江蘇省海門中學(xué) 王 娟

《中國高考評價體系》中的“一核四層四翼”是高考命題的指導(dǎo)思想與基本命題要求,近兩年的高考數(shù)學(xué)試卷也是圍繞這個指導(dǎo)思想,同時基于數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)進(jìn)行一些具有學(xué)科特色的創(chuàng)新與改變,圍繞數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)呈現(xiàn)出創(chuàng)新與差異;數(shù)學(xué)文化的滲透更加合理自然,數(shù)學(xué)應(yīng)用的構(gòu)建更加貼近生活,而且加大了數(shù)學(xué)探索與理性思維的考查題量與試題難度.

1 數(shù)學(xué)文化適當(dāng)滲透

將數(shù)學(xué)史中的經(jīng)典問題或中國傳統(tǒng)文化作為試題背景,可以讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)家探究問題、解決問題的過程,潛移默化地對學(xué)生進(jìn)行理想信念教育,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣與愛國主義情懷.因而,數(shù)學(xué)文化成為近幾年高考的一個關(guān)注點, 2022年高考試題也有相應(yīng)的體現(xiàn).數(shù)學(xué)文化滲透的“影子”出現(xiàn)在各類試題中,如中國古建筑的屋頂結(jié)構(gòu)(新高考I卷第3題),“會圓術(shù)”(全國甲卷理科第8題《夢溪筆談》的記載),以及下面的問題.

分析：借助數(shù)學(xué)文化的情境創(chuàng)設(shè),由秦九韶公式,代入對應(yīng)的參數(shù)值,直接計算可得所求的面積.

點評：該試題以秦九韶發(fā)現(xiàn)的“三斜求積”法為問題背景,主要考查閱讀理解與數(shù)學(xué)運算能力等.“三斜求積”與海倫公式等價,從中可以看到我國古代已具有很高的數(shù)學(xué)水平,這在一定程度上合理引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)關(guān)注我國古代的一些優(yōu)秀科學(xué)技術(shù)成果,同時進(jìn)行必要的愛國、愛民族的教育等.

2 數(shù)學(xué)應(yīng)用貼近實際

數(shù)學(xué)應(yīng)用往往以貼近生活實際的實例為背景,結(jié)合數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識來合理創(chuàng)新設(shè)置.近兩年的高考數(shù)學(xué)試卷中,數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的設(shè)置主要體現(xiàn)在以下幾個方面:(1)從考題數(shù)量來看,新高考Ⅰ卷只有1個解答題,全國甲卷理科有2個題,其中1個選填題1個解答題,其余4套全國卷均為3個題,其中2個選填題和1個解答題等;(2)從考查場景來看,主要針對考生比較熟悉的生活生產(chǎn)場景,如排隊、比賽、植樹造林以及這兩年比較熱門的流行病調(diào)查等相關(guān)問題;(3)從試題考查難度來看,大多題目是中等或簡單題,以保證大多數(shù)考生能比較輕松解決.

例2(2022年高考數(shù)學(xué)全國乙卷理科·10)某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤,各盤比賽結(jié)果相互獨立.已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為p1,p2,p3,且p3>p2>p1>0.記該棋手連勝兩盤的概率為p,則( ).

A.p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關(guān)

B.該棋手在第二盤與甲比賽,p最大

C.該棋手在第二盤與乙比賽,p最大

D.該棋手在第二盤與丙比賽,p最大

分析：根據(jù)生活實際中的應(yīng)用問題,結(jié)合棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率不相等,可以判斷概率p受比賽次序影響,由此判斷選項A錯誤;再計算第二盤分別與甲、乙、丙比賽連贏兩盤的概率,比較大小即可得以判斷.

解析：由題設(shè)知,棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率各不相等,所以判定p受比賽次序影響,故選項A錯誤.

設(shè)棋手在第二盤與甲、乙、丙比賽連贏兩盤的概率分別為P甲,P乙,P丙,那么

P甲=p1[p2(1-p3)+p3(1-p2)]=p1p2+p1p3-2p1p2p3;

P乙=p2[p1(1-p3)+p3(1-p1)]=p1p2+p2p3-2p1p2p3;

P丙=p3[p1(1-p2)+p2(1-p1)]=p1p3+p2p3-2p1p2p3.

所以P丙-P甲=p2(p3-p1)>0,P丙-P乙=p1(p3-p2)>0,故P丙最大.

故選擇答案:D.

點評：該試題以創(chuàng)新情境的設(shè)置,考查概率的求法,以及數(shù)值的大小比較等.解題時要認(rèn)真審題,注意實際問題的分析與理解,以及相互獨立事件概率乘法公式的靈活運用.學(xué)以致用是高考數(shù)學(xué)試卷的基本命題方向與思路,要引起高度重視,要合理交匯與融合數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與實際應(yīng)用的聯(lián)系.

3 數(shù)學(xué)探索體現(xiàn)差異

數(shù)學(xué)探究類的學(xué)科素養(yǎng)考查,可以有效區(qū)分考生的能力水平與知識差異,方便不同高校有針對性地選拔人才,因此,數(shù)學(xué)探究類試題也是高考命題者比較關(guān)注與青睞的一類問題,近年其高考中的考查力度有所提升.數(shù)學(xué)探究類的學(xué)科素養(yǎng)考查在高考試卷中的表現(xiàn)層面與展示形式主要有以下幾個方面:(1)開放性命題,(2)結(jié)論不良問題,(3)探索解題思路等形式.

分析：根據(jù)題設(shè)條件,求出雙曲線的漸近線方程,利用已知直線與雙曲線無公共點的條件,構(gòu)建對應(yīng)的不等式,進(jìn)而確定離心率的取值范圍,結(jié)合開放性命題確定一個值即可.

4 理性思維貫穿始終

理性思維是數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)中最本質(zhì)、最核心的基本內(nèi)容之一,也是數(shù)學(xué)學(xué)科中嚴(yán)謹(jǐn)邏輯思維能力最重要的一種體現(xiàn)方式,是歷年高考的重點與熱點.主要表現(xiàn)在以下幾個方面:(1)增加考題題量,(2)加強(qiáng)論證性問題,(3)數(shù)形相互印證等.

例5(2022年高考數(shù)學(xué)北京卷·9)已知正三棱錐P-ABC的六條棱長均為6,S是△ABC及其內(nèi)部的點構(gòu)成的集合.設(shè)集合T={Q∈S|PQ≤5},則T表示的區(qū)域的面積為( ).

分析：根據(jù)題設(shè)條件,設(shè)點P在底面ABC內(nèi)的投影為點O,根據(jù)正三角形的性質(zhì)求得OA的長,并由勾股定理求得OP的長,結(jié)合幾何直觀可知動點Q表示的區(qū)域是以O(shè)為圓心,1為半徑的圓及其內(nèi)部,從而得以分析與求解.

解析：如圖1,設(shè)點P在平面ABC內(nèi)的射影為點O,連接PO,AO.

圖1

故選擇答案:B.

點評：該試題通過集合語言與立體幾何知識相交匯與融合,通過數(shù)量間的關(guān)系得到圖形的幾何特征,又利用圖形的幾何特征得到數(shù)量間的關(guān)系,相互轉(zhuǎn)化,是理性思維中考查的一個重點.高考數(shù)學(xué)試題中特別強(qiáng)調(diào)“畫好圖”對尋求解題思路的作用,但“畫好圖”需要數(shù)量關(guān)系的強(qiáng)力支撐.

近兩年的高考數(shù)學(xué)試題整體上圍繞數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與基本思想方法,以基本題型為主,合理滲透相應(yīng)的數(shù)學(xué)文化場景,巧妙設(shè)置相應(yīng)的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題,以及數(shù)學(xué)探索的深入開展與理性思維的創(chuàng)新應(yīng)用等,對于引導(dǎo)高中數(shù)學(xué)教學(xué),合理根除“題海戰(zhàn)術(shù)”,規(guī)避“題型套路”和“機(jī)械刷題”等頑瘴痼疾,做到了有效“反刷題、反套路”,擊中了當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教學(xué)的“痛點”.