趙俊英，姚 彬，邵 欣，李云龍，韓金玉

（1.天津中德應用技術大學汽車與軌道交通學院，天津 300350；2.北京東方計量測試研究所，北京 100029；3.天津中德應用技術大學智能制造學院，天津 300350；4.天津中德應用技術大學基礎實驗實訓中心，天津 300350）

0 引言

機器人等現(xiàn)代工業(yè)多軸機電設備中，運動控制一直是當前的研究熱點［1-2］。軌跡跟蹤精度和生產效率在高性能控制器［3］的設計研發(fā)中越來越受到重視。高進給速度能提高生產效率，但是可能會由于違反執(zhí)行器的物理約束而導致控制器飽和以及跟蹤性能下降等實際問題。因此，合理規(guī)劃參考軌跡的進給速度對于提高生產效率并保證優(yōu)良控制性能至關重要［4］。對此，Bobrowet 等利用序列二次規(guī)劃技術求解了速度規(guī)劃問題［5］。Renton 以及Stori利用數(shù)值搜索方法求解了時間最優(yōu)軌跡規(guī)劃問題，但計算效率較低［6-7］。Yuan 等提到的BFC 離線算法，不適用于需要實時在線軌跡規(guī)劃的任務［8］。針對上述方法的局限性，Luet 等提出了一種雙環(huán)在線軌跡優(yōu)化算法，從實際結果來看，雙環(huán)算法僅僅是接近最優(yōu)的，因為當它在內環(huán)中積分時，參數(shù)加速度是不變的［9］。另外，在線軌跡規(guī)劃的另一個框架采用了路徑速度分解方案［10］和縱向時間標度［11］。基于此框架，Zanasi 等提出了一種實用的非線性在線軌跡規(guī)劃器［12］。Bianco 等對文獻［12］中的在線軌跡規(guī)劃器進行了進一步擴展，利用有界估計器將轉換后的參數(shù)速度和加速度輸入到非線性濾波器，最后得到可行的參數(shù)軌跡［13-15］。此外，Bianco 在文獻［15］中重點關注了在線軌跡規(guī)劃的穩(wěn)定性問題，引入了一種簡單的閾值方法，當參數(shù)加速度下界的絕對值小于預設的閾值時，參數(shù)速度的上界設為零，實驗結果表明該方法具有良好的性能。但當參數(shù)加速度上界小于其下界時必須輔以離線操作，削弱了在線軌跡規(guī)劃的優(yōu)勢。

針對上述問題，本文提出了一種改進的在線軌跡規(guī)劃方法來解決廣義參數(shù)加速度約束的問題，消除了加速度參數(shù)上界和下界必須分別為正和負的限制，并從理論上給出了改進的在線規(guī)劃算法的全局收斂性。為驗證所提的方法，本文設計了橢圓輪廓跟蹤仿真實驗、復雜曲線輪廓激光雕刻實驗，通過與已有方法對比驗證了本文所提方法的改進效果。

1 問題描述

在軌跡速度分解中，軌跡通常以參數(shù)化形式表示如下［10］：

其中，qd為時變軌跡，P（s）為路徑函數(shù)。

軌跡是時變的，因而可寫成復合函數(shù)形式：

根據(jù)鏈式求導法則，軌跡的速度和加速度為：

2 改進的在線軌跡規(guī)劃器

與文獻［14］的框架類似，本文提出的在線軌跡規(guī)劃器由邊界估計器和改進的非線性變結構濾波器兩部分組成。如圖1 所示，在關節(jié)空間中分配的運動學約束將轉換為參數(shù)空間中的參數(shù)速度和加速度的約束。將轉化后的參數(shù)速度和加速度的界限和期望時變參數(shù)律反饋到非線性濾波器，在轉化后的參數(shù)速度和加速度約束下，通過非線性濾波器在線規(guī)劃期望時變參數(shù)軌跡。

圖1 在線軌跡規(guī)劃框架Fig.1 Framework for online trajectory planning

2.1 邊界估計方法

在關節(jié)上指定的速度約束可以用分量形式描述為：

式中，i 為關節(jié)編號，n 為最大關節(jié)數(shù)。關節(jié)的加速度約束可以描述為：

根據(jù)式（5），關節(jié)速度q˙i的約束條件可以很容易地映射為參數(shù)速度s 的一個上界，通過

可以得到參數(shù)速度的最終上界s˙+可以表示為

為避免規(guī)劃的軌跡沿著路徑產生反向運動，參數(shù)速度約束的下界s˙-設為零，即s˙-=0。

類似地，基于式（6）和式（4），可得參數(shù)加速度的上下界為

其中，

2.2 非線性濾波器的改進

在多軸系統(tǒng)軌跡規(guī)劃中，參數(shù)加速度約束的上界和下界并不一定嚴格是正值和負值，針對該問題，本文提出了一種改進的非線性濾波器。對于一個期望時變參數(shù)函數(shù)r（t），以及由邊界估計器提供的s˙+?R+，s˙-=0，s¨+?R+和s¨-?R 等極限，所提出的非線性濾波器有望達到以下性能。

1）對于滿足給定約束條件的可行參考軌跡r（t），即

期望達到的目標是濾波器的輸出s（t）在最小的時間內達到跟蹤性能s（t）=r（t），且無超調。

2）如果不滿足式（13）中的約束條件，濾波器s（t）的輸出應該以最佳的方式逼近參考軌跡r（t），即參數(shù)加速度s¨必須強制在一個執(zhí)行周期內進入?yún)^(qū)間［］內，然后濾波器將在式（13）約束下保證其輸出跟蹤參考軌跡r（t）。

如圖1 所示，以參數(shù)加速度作為控制輸入，系統(tǒng)的動力學模型等效為兩個積分器的串聯(lián)。

引入si表示系統(tǒng)狀態(tài)，且令si=［］T。則狀態(tài)空間形式的系統(tǒng)動力學表示為［13］

其中，ui=，T 表示采樣時間。

根據(jù)式（14）知，對于以下離散形式的參考輸入

系統(tǒng)的誤差動力學公式為

采用文獻［14］中的變換來避免系統(tǒng)對采樣時間T 的顯式依賴

其中，

將式（17）代入式（16），則誤差動力學重新表述為

其中，

由于矩陣W 的非奇異性，可以通過將狀態(tài)z強制到原點來保證零跟蹤誤差，即yi=0。其次，設計一個非線性濾波器以保證zi的全局收斂性，該濾波器的第二狀態(tài)變量和控制輸入均受邊界估計器的約束。

需要注意的是，文獻［14］中的在線軌跡規(guī)劃器只有在參數(shù)加速度的上下限分別為正和負的假設下有效，即>0 和<0。下面提出的非線性濾波器放寬了這一限制，并考慮了廣義參數(shù)加速度約束?R和?R。為此，進行以下變換，得到參數(shù)速度和加速度的等價界：

其中，ε 是無窮小量且ε>0。

δ 的值由以下方程確定

參數(shù)γ，α，m 通過如下方法計算得到：

其中，式（30）表示參數(shù)的下限值。

非線性濾波器的最終控制輸入為

上述控制器所采用的滑動面經過精心設計，公式如下：

3 在線臨界曲線算法

4 實驗驗證

為驗證所提算法的有效性，本文在雙軸門架激光雕刻實驗臺上進行了橢圓輪廓跟蹤仿真實驗、復雜曲線輪廓激光雕刻實驗，通過實驗結果對所提出的在線軌跡規(guī)劃器的優(yōu)勢進行分析。

如圖2 所示，實驗臺主要由X 軸運動模組、Y軸運動模組、激光發(fā)生器、雕刻工作臺、以及固定支架等組成。其中，X、Y 軸分別由一臺伺服電機驅動，通過控制兩電動機的運動，實現(xiàn)激光發(fā)生器在二維空間內的運動。在激光發(fā)生器運動的過程中，控制激光束的開關狀態(tài)轉換，即可在工件上雕刻出連續(xù)或間斷的圖案痕跡。

圖2 實驗平臺Fig.2 The experiment platform

4.1 橢圓輪廓跟蹤仿真實驗設計

實驗以橢圓輪廓作為跟蹤目標，相對于圓形和方形等均勻曲線，橢圓的跟蹤難度更大。本文所選的橢圓長半軸為0.1 m，短半軸為0.06 m，對應兩個軸的位置、速度和加速度參考軌跡如圖3 所示。由于軌跡為橢圓，且目標是在1.5 s 內沿橢圓軌跡運行一周，角速度固定，由此直接求導計算的兩個軸的速度和加速度；實驗中設置的速度和加速度約束條件為x 軸0.6 m/s 和6 m/s2，y 軸為0.4 m/s 和3 m/s2。

圖3 橢圓輪廓參考軌跡Fig.3 Elliptic contour reference trajectory

從圖3 可以看出，參考軌跡在速度、加速度上均有超出實際限制的情況，需要在線規(guī)劃進行處理。此外，實驗中采用自抗擾跟蹤控制器對參考軌跡進行跟蹤。同時，本文選擇文獻［14］中提出的軌跡規(guī)劃器進行對比。

4.2 仿真實驗軌跡規(guī)劃結果分析

在橢圓輪廓跟蹤仿真實驗中，基于式（7）～式（10）和式（32），計算得到仿真曲線的軌跡規(guī)劃結果，如圖4 和圖6 所示。通過比較本文方法和對比方法的軌跡規(guī)劃結果，證明本文所提出的規(guī)劃器能夠解決廣義參數(shù)加速度約束和兩個潛在的穩(wěn)定性問題。

圖4 本文方法的規(guī)劃軌跡Fig.4 The planning trajectory obtained with the proposed method

規(guī)劃器的采樣周期設置為T=0.002 s，圖4 和圖5 都是matlab 仿真得到的曲線，分別為本文方法和對比方法的規(guī)劃結果；如圖5 所示，對比方法對應的軌跡規(guī)劃結果仍然在個別情況下會超出對應的約束限制，仍然存在軌跡規(guī)劃不理想的問題。從圖5可以看出，對比方法的x 軸加速度規(guī)劃值在0.72 s時超出給定上界，達到了7.43 m/s2，而且y 軸的加速度規(guī)劃值同樣在0.91 s 時達到了6.93 m/s2，兩個軸的加速度規(guī)劃值分別超過了設定加速度上限。

圖5 對比方法的規(guī)劃軌跡Fig.5 Planning trajectory obtained with the comparative method

相比之下，本文所提方法則可以很好地處理該問題，如圖4 所示，本文方法軌跡規(guī)劃結果都在電機約束范圍內，規(guī)劃結果符合物理約束，不會對電機執(zhí)行規(guī)劃的軌跡造成影響。通過對比，本文所提方法不會違反實驗設置的約束條件。

4.3 仿真實驗軌跡跟蹤結果分析

利用本文方法進行了橢圓輪廓跟蹤仿真實驗，本文所用設備準確跟蹤了經過在線規(guī)劃的參考軌跡。為了更清晰地展示仿真結果，繪制了包含x、y 位置與時間進度的三維曲線，如圖6 所示。與其對應的詳細的速度、加速度規(guī)劃曲線如圖4 所示。

圖6 軌跡跟蹤實驗Fig.6 Trajectory tracking experiment

圖6 中的實線為實驗曲線，分別是記錄的x 軸和y 軸的位置，虛線是與仿真一致的曲線跟蹤目標，即跟蹤角速度固定的橢圓軌跡。采樣和插補周期都是1 ms。為了便于觀察，圖6 將實驗結果通過三維形式呈現(xiàn)，以清晰表達參考軌跡與本文規(guī)劃軌跡之間的區(qū)別。圖中坐標軸x 和坐標軸y 分別為x 軸和y 軸的位置，坐標軸z 則為時間。從圖6 中可以看出，實際運行軌跡可以完成橢圓跟蹤任務，實現(xiàn)對給定參考軌跡的跟蹤，而且在t=0 的初始位置以及結束位置參考軌跡與實際軌跡重合。但是由于速度和加速度約束的限制，中間個別時間存在實際軌跡滯后于參考軌跡的現(xiàn)象，如圖中紅色虛線所示的玫紅色虛線高于藍色實線，這是由于參考軌跡的速度超出了電機軸實際可執(zhí)行的速度或加速度。隨著這段時間的結束，實驗裝置所輸出的實際曲線將彌補這部分的滯后誤差。

由圖4 可見，本文方法可以很好地處理速度和加速度超出實際限制條件的情況。對應到圖6 中，可以看到給定位置指令因速度和加速度超出實際限制而領先于實際輸出值，但本文方法可以在后續(xù)計算中充分利用加速度和速度邊界值實現(xiàn)規(guī)劃誤差的收斂，即實際輸出跟蹤上給定指令軌跡。綜上，結合圖4 與圖5 所示規(guī)劃結果對比，以及圖6 所示軌跡跟蹤實驗曲線，可知本文方法可實現(xiàn)約束條件下對參考軌跡的最優(yōu)跟蹤。

4.4 激光雕刻應用實驗

為了驗證本文方法的實用性，應用本文設計的算法，以圖7 所示圖案為雕刻對象，在雙軸門架激光雕刻實驗臺上進行了復雜曲線輪廓激光雕刻實驗，其中，被雕刻木板的尺寸為200 mm*200 mm。

圖7 激光雕刻圖案Fig.7 Laser engraving pattern

觀察圖7 可知，待加工的圖案不是簡單的直線或圓弧等規(guī)則曲線，而是輪廓比較復雜的多次非線性曲線，激光頭完全通過圖案每一個點的難度很大。另外，由于激光雕刻工藝的特點，若軌跡規(guī)劃不合理，很容易出現(xiàn)刻痕深淺不一、木板燒焦、精度差等雕刻質量低下的情況。綜上，復雜軌跡激光雕刻對軌跡規(guī)劃方法有較高的要求。

圖8 所示為激光雕刻實驗結果，由圖可見，雕刻軌跡光滑、無突變；雕刻痕跡深淺均勻，木板上沒有出現(xiàn)刻痕焦黑或燒焦的現(xiàn)象。進一步驗證了本文軌跡規(guī)劃方法的有效性及實際應用價值。

圖8 激光雕刻實驗結果Fig.8 The experiment result of the laser engraving

5 結論

本文提出了一種改進的在線軌跡規(guī)劃方法，通過對在線軌跡規(guī)劃器中非線性濾波器的改進解決了廣義參數(shù)加速度約束問題。同時，本文算法取消了參數(shù)加速度的上界和下界必須分別為正和負的限制，在線算法的實現(xiàn)也解決了以往軌跡規(guī)劃中可能存在的穩(wěn)定性問題。橢圓軌跡規(guī)劃和跟蹤仿真實驗驗證了所提出的在線軌跡規(guī)劃方法的正確性，證明了該算法在輪廓跟蹤任務中取得了顯著的性能改善；在試驗臺上進行的復雜曲線輪廓激光雕刻實驗，進一步驗證了本文軌跡規(guī)劃方法的有效性及實際應用價值。