福建省南平市高級(jí)中學(xué)(353000) 應(yīng)麗珍 江智如

1 問題提出

平面解析幾何是借助解析式進(jìn)行圖形研究的幾何分支,它依托平面坐標(biāo)系,通過代數(shù)語言認(rèn)識(shí)曲線的性質(zhì),利用代數(shù)方法解決幾何問題,在高考中常以壓軸題形式出現(xiàn),突出區(qū)分與選拔功能. 在探索定點(diǎn)與定值一類問題中, 我們常利用韋達(dá)定理求解有關(guān)x1,x2或y1,y2的對(duì)稱式問題, 如等,通常轉(zhuǎn)化為形式進(jìn)行求解. 但對(duì)于x1,x2或y1,y2的非對(duì)稱式,無法直接利用韋達(dá)定理求解,考生無從下手,造成失分,甚為可惜. 為此,本文在素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重的原則指導(dǎo)下,從不同思維層次與能力水平,歸納總結(jié)非對(duì)稱韋達(dá)問題的有效解題思路與方法,借他山之石,幫助考生感悟解析幾何中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想與方法,落實(shí)“一核四層四翼”的要求[1].

2 概念界定

如果把多項(xiàng)式f(x1,x2) 中的兩個(gè)變?cè)獂1、x2交換位置后,所得結(jié)果仍與原式相同,即f(x1,x2) =f(x2,x1),則稱f(x1,x2)為關(guān)于x1、x2的對(duì)稱多項(xiàng)式,簡(jiǎn)稱對(duì)稱式[2]. 若f(x1,x2)?f(x2,x1),則稱f(x1,x2)為關(guān)于x1、x2的非對(duì)稱多項(xiàng)式,簡(jiǎn)稱非對(duì)稱式. 本文探究的非對(duì)稱韋達(dá)問題界定為:“利用韋達(dá)定理求解非對(duì)稱式的一類問題”.

根據(jù)非對(duì)稱式的結(jié)構(gòu), 筆者將非對(duì)稱式歸納為五種類型[3]: (i)x1=λx2或y1=λy2; (ii)λx1y2=μx2y1;(iii)λx1+μx2+s= 0 或λy1+μy2+s= 0; (iv);(v) 圓錐曲線第三定義k1·k2=λ. 解題的策略是對(duì)表達(dá)式進(jìn)行化簡(jiǎn)處理,轉(zhuǎn)化為能夠利用韋達(dá)定理求解的對(duì)稱式,有助于發(fā)揮培養(yǎng)學(xué)生綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)觀察問題、分析問題和解決問題能力[1]的育人作用.

3 策略探究

3.1 類型1: x1 =λx2 或y1 =λy2 形式

3.2 類型2: λx1y2 =μx2y1 形式

圖1

評(píng)析本試題第(2)小問探索直線過定點(diǎn)的問題,這類問題的解題思路通常是依托直線的斜截式方程,利用韋達(dá)定理進(jìn)行化簡(jiǎn)消參,化簡(jiǎn)過程是求解的困難之處,能夠考查考生數(shù)形結(jié)合思想和運(yùn)算求解能力. 考生根據(jù)直線PA,PB方程的聯(lián)立,消參得到表達(dá)式: 3y1(x2-3) =y2(x1+3). 由于等式兩邊的系數(shù)不同,無法直接利用韋達(dá)定理求解,所以配湊轉(zhuǎn)化為對(duì)稱式,再利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)求解,得到最終結(jié)果.整個(gè)求解過程全面考查解析幾何中解決問題的通性通法,對(duì)考生的邏輯思維能力、分析問題和解決問題能力有較高要求,體現(xiàn)課標(biāo)中不斷提高實(shí)踐能力,提升創(chuàng)新意識(shí)的理念[4].

3.3 類型3: λx1+μx2+s=0 或λy1+μy2+s=0 形式

評(píng)析本試題第(2)小問通過關(guān)系,得到x1+2x2=3 非對(duì)稱式,符合類型3 結(jié)構(gòu),于是根據(jù)類型3 的解題策略,配湊得到2(x1+x2)2-9(x1+x2)+9+x1x2=0對(duì)稱式,利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)得到關(guān)于k的一元二次方程,最終求出直線l的斜率,考查考生化歸與轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算求解能力. 這類問題的思路是從對(duì)稱式入手,將非對(duì)稱式配湊成一元二次方程,依托一元二次方程相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解,能夠考查考生基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)、思想方法與能力[1]. 同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)例了解解析幾何的背景知識(shí)與內(nèi)涵,通過直觀想象和代數(shù)運(yùn)算,形成解決幾何問題思路,掌握幾何問題的通性通法[4],提高解決幾何問題的關(guān)鍵能力.

3.4 類型4:形式

評(píng)析本試題第(2)小問考查雙曲線的幾何性質(zhì)和利用解析幾何思想方法解決幾何問題的能力. 考生通過聯(lián)立動(dòng)直線,化簡(jiǎn)得到交點(diǎn)M的坐標(biāo),再依據(jù)類型3 的解題策略配湊對(duì)稱式,得到最終結(jié)果. 這類問題的思路是消元化簡(jiǎn),以分式多項(xiàng)式為載體,考查考生扎實(shí)的運(yùn)算求解能力,體現(xiàn)解析幾何的通性通法,對(duì)基礎(chǔ)性知識(shí)進(jìn)行深入考查,加強(qiáng)教學(xué)與考試的銜接,促進(jìn)考生數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)的提升.

3.5 類型5: 圓錐曲線第三定義k1·k2 =λ 形式

評(píng)析本試題第(2)(i)小問考查為定值問題,可以利用圓錐曲線第三定義,把比值轉(zhuǎn)化為4kAM·kBM,通過斜率的定義,轉(zhuǎn)化為類型4 求解,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想. 同時(shí)本試題將圓錐曲線定義與斜率的相關(guān)概念有機(jī)結(jié)合, 重基礎(chǔ),重知識(shí)點(diǎn)的自然綜合,重分析問題的能力和數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法的考查,將能力立意放在突出位置,為考生充分發(fā)揮水平提供廣闊空間. 類型5 實(shí)際上是類型4 的推廣與延伸,能夠引導(dǎo)考生把握研究對(duì)象的數(shù)學(xué)特征,感悟通性通法的數(shù)學(xué)原理和蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想[4].

4 在高考中的應(yīng)用

5 結(jié)語

非對(duì)稱韋達(dá)問題的本質(zhì)是化歸與轉(zhuǎn)化思想,我們可以依托韋達(dá)定理構(gòu)造互化公式,將非對(duì)稱式結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化成對(duì)稱式結(jié)構(gòu)處理,探索問題解決之道. 波利亞(George Polya)認(rèn)為:“中學(xué)數(shù)學(xué)教育的根本目的是‘教會(huì)學(xué)生思考’”[5]. 在日常教學(xué)過程中,教師可以引導(dǎo)學(xué)生在認(rèn)知及實(shí)踐活動(dòng)中發(fā)展思考力,將對(duì)稱式韋達(dá)定理與非對(duì)稱式韋達(dá)問題之間的關(guān)系理解透徹[1],并依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平設(shè)計(jì)“精致練習(xí)”[6],通過曲線方程、代數(shù)變形、和積關(guān)系轉(zhuǎn)換等方法,讓學(xué)生在“潤(rùn)物細(xì)無聲”[7]中掌握非對(duì)稱韋達(dá)問題的通性通法,為學(xué)生展示能力、發(fā)揮水平提供廣闊的平臺(tái)[8],促進(jìn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)和關(guān)鍵能力的提升.