中增強(qiáng)體體積分?jǐn)?shù)較低時(shí))的優(yōu)點(diǎn),本文采用改進(jìn)RSA 算法創(chuàng)建具有較低增強(qiáng)體體積分?jǐn)?shù)的復(fù)合材料周期性RVE,其主要步驟如下:

(1) 創(chuàng)建尺寸為 [-1.5L,1.5L]×[-1.5L,1.5L]×[-1.5L,1.5L](L表示最后得到的復(fù)合材料周期性RVE 的邊長(zhǎng))的基體(注意: RVE 的中心點(diǎn)為全局坐標(biāo)系xyz的原點(diǎn)o);

(2) 在基體范圍內(nèi)隨機(jī)(位置隨機(jī))生成一個(gè)球形增強(qiáng)體Ec;

(3) 檢查增強(qiáng)體Ec是否超出基體的邊界,若超出,則在基體的對(duì)應(yīng)位置創(chuàng)建其周期性鏡像Ep;否則,進(jìn)行下一步操作;

學(xué)校發(fā)展亦或教改中都存在很多實(shí)際問(wèn)題，面臨種種實(shí)際困難。這些問(wèn)題本身既是問(wèn)題又是契機(jī)，我們必須以問(wèn)題為導(dǎo)向，抓住學(xué)校發(fā)展的困難以及各學(xué)科獨(dú)特的困難，這樣才能精準(zhǔn)發(fā)力。

(4) 檢查增強(qiáng)體Ec及其周期性鏡像Ep與基體中已存在的增強(qiáng)體Ei是否相交,若不相交,則在基體中保留增強(qiáng)體Ec及其周期性鏡像Ep;否則,刪除增強(qiáng)體Ec及其周期性鏡像Ep,并返回第2 步;

(5) 重復(fù)執(zhí)行第(2)～(4)步,直至基體中增強(qiáng)體體積分?jǐn)?shù)或數(shù)量達(dá)到預(yù)設(shè)值.

在創(chuàng)建上述復(fù)合材料周期性RVE 過(guò)程中,需要保證后續(xù)添加的增強(qiáng)體(及其周期性映像)與基體中已存在的增強(qiáng)體之間不能發(fā)生相交,即

式中,rc ,rp和ri分別表示后續(xù)添加的增強(qiáng)體Ec、其周期性鏡像Ep和基體中已存在的增強(qiáng)體Ei的中心,R表示增強(qiáng)體的半徑,ξ是預(yù)設(shè)置的增強(qiáng)體間最小分離距離[23].同時(shí),若后續(xù)添加的增強(qiáng)體超出基體邊界,則在基體相應(yīng)的位置創(chuàng)建特定數(shù)量的周期性鏡像.對(duì)于增強(qiáng)體Ec,其周期性鏡像Ep的數(shù)量Np及位置rp可以由下述方法確定.

圖2 復(fù)合材料RVE 基體表面標(biāo)號(hào)示意圖Fig.2 Planar and vertex notations of an RVE of composites

在采用RSA算法創(chuàng)建復(fù)合材料RVE的過(guò)程中,最耗時(shí)的步驟是后續(xù)添加的增強(qiáng)體(及其周期性映像)與基體中已存在的增強(qiáng)體之間相交狀態(tài)的判斷.若基體中存在N個(gè)增強(qiáng)體,則后續(xù)添加的增強(qiáng)體(及其周期性映像)與基體中已存在的增強(qiáng)體需要進(jìn)行o(N)次相交判斷.若在RSA算法中引入能夠減少增強(qiáng)體之間相交判斷次數(shù)的算法,則可以提高RSA算法創(chuàng)建復(fù)合材料RVE的效率.對(duì)于后續(xù)添加的增強(qiáng)體Ec(及其周期性映像Ep),它們僅可能與其附近的增強(qiáng)體發(fā)生相交,因此本文引入RVE分區(qū)算法[24],以排除基體中肯定不與增強(qiáng)體Ec(及其周期性映像Ep)發(fā)生相交的增強(qiáng)體,進(jìn)而提高RSA算法創(chuàng)建復(fù)合材料周期性RVE的效率.

在RVE 分區(qū)算法中,基體被分割成Nc×Nc×Nc個(gè)尺寸大于增強(qiáng)體直徑的子區(qū)域;然后,根據(jù)分割的子區(qū)域與基體已存在的增強(qiáng)體之間的相交關(guān)系,將基體已存在的增強(qiáng)體分配到不同的子區(qū)域中;接下來(lái),采用類似的方法,將后續(xù)添加的增強(qiáng)體Ec(及其周期性鏡像Ep)分配到相應(yīng)的子區(qū)域中;最后,只需判斷增強(qiáng)體Ec(及其周期性鏡像Ep)與包含增強(qiáng)體Ec(及其周期性鏡像Ep)的子區(qū)域中的增強(qiáng)體之間的相交關(guān)系.注意,單個(gè)增強(qiáng)體可以被分配到多個(gè)子區(qū)域中(最多可達(dá)8 個(gè)).

1.2 復(fù)合材料稠密RVE 創(chuàng)建方法

在上述的有限元模擬中,增強(qiáng)體被設(shè)置為離散剛體,而RVE 的表面被設(shè)置為解析剛體,則采用三維4 節(jié)點(diǎn)雙線性剛性四邊形單元(Abaqus/Explicit中的單元類型為R3D4,每個(gè)節(jié)點(diǎn)具有3 個(gè)平移自由度和3 個(gè)旋轉(zhuǎn)自由度)對(duì)增強(qiáng)體進(jìn)行離散.為準(zhǔn)確模擬增強(qiáng)體之間的接觸,需將增強(qiáng)體離散成足夠數(shù)量的單元,在本文中增強(qiáng)體的網(wǎng)格尺寸s選擇為s=R/5.為考慮增強(qiáng)體之間的接觸,本文采用面-面接觸算法[18],其中接觸發(fā)生在兩個(gè)方向上: 切向和法向(垂直于接觸表面).對(duì)于法向接觸,采用“硬”接觸算法來(lái)保證零穿透及增強(qiáng)體之間接觸壓力的傳遞;對(duì)于切向接觸,采用庫(kù)倫摩擦算法來(lái)保證增強(qiáng)體表面的相對(duì)滑動(dòng),摩擦系數(shù)選擇為0.3.此外,為了實(shí)現(xiàn)復(fù)合材料RVE 壓縮過(guò)程的準(zhǔn)靜態(tài)模擬,分析(壓縮)步的時(shí)間分別選擇為 200 s,最小增量步長(zhǎng)選擇為0.1 s,增強(qiáng)體的質(zhì)量設(shè)置為 1.0 kg.

復(fù)合材料RVE 通常都是周期性的,在采用數(shù)值均質(zhì)法預(yù)測(cè)復(fù)合材料熱-力學(xué)性能時(shí),這有利于施加周期性邊界條件[25-26].為了生成復(fù)合材料周期性RVE,需將穿過(guò)基體邊界的增強(qiáng)體復(fù)制并平移到基體的相應(yīng)位置.因此,本文開(kāi)發(fā)了一種基于周期性邊界條件約束的有限元壓縮方法創(chuàng)建具有較高增強(qiáng)體體積分?jǐn)?shù)的復(fù)合材料周期性 RVE,即對(duì)于增強(qiáng)體(Ei) 及其周期性鏡像 (Ep) 采用下述周期性邊界條件進(jìn)行約束.

1.3 CAD 格式復(fù)合材料RVE 創(chuàng)建

提出的有限元壓縮方法創(chuàng)建的復(fù)合材料周期性RVE 中增強(qiáng)體以R3D4 單元的形式存在,需要將其轉(zhuǎn)換為CAD 格式的復(fù)合材料周期性RVE,以便用于預(yù)測(cè)復(fù)合材料的結(jié)構(gòu)和功能性能.因此,本文通過(guò)開(kāi)發(fā)兩個(gè)Abaqus Python API 腳本來(lái)自動(dòng)檢測(cè)基于有限元壓縮方法得到的復(fù)合材料周期性RVE中增強(qiáng)體的中心點(diǎn)和創(chuàng)建CAD 格式的復(fù)合材料周期性RVE.注意: 在較低增強(qiáng)體體積分?jǐn)?shù)的復(fù)合材料RVE 的壓縮過(guò)程中,偶爾會(huì)出現(xiàn)一定數(shù)量(常小于10 對(duì))的增強(qiáng)體相交現(xiàn)象,此時(shí)需要手動(dòng)刪除這些相交增強(qiáng)體.

2 結(jié)果與討論

2.1 復(fù)合材料周期性RVE 中增強(qiáng)體分布統(tǒng)計(jì)

基于提出的有限元壓縮方法,分別創(chuàng)建了增強(qiáng)體體積分?jǐn)?shù)分別為 30.0%,40.0%和 50.0%的復(fù)合材料周期性RVE (如圖3 所示,增強(qiáng)體的數(shù)量分別為579,764 和955),其中基體的尺寸為L(zhǎng)=100.0 μm、增強(qiáng)體的半徑為R=5.0 μm 和最小分離距離為 ξ=0.05R.在這一部分,本文將分別采用第1、第2 和第3 階最近鄰距離的概率分布函數(shù)[20]和最近鄰取向角的累積概率分布函數(shù)[17]、Ripleys-K函數(shù)K(r)[17]和對(duì)關(guān)聯(lián)函數(shù)G(r)[21]來(lái)表征創(chuàng)建的復(fù)合材料周期性RVE 中增強(qiáng)體的分布規(guī)律.

圖3 基于提出的有限元壓縮方法創(chuàng)建的增強(qiáng)體體積分?jǐn)?shù)分別為30.0%,40.0%和50.0%的復(fù)合材料周期性RVEFig.3 Periodic RVEs of composites with inclusion volume fractions of 30.0%,40.0% and 50.0% generated using the proposed FE compression method

增強(qiáng)體Ei的 第n階最近鄰距 離dnth定義為該增強(qiáng)體中心點(diǎn)到它的第n階最近鄰增強(qiáng)體中心點(diǎn)的距離,而增強(qiáng)體Ei的第n階最近鄰取向角 θnth和 φnth定義為該增強(qiáng)體中心點(diǎn)到它的第n階最近鄰增強(qiáng)體中心點(diǎn)的連線與z軸的夾角和該增強(qiáng)體中心點(diǎn)到它的第n階最近鄰增強(qiáng)體中心點(diǎn)的連線在xoy平面的投影與x軸的夾角.圖4 和圖5 給出了創(chuàng)建的復(fù)合材料周期性RVE 中增強(qiáng)體的第1、第2 和第3 階最近鄰距離的概率分布函數(shù)和最近鄰取向角的累積概率函數(shù),可以發(fā)現(xiàn): 第1 階最近鄰距離的概率分布函數(shù)曲線初始非常尖銳,然后快速下降,第2 和第3 階最近鄰距離的概率分布函數(shù)曲線相對(duì)平滑,而最近鄰取向角 θ和 φ的累積概率函數(shù)曲線與增強(qiáng)體空間隨機(jī)分布的理論累積概率函數(shù)曲線(Ψ(θ)=(1-cosθ)/2和 Ψ (φ)=φ/(2π))非常接近.因此,基于提出的有限元壓縮方法創(chuàng)建的復(fù)合材料周期性RVE 中增強(qiáng)體空間隨機(jī)(CSR)分布.

圖4 復(fù)合材料周期性RVE 中增強(qiáng)體的第1、第2 和第3 階最近鄰距離的概率分布函數(shù)Fig.4 Probability distribution functions of the 1st,2nd and 3rd nearest neighbor distances of the inclusions in the generated periodic RVEs of composites

圖5 復(fù)合材料周期性RVE 中增強(qiáng)體的最近鄰取向角的累積概率分布函數(shù)Fig.5 Cumulative probability distribution functions of the 1st,2nd and 3rd nearest neighbor orientation angles of the inclusions in the generated periodic RVEs of composites

Ripleys-K函數(shù)K(r) 計(jì)算半徑為r的搜索球中包含的增強(qiáng)體中心點(diǎn)的數(shù)量與創(chuàng)建的復(fù)合材料周期性RVE 中的增強(qiáng)體中心點(diǎn)密度的比值,即

式中,N表示創(chuàng)建的復(fù)合材料周期性RVE 中的增強(qiáng)體中心點(diǎn)的數(shù)量,V是創(chuàng)建的復(fù)合材料周期性RVE的體 積,κij表 示增強(qiáng)體Fi和Fj中心點(diǎn)之 間的距離.對(duì)于I(·),若括號(hào)中的條件為真,則I(·)的取值為1.0,否則I(·) 的取值為0.對(duì)于 ω (ri,rj),若中心點(diǎn)為ri,半徑為 |ri-rj|的球完全包含于創(chuàng)建的復(fù)合材料周期性RVE,則 ω (ri,rj)返回?cái)?shù)值1.0,否則返回包含在創(chuàng)建的復(fù)合材料周期性RVE 中球的體積比例.當(dāng)創(chuàng)建的復(fù)合材料周期性RVE 中增強(qiáng)體空間隨機(jī)分布時(shí),Ripleys-K函數(shù)K(r) 的計(jì)算公式為Kν(r)=4πr3/3.對(duì)關(guān)聯(lián)函數(shù)G(r)計(jì)算在距離給定的增強(qiáng)體中心點(diǎn)為r范圍內(nèi)找到另一個(gè)增強(qiáng)體中心點(diǎn)的概率,通常被視為Ripleys-K函數(shù)的空間導(dǎo)數(shù)[21],因此具有下述形式的表達(dá)式

式中,G(r)=1.0表示創(chuàng)建的復(fù)合材料周期性RVE 中增強(qiáng)體的分布符合CSR 分布.創(chuàng)建的復(fù)合材料周期性RVE 中增強(qiáng)體的Ripleys-K函數(shù)K(r)和對(duì)關(guān)聯(lián)函數(shù)G(r)見(jiàn)圖6 和圖7.可以發(fā)現(xiàn): 隨著搜索半徑r的增加,Ripleys-K函數(shù)K(r) 和對(duì)關(guān)聯(lián)函數(shù)G(r)的曲線逐漸趨于曲線Kν(r)=4πr3/3 和G(r)=1.0.因此,可以得到下述結(jié)論: 基于提出的有限元壓縮方法創(chuàng)建的復(fù)合材料周期性RVE 中增強(qiáng)體空間隨機(jī)分布.

圖6 復(fù)合材料周期性RVE 中增強(qiáng)體的Ripleys-K 函數(shù)K(r)Fig.6 Ripleys-K function of the inclusions in the generated periodic RVEs of composites

圖7 復(fù)合材料周期性RVE 中增強(qiáng)體的對(duì)關(guān)聯(lián)函數(shù)G(r)Fig.7 Pair correlation function G(r) of the inclusions in the generated periodic RVEs of composites

2.2 基于RVE 的復(fù)合材料彈性性能預(yù)測(cè)

在這部分,基于前述創(chuàng)建的復(fù)合材料周期性RVE,采用有限元均質(zhì)方法[27-28]和周期性邊界條件[25-26]對(duì)隨機(jī)分布球形增強(qiáng)體復(fù)合材料的彈性性能進(jìn)行數(shù)值預(yù)測(cè).復(fù)合材料周期性RVE 的尺寸為L(zhǎng)/R=20.0,網(wǎng)格單元選擇4 節(jié)點(diǎn)四面體單元(即Abaqus/Standard中C3D4 單元),網(wǎng)格尺寸選為l=R/10.需要說(shuō)明的是,上述給定的復(fù)合材料周期性RVE 和網(wǎng)格的尺寸可以保證得到收斂的復(fù)合材料彈性性能.

研究的第1 類SiC/Al 復(fù)合材料由2080 鋁合金基體和隨機(jī)分布的球形碳化硅(SiC)增強(qiáng)體組成[29],其中基體和增強(qiáng)體的各向同性彈性模量和泊松比分別為E0=74.0 GPa,ν0=0.33 和E1=410.0 GPa,ν1=0.19.研究的第2 類復(fù)合材料是球形氫氧化鋁顆粒增強(qiáng)PMMA,其中氫氧化鋁顆粒的體積分?jǐn)?shù)、彈性模量和泊松比分別為v1=0.48,E1=70.0 GPa和 ν1=0.24,而PMMA 的彈性模量和泊松比分別為E0=3.5 GPa 和 ν0=0.31[30].研究的第3 類復(fù)合材料是球形玻璃顆粒增強(qiáng)樹(shù)脂基復(fù)合材料[31],其中玻璃顆粒和樹(shù)脂基體的彈性模量和泊松比分別為E0=74.0 GPa,ν0=0.33 和E1=410.0 GPa,ν1=0.19.

基于前述創(chuàng)建的復(fù)合材料周期性RVE,采用有限元均質(zhì)方法和周期性邊界條件預(yù)測(cè)的增強(qiáng)體體積分?jǐn)?shù)為 50.0%SiC/Al 復(fù)合材料的剛度矩陣如下(單位GPa)

因此,可以得到該復(fù)合材料的彈性模量、剪切模量和泊松比,發(fā)現(xiàn)E1≈E2≈E3, ν12≈ν21≈ν13≈ν31≈ν23≈ν32和G12≈G13≈G23,則可以確定該復(fù)合材料的彈性性能是宏觀各向同性的,原因在于該復(fù)合材料中增強(qiáng)體的空間隨機(jī)分布.后續(xù)研究中,我們將使用宏觀各向同性的彈性模量E、剪切模量G和泊松比 μ表征隨機(jī)分布球形增強(qiáng)體復(fù)合材料的彈性性能.

基于創(chuàng)建的不同增強(qiáng)體體積分?jǐn)?shù)的SiC/Al 復(fù)合材料周期性RVE、采用有限元均質(zhì)方法預(yù)測(cè)該復(fù)合材料的彈性性能,并與實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果[29]和雙夾雜模型[22]的預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比(見(jiàn)圖8),發(fā)現(xiàn)有限元均質(zhì)方法預(yù)測(cè)的該復(fù)合材料的彈性性能與實(shí)驗(yàn)測(cè)試和文獻(xiàn)給出的結(jié)果及雙夾雜模型的預(yù)測(cè)結(jié)果偏差很小.同時(shí),基于有限元均質(zhì)方法預(yù)測(cè)了的顆粒體積分?jǐn)?shù)為0.48 的氫氧化鋁/PMMA 復(fù)合材料彈性模量為E=11.06 GPa,與實(shí)驗(yàn)測(cè)試的該復(fù)合材料的彈性模量(E=10.4 GPa)[30]對(duì)比,可以發(fā)現(xiàn)兩者之間的相對(duì)偏差小于6.35%.對(duì)于不同顆粒體積分?jǐn)?shù)的玻璃/樹(shù)脂基復(fù)合材料,基于有限元均質(zhì)方法預(yù)測(cè)和實(shí)驗(yàn)測(cè)試的復(fù)合材料的彈性性能如表1 所示,發(fā)現(xiàn)有限元均質(zhì)方法預(yù)測(cè)的該復(fù)合材料的彈性性能與實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果吻合良好.

表1 基于有限元均質(zhì)方法預(yù)測(cè)和實(shí)驗(yàn)測(cè)試的玻璃顆粒增強(qiáng)樹(shù)脂復(fù)合材料的彈性性能[31]Table 1 Elastic properties of glass particles reinforced polymer composites predicted using the FE homogenization method and the experimental tests[31]

圖8 基于有限元均質(zhì)方法、雙夾雜模型和實(shí)驗(yàn)測(cè)試得到的不同增強(qiáng)體體積分?jǐn)?shù)SiC/Al 復(fù)合材料的彈性性能Fig.8 Elastic properties of SiC/Al composites with different inclusion volume fractions using FE homogenization method,double-inclusion model and available experimental tests

因此,創(chuàng)建的復(fù)合材料周期性RVE 可以用于準(zhǔn)確預(yù)測(cè)隨機(jī)分布球形增強(qiáng)體復(fù)合材料的彈性性能,則驗(yàn)證了本研究提出的有限元壓縮方法創(chuàng)建復(fù)合材料周期性RVE 的有效性.

3 結(jié)論

為了簡(jiǎn)便、高效地創(chuàng)建具有較高增強(qiáng)體體積分?jǐn)?shù)的復(fù)合材料周期性RVE,本文提出了一種改進(jìn)型有限元壓縮方法.基于提出的多步有限元壓縮方法,成功創(chuàng)建了不同增強(qiáng)體體積分?jǐn)?shù)的隨機(jī)分布球形增強(qiáng)體復(fù)合材料的周期性RVE.然后,采用最近鄰距離的概率分布函數(shù)、最近鄰取向角的累積概率分布函數(shù)、Ripleys-K函數(shù)和對(duì)關(guān)聯(lián)函數(shù)對(duì)創(chuàng)建的復(fù)合材料周期性RVE 中增強(qiáng)體的分布進(jìn)行統(tǒng)計(jì).最后,基于創(chuàng)建的復(fù)合材料周期性RVE,采用有限元均質(zhì)方法和周期性邊界條件預(yù)測(cè)了球形增強(qiáng)體復(fù)合材料的彈性性能,并與實(shí)驗(yàn)測(cè)試、文獻(xiàn)給出和雙夾雜模型預(yù)測(cè)的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,驗(yàn)證創(chuàng)建的復(fù)合材料周期性RVE 及提出的有限元壓縮方法的有效性.本研究的結(jié)論如下.

(1)提出的改進(jìn)型有限元壓縮方法的具體步驟如下: 生成具有較低增強(qiáng)體體積分?jǐn)?shù)的復(fù)合材料周期性RVE;在周期性邊界條件約束下,采用有限元方法壓縮第1 步創(chuàng)建的復(fù)合材料周期性RVE,得到具有較高增強(qiáng)體體積分?jǐn)?shù)的復(fù)合材料周期性RVE;通過(guò)后處理得到復(fù)合材料周期性RVE 中所有增強(qiáng)體的位置,進(jìn)而創(chuàng)建CAD 格式的高增強(qiáng)體體積分?jǐn)?shù)的復(fù)合材料周期性RVE.

(2)采用提出的改進(jìn)型有限元壓縮方法,成功創(chuàng)建了體積分?jǐn)?shù)達(dá)50.0%的球形增強(qiáng)體復(fù)合材料的周期性RVE;基于第1、第2 和第3 階最近鄰距離的概率分布函數(shù)和最近鄰取向角的累積概率分布函數(shù)、Ripleys-K函數(shù)和對(duì)關(guān)聯(lián)函數(shù)對(duì)創(chuàng)建的復(fù)合材料周期性RVE 中增強(qiáng)體的分布進(jìn)行統(tǒng)計(jì),發(fā)現(xiàn)創(chuàng)建的復(fù)合材料周期性RVE 中球形增強(qiáng)體空間隨機(jī)分布.

(3)基于有限元均質(zhì)方法預(yù)測(cè)的復(fù)合材料彈性性能與實(shí)驗(yàn)測(cè)試和文獻(xiàn)給出的結(jié)果及雙夾雜模型的預(yù)測(cè)結(jié)果偏差很小,說(shuō)明創(chuàng)建的復(fù)合材料周期性RVE可以用于準(zhǔn)確預(yù)測(cè)復(fù)合材料的彈性性能,驗(yàn)證了提出的有限元壓縮方法創(chuàng)建復(fù)合材料周期性RVE 的有效性.