陜西省洛南中學(xué) 韓 毅

空間幾何體的外接球問題,一直是立體幾何的學(xué)習(xí)與綜合應(yīng)用中的一個重點與難點,也是模擬聯(lián)考和高考中的一個命題熱點.在具體破解幾何體外接球的相關(guān)問題時,關(guān)鍵是結(jié)合空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,以及對應(yīng)外接球的定義、幾何性質(zhì)等,合理加以聯(lián)系,從球的定義與幾何結(jié)構(gòu)視角(幾何策略),幾何體的模型構(gòu)建視角(模型策略)以及空間直角坐標(biāo)系的構(gòu)建與應(yīng)用視角(坐標(biāo)策略)等技巧策略方面來分析與處理,合理歸類,巧妙應(yīng)用.

1 幾何策略

幾何策略是借助空間幾何圖形,利用對應(yīng)的空間幾何體與外接球之間的位置關(guān)系與結(jié)構(gòu)特征,進行必要的點的構(gòu)建、輔助線的引入,結(jié)合空間幾何圖形的幾何性質(zhì)、相關(guān)定理及對應(yīng)的邏輯推理與數(shù)學(xué)運算來分析與處理.

例1已知P,A,B,C,D是球O的球面上的五個點,四邊形ABCD為梯形,AD∥BC,AB=DC=AD=2,BC=PA=4,PA⊥平面ABCD,那么球O的體積為( ).

分析：抓住空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征與對應(yīng)的數(shù)量關(guān)系,合理構(gòu)建相關(guān)的點、輔助線等,結(jié)合空間圖形的幾何性質(zhì)、定理等的應(yīng)用與邏輯推理,確定幾何體的外接球的球心O所在的直線與對應(yīng)平面的垂直關(guān)系,進而引入?yún)?shù)并結(jié)合關(guān)系式的建立,即可確定球的半徑與體積.

解析：如圖1所示,取BC的中點E,連接AE,DE,BD.

圖1

設(shè)O為外接球的球心,則由球的性質(zhì)可知OE⊥平面ABCD.

作OF⊥PA,垂足為F,則四邊形AEOF為矩形,于是OF=AE=2.

故選擇答案:A.

點評：利用幾何策略破解幾何體外接球問題時,往往是結(jié)合空間圖形的幾何性質(zhì)、定理等進行必要的推理,合理確定外接球的球心所在的直線或平面,在此基礎(chǔ)上結(jié)合所有頂點到球心的距離都相等來確定關(guān)系式,進而得以分析與求解.如對于一般的錐體的外接球問題,具體應(yīng)用時的思路過程如圖2所示.

圖2

2 模型策略

模型策略是借助特殊空間幾何體,通過合理的補形處理,使得補形后的特殊幾何體(一般是正方體或長方體等)的外接球與原空間幾何體的外接球一致,進而轉(zhuǎn)化為利用特殊幾何體的外接球性質(zhì)來分析與解決問題.

A.50π B.100π C.150π D.200π

分析：抓住特殊四面體的結(jié)構(gòu)特征,結(jié)合其四個面均為全等的三角形這一特征,合理借助模型策略,進行數(shù)學(xué)建模.采用補形法,構(gòu)建一個與四面體相對應(yīng)的長方體,二者的外接球一致,進而利用長方體進行合理轉(zhuǎn)化.

圖3

設(shè)所求外接球的半徑為R,則有(2R)2=a2+b2+c2=50.

解得4R2=50.

所以所求外接球的表面積為S=4πR2=50π.

故選擇答案:A.

點評：利用模型策略破解幾何體外接球問題時,往往以構(gòu)建與題設(shè)空間幾何體相對應(yīng)的正方體或長方體的特殊模型為主.以特殊錐體為例,可以通過以下基本模型加以合理構(gòu)建與應(yīng)用,如圖4所示.

圖4

3 坐標(biāo)策略

坐標(biāo)策略是借助空間直角坐標(biāo)系的構(gòu)建,利用空間向量的相關(guān)知識與運算來分析與解決問題,巧妙將“形”的問題轉(zhuǎn)化為“數(shù)”的運算,實現(xiàn)“形”與“數(shù)”的合理結(jié)合與轉(zhuǎn)化,通過代數(shù)方法來解決幾何問題,適當(dāng)降低立體幾何的思維難度.

A.64π B.52π C.40π D.32π

分析：抓住空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,利用直角三角形的判定,為合理構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系提供條件.而空間直角坐標(biāo)系的構(gòu)建,實現(xiàn)了“形”向“數(shù)”的視角轉(zhuǎn)化,合理應(yīng)用數(shù)學(xué)運算,有效減少嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砼c抽象的空間想象,對問題的解決有很好的提升與促進作用.

圖5

故選擇答案:B.

點評：利用坐標(biāo)策略破解幾何體外接球問題時,基本解題步驟分為五步.(1)尋找合適的坐標(biāo)原點構(gòu)建相應(yīng)的空間直角坐標(biāo)系;(2)確定各對應(yīng)點的坐標(biāo);(3)設(shè)出相關(guān)點的坐標(biāo);(4)利用向量等的應(yīng)用來構(gòu)建關(guān)系式,分析并求解對應(yīng)的參數(shù);(5)結(jié)合所求進一步分析與求解等.這里構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系時,往往結(jié)合直角三角形、垂直關(guān)系、中點等常規(guī)視角進行切入與應(yīng)用.

解決幾何體外接球的相關(guān)問題,可以根據(jù)不同場景,借助幾何策略、模型策略、坐標(biāo)策略等常見技巧方法與應(yīng)試策略,綜合球的定義與幾何性質(zhì)等,結(jié)合空間圖形與空間想象,做到“心中有圖”,科學(xué)構(gòu)建,“串聯(lián)”起空間不同元素之間的關(guān)系,合理邏輯推理,巧妙數(shù)學(xué)運算,進而實現(xiàn)空間想象與數(shù)學(xué)運算能力的提升,以及直觀想象與邏輯推理核心素養(yǎng)等的養(yǎng)成.