廈門外國(guó)語(yǔ)學(xué)校石獅分校 吳志峰

課標(biāo)指出,高中數(shù)學(xué)教學(xué)要以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向,啟發(fā)學(xué)生思考,掌握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì),落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展.課堂學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)有利于教師進(jìn)行反思,改進(jìn)教學(xué),提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.判斷一節(jié)課是否能達(dá)到課標(biāo)的學(xué)業(yè)水平要求,筆者認(rèn)為可以從知識(shí)技能、思想方法、核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力四個(gè)維度進(jìn)行評(píng)價(jià).筆者結(jié)合自身教學(xué)實(shí)踐,以“立體幾何軌跡問(wèn)題”教學(xué)為例,對(duì)課堂進(jìn)行學(xué)習(xí)評(píng)價(jià).

1 擬定課堂評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

為了落實(shí)課標(biāo)所提出的學(xué)業(yè)水平要求,根據(jù)課標(biāo)要求從四個(gè)維度擬定本節(jié)課的課堂評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn):

知識(shí)技能:(1)關(guān)注學(xué)生運(yùn)用圖形概念描述圖形的基本關(guān)系和基本結(jié)果,及常見(jiàn)曲線的軌跡定義,評(píng)價(jià)學(xué)生對(duì)軌跡的認(rèn)知水平;

(2)關(guān)注學(xué)生能否運(yùn)用定義法或坐標(biāo)法求軌跡,評(píng)價(jià)學(xué)生對(duì)立體幾何軌跡的運(yùn)用水平.

思想方法:(1)關(guān)注學(xué)生能否借助圖形尋找?guī)缀卧嘏c數(shù)量之間的關(guān)系,評(píng)價(jià)數(shù)形結(jié)合思想的理解水平;

(2)關(guān)注學(xué)生能否將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題,評(píng)價(jià)轉(zhuǎn)化與化歸思想的理解水平.

核心素養(yǎng):(1)關(guān)注學(xué)生能否借助圖形尋找?guī)缀卧嘏c數(shù)量之間的關(guān)系,評(píng)價(jià)直觀想象、數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng);

(2)關(guān)注學(xué)生表述立體幾何軌跡問(wèn)題的過(guò)程,評(píng)價(jià)邏輯推理素養(yǎng);

(3)關(guān)注學(xué)生運(yùn)用定義法或坐標(biāo)法求軌跡,評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

關(guān)鍵能力:(1)關(guān)注學(xué)生表述立體幾何軌跡問(wèn)題的過(guò)程,評(píng)價(jià)推理論證能力;

(2)關(guān)注學(xué)生運(yùn)用定義法或坐標(biāo)法求軌跡,評(píng)價(jià)運(yùn)算求解能力.

2 復(fù)習(xí)回顧,創(chuàng)設(shè)問(wèn)題

圖1

問(wèn)題1求平面軌跡問(wèn)題,大家一般用什么方法處理?

生:定義法,直接法(在平面直角坐標(biāo)系下找到點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)之間的關(guān)系式),設(shè)元消參法.

問(wèn)題2能否類比平面軌跡問(wèn)題來(lái)處理立體幾何中的軌跡問(wèn)題?

評(píng)價(jià)：通過(guò)復(fù)習(xí)回顧,關(guān)注學(xué)生對(duì)常見(jiàn)曲線的軌跡定義掌握情況.若學(xué)生能在課堂上比較流暢地回答截口曲線軌跡,則可進(jìn)入下一問(wèn)題;若學(xué)生比較陌生,教師可通過(guò)作圖展示或嚴(yán)謹(jǐn)推證引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)截口曲線軌跡.評(píng)價(jià)學(xué)生對(duì)曲線軌跡的認(rèn)知水平,發(fā)展學(xué)生直觀想象及數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).

3 例題探析

例1已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4,M為DD1的中點(diǎn),N為平面ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn).請(qǐng)思考下列問(wèn)題1～5.

生:直線與平面所成的角即為直線與它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的角,MN在平面ABCD內(nèi)的射影為DN,則|DN|=2.根據(jù)圓的定義,可知點(diǎn)N的軌跡是以D為圓心,半徑為2的圓.

追問(wèn)1:若求線段MN中點(diǎn)P的軌跡呢?

生:在△DMN中,取DM中點(diǎn)Q,則|PQ|=1,且PQ⊥DD1,則點(diǎn)P的軌跡以Q為圓心,半徑為1的圓.

圖2

評(píng)價(jià)：?jiǎn)栴}1關(guān)注學(xué)生能否將線面所成角轉(zhuǎn)化為線線所成角,從而將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題進(jìn)行處理.追問(wèn)1關(guān)注學(xué)生能否將空間點(diǎn)P的軌跡問(wèn)題轉(zhuǎn)化為繞DD1旋轉(zhuǎn)的圓柱被一個(gè)垂直于軸的平面截得的圓.追問(wèn)2通過(guò)球面與正方體表面相交引導(dǎo)學(xué)生想象曲面與平面相交的問(wèn)題,關(guān)注學(xué)生能否將交線問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面截球面所得截口曲線問(wèn)題.截口曲線并不是完整的圓,需要通過(guò)角度判斷曲線的長(zhǎng)度;若學(xué)生能較好地回答,則可以順利通過(guò),若學(xué)生比較難理解,可以將球被平面截得的截口曲線作出.培養(yǎng)轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,發(fā)展學(xué)生的空間想象、邏輯推理核心素養(yǎng),提高運(yùn)算求解能力.

問(wèn)題2若△AC1N的面積為定值,則點(diǎn)N的軌跡是什么?

生:若S△AC1N為定值,又線段AC1長(zhǎng)度已知,則點(diǎn)N到直線AC1的距離為定值,即點(diǎn)N在以AC1為軸,定長(zhǎng)為半徑的圓柱(圓柱沒(méi)有高度)上.又因?yàn)辄c(diǎn)N在平面ABCD內(nèi),所以用一個(gè)與旋轉(zhuǎn)軸AC1不垂直的平面截圓柱,截口曲線為橢圓,即點(diǎn)N的軌跡.

問(wèn)題3若點(diǎn)N到直線BB1與直線DC的距離相等,則點(diǎn)N的軌跡是什么?

生:由題意知點(diǎn)N到點(diǎn)B與直線DC的距離相等,根據(jù)拋物線的定義知點(diǎn)N的軌跡是拋物線.

追問(wèn)3:若平面A1BCD1內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到直線AB1和BC的距離相等,則點(diǎn)P的軌跡是什么?

生:設(shè)AB1∩A1B=O,則PO表示點(diǎn)P到直線AB1的距離.因?yàn)槠矫鍭1BCD1內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到直線AB1和BC的距離相等,所以PO與點(diǎn)P到直線BC的距離相等.根據(jù)拋物線的定義,可得點(diǎn)P的軌跡為拋物線．

追問(wèn)4:若點(diǎn)P在平面CDD1C1內(nèi),滿足∠A1BD1=∠PBD1,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是什么?

生:點(diǎn)P在以B為頂點(diǎn),BD1為對(duì)稱軸,A1B為母線的圓錐與平面CDD1C1的交線上,又A1B∥平面CDD1C1,所以與圓錐母線平行的平面截圓錐得到的截口曲線是拋物線,即點(diǎn)P的軌跡．

評(píng)價(jià)：關(guān)注學(xué)生對(duì)圓錐曲線定義的掌握情況,評(píng)價(jià)學(xué)生對(duì)軌跡的認(rèn)知,發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模、空間想象、邏輯推理核心素養(yǎng).

問(wèn)題5對(duì)于問(wèn)題4,還可以用什么方法來(lái)處理?

圖3

所以點(diǎn)N的軌跡為雙曲線．

評(píng)價(jià)：關(guān)注學(xué)生用幾何法處理問(wèn)題不容易時(shí),能否想到可通過(guò)坐標(biāo)法實(shí)現(xiàn),對(duì)比各自的優(yōu)缺點(diǎn),評(píng)價(jià)轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想;關(guān)注學(xué)生能否運(yùn)用定義法或坐標(biāo)法求軌跡問(wèn)題,評(píng)價(jià)學(xué)生對(duì)立體幾何軌跡問(wèn)題的運(yùn)用水平;關(guān)注學(xué)生能否借助圖形尋找?guī)缀卧嘏c數(shù)量之間的關(guān)系及將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題,評(píng)價(jià)數(shù)形結(jié)合思想及轉(zhuǎn)化與化歸思想的理解水平;關(guān)注學(xué)生通過(guò)不同方法表述軌跡的過(guò)程,發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理素養(yǎng),培養(yǎng)學(xué)生推理論證及運(yùn)算能力.

例2如圖4,設(shè)點(diǎn)M是長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的棱AD的中點(diǎn),AD=AA1=4,AB=5,點(diǎn)P在面BCC1B1上,若平面D1PM分別與平面ABCD和平面BCC1B1所成的銳二面角相等,則點(diǎn)P的軌跡為( ).

圖4

A．橢圓的一部分 B．拋物線的一部分

C．一條線段 D．一段圓弧

圖5

圖6

評(píng)價(jià)：例2、例3關(guān)注學(xué)生求解軌跡問(wèn)題的方法選擇,坐標(biāo)法中坐標(biāo)的正確書(shū)寫(xiě),幾何法中量的正確表達(dá)以及運(yùn)算求解能力.通過(guò)方程的形式判斷軌跡及表述軌跡的過(guò)程,關(guān)注學(xué)生能否將線面交點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線線交點(diǎn)問(wèn)題,例3中交點(diǎn)Q的軌跡是平面與平面的交線,尋找這條線的關(guān)鍵是找出兩個(gè)交點(diǎn).評(píng)價(jià)數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學(xué)思想的理解水平;發(fā)展學(xué)生直觀想象、邏輯推理核心素養(yǎng),培養(yǎng)推理論證、運(yùn)算求解能力.

4 課堂練習(xí)

(1)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運(yùn)動(dòng),并且保持AP⊥BD1,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為( ).

A．線段B1CB．線段BC1

C．BB1的中點(diǎn)與CC1的中點(diǎn)連成的線段

D．BC的中點(diǎn)與B1C1的中點(diǎn)連成的線段

(2)已知異面直線a,b成60°角,其公垂線段為EF,|EF|=2,長(zhǎng)為4的線段AB的兩端點(diǎn)分別在直線a,b上運(yùn)動(dòng),則AB中點(diǎn)的軌跡為( ).

A．橢圓 B．雙曲線

C．圓 D．以上都不是

評(píng)價(jià)：通過(guò)課堂鞏固練習(xí),加深對(duì)立體幾何軌跡問(wèn)題的認(rèn)知,反饋學(xué)生對(duì)本節(jié)課內(nèi)容的掌握情況,進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的能力.

5 課堂小結(jié)與課后練習(xí)

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根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,合理地設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程,再進(jìn)行學(xué)習(xí)評(píng)價(jià),這樣不僅可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,提高他們的自我認(rèn)知,更好地落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),也有利于教師進(jìn)行教學(xué)反思,改進(jìn)教學(xué),提高教學(xué)質(zhì)量.