江蘇省海門中學(xué) 李乃洋

線性回歸模型及其應(yīng)用是高考數(shù)學(xué)試卷中的一個重要考點.對于兩個變量之間的線性回歸模型與相關(guān)關(guān)系,全面把握相關(guān)概念,正確進(jìn)行數(shù)據(jù)分析處理,準(zhǔn)確確定線性回歸方程,利用線性回歸方程進(jìn)行合理決策應(yīng)用等,都是線性回歸模型及其應(yīng)用的重要組成部分.因此,應(yīng)全面系統(tǒng)理解與掌握相關(guān)線性回歸模型的概念,進(jìn)一步加強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識,提升應(yīng)用所學(xué)知識分析問題和解決問題的能力.

1 概念理解

分析：根據(jù)題意,用解釋變量對于預(yù)報變量變化的貢獻(xiàn)率R2來表示擬合效果,通過概念的理解,以及R2的性質(zhì)特征,R2越大表示模型的擬合效果越好,即可確定正確答案為C.

2 信息解讀

例2(多選題)[2023屆福建省莆田市涵江區(qū)錦江中學(xué)高三(上)第一次月考數(shù)學(xué)試卷]在“3·15”前,某市物價部門對本市5家商場的同一商品的銷售情況進(jìn)行調(diào)查,其對應(yīng)的售價x元和銷售量y件對應(yīng)的數(shù)據(jù)如表1所示:

表1

B.當(dāng)x=1時,y的估計值為36.8

C.當(dāng)售價為5元時,銷售量一定是24件

D.樣本中心點為(10,8)

分析：利用題目的數(shù)據(jù),求出對應(yīng)的均值與相關(guān)的參數(shù),并確定對應(yīng)的回歸方程,再結(jié)合線性回歸方程的性質(zhì),即可解讀相關(guān)信息,給出判斷.

答案:ABD.

3 關(guān)系判斷

例3[2023屆四川省眉山市仁壽縣文宮中學(xué)高三(上)月考數(shù)學(xué)試卷(9月份)]某專營店統(tǒng)計了近五年來的創(chuàng)收利潤yi(單位:萬元)與時間ti(單位:年)的相關(guān)數(shù)據(jù),如表2所示:

表2

依據(jù)表2中的數(shù)據(jù),請計算相關(guān)系數(shù)rty,并結(jié)合計算結(jié)果說明能否用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系?(結(jié)果精確到0.01,若|rty|>0.8,則表明可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系.)

例4(2023年高考數(shù)學(xué)全國乙卷理科·17)某廠為比較甲乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng),進(jìn)行10次配對試驗,每次配對試驗選用材質(zhì)相同的兩個橡膠產(chǎn)品,隨機(jī)地選其中一個用甲工藝處理,另一個用乙工藝處理,測量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率,甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為x1,y1(i=1,2,……,10),試驗結(jié)果如表3:

表3

分析：例3和例4都是根據(jù)題意進(jìn)行計算即可給出判斷,過程略.

4 決策應(yīng)用

例5[2022—2023學(xué)年陜西省榆林十中高二(上)第一次質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷]公交公司為增設(shè)一個公交起點站,研究某地車輛發(fā)車間隔時間x與乘客等候人數(shù)y之間的關(guān)系,得出以下表4中相應(yīng)的數(shù)據(jù):

表4

從中選取四組數(shù)據(jù)作線性回歸分析,并用剩下的兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗.

(1)試求剩下的兩組數(shù)據(jù)不相鄰的概率.

(3)創(chuàng)新定義“最佳回歸方程”:借助線性回歸方程預(yù)測的數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)相差不超過1人,則所求的的線性回歸方程是“最佳回歸方程”.試判斷(2)中所求的是“最佳回歸方程”嗎?同時為了使等候的乘客不超過35人,則發(fā)車的間隔時間為18 min,是否合適?

解析：(1)設(shè)這六組數(shù)據(jù)分別為1,2,3,4,5,6,那么剩下的兩組的所有可能為(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共有15種.

其中“剩下的兩組數(shù)據(jù)相鄰”的有:(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),共5種.

所以(2)中所求出的線性回歸方程是“最佳回歸方程”.

由1.4x+9.6≤35,解得x≤18.14.

故間隔時間設(shè)置為18 min比較合適.

點評：借助線性回歸方程的求解,并利用條件中相關(guān)問題的設(shè)置(本題中為“最佳回歸方程”),合理求解對應(yīng)的數(shù)據(jù)并加以正確決策與判斷.特別在對一些實際應(yīng)用問題進(jìn)行決策與判斷時,要有數(shù)據(jù)依據(jù)與基礎(chǔ).

線性回歸模型及其應(yīng)用是根植于現(xiàn)實場景中,結(jié)合實際應(yīng)用問題的創(chuàng)設(shè),綜合統(tǒng)計中的數(shù)據(jù)信息與數(shù)據(jù)分析,對線性回歸的相關(guān)概念、數(shù)據(jù)處理、關(guān)系判斷以及決策應(yīng)用等巧妙設(shè)置問題,考查線性回歸的相關(guān)知識、數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)能力等,實現(xiàn)創(chuàng)新應(yīng)用.