張書森，孟秀云，丁 曉

（北京理工大學(xué)宇航學(xué)院，北京 100081）

0 引言

現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)態(tài)勢(shì)不斷發(fā)展，反導(dǎo)系統(tǒng)愈加完善，僅靠單枚導(dǎo)彈難以滿足作戰(zhàn)需要，多枚導(dǎo)彈協(xié)同攻擊能夠有效彌補(bǔ)單枚導(dǎo)彈突防能力不足、抗干擾能力差的缺陷，因此，多枚導(dǎo)彈協(xié)同攻擊更符合現(xiàn)代化信息作戰(zhàn)的需要［1］。

最早的多導(dǎo)彈協(xié)同攻擊策略是通過(guò)給各枚導(dǎo)彈設(shè)置相同的攻擊時(shí)間實(shí)現(xiàn)的，導(dǎo)彈個(gè)體之間互不干擾、獨(dú)立作戰(zhàn)，歸根結(jié)底研究的還是單枚導(dǎo)彈的制導(dǎo)問(wèn)題［2］，嚴(yán)格意義上講不屬于真正的協(xié)同，真正的協(xié)同無(wú)需在導(dǎo)彈發(fā)射前預(yù)置飛行時(shí)間，而是通過(guò)導(dǎo)彈在飛行過(guò)程中不斷的信息交互進(jìn)而達(dá)到攻擊時(shí)間一致［3］，為了實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的全方位打擊，在多導(dǎo)彈時(shí)間協(xié)同的基礎(chǔ)上，還要求導(dǎo)彈以期望的角度攻擊目標(biāo)，將導(dǎo)彈- 目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程建立在視線坐標(biāo)系下是一種較為常用的方法［4-6］，沿視線方向設(shè)計(jì)制導(dǎo)律可以協(xié)調(diào)導(dǎo)彈飛行的時(shí)間，沿視線法向設(shè)計(jì)制導(dǎo)律可以使導(dǎo)彈以特定的視線角攻擊目標(biāo)。

現(xiàn)有的制導(dǎo)律大多基于二維平面內(nèi)導(dǎo)彈- 目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型設(shè)計(jì)的，針對(duì)三維空間設(shè)計(jì)制導(dǎo)律的文獻(xiàn)較少，本文針對(duì)多枚導(dǎo)彈同時(shí)攻擊海面上機(jī)動(dòng)的艦船這一場(chǎng)景，設(shè)計(jì)一種有終端視線角約束的三維協(xié)同制導(dǎo)律，在視線方向上，區(qū)別于文獻(xiàn)［4-6］采用構(gòu)造關(guān)于時(shí)間的滑模面的方式，本文采用多智能體一致性理論設(shè)計(jì)時(shí)間協(xié)同制導(dǎo)律，制導(dǎo)算法相對(duì)簡(jiǎn)潔；在視線法向上，本文設(shè)計(jì)一種帶終端視線角約束的非奇異自適應(yīng)滑模制導(dǎo)律，精度高且收斂速度快，最后選取特定場(chǎng)景對(duì)所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

1 導(dǎo)彈目標(biāo)三維相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型

本文將導(dǎo)彈- 目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程建立在視線坐標(biāo)系下，如圖1 所示，MXLYLZL為視線坐標(biāo)系，OXIYIZI為慣性坐標(biāo)系，qθ、qφ分別為視線傾角和視線偏角。

圖1 三維空間彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)幾何關(guān)系圖Fig.1 Geometric relation diagram of relative motion between missile and target in three-dimensional space

相對(duì)速度在視線坐標(biāo)系下的表達(dá)如下：

式中，VR為彈目接近速度，ω 為視線坐標(biāo)系相對(duì)大地坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)角速度，R 為彈目相對(duì)距離。

在視線坐標(biāo)系下有：

根據(jù)視線坐標(biāo)系與大地坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系有：

將式（2）、式（3）代入式（1）可得：

根據(jù)牛頓第二定律有：

將式（3）、式（4）代入式（5）可得三維空間下導(dǎo)彈-目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程組形式如下：

其中，aM=［aMxaMyaMz］T為導(dǎo)彈在視線坐標(biāo)系下三軸方向的加速度，aT=［aTxaTyaTz］T為目標(biāo)在視線坐標(biāo)系下三軸方向的加速度，本文的目的在于通過(guò)設(shè)計(jì)沿視線方向上的加速度aMx，使得多枚導(dǎo)彈同時(shí)擊中目標(biāo)；通過(guò)設(shè)計(jì)沿視線法向上的加速度aMy、aMz，一方面使得視線角速率在導(dǎo)彈接近目標(biāo)的過(guò)程中快速趨近于零，另一方面控制導(dǎo)彈在末端以期望的視線角攻擊目標(biāo)。

2 三維協(xié)同制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

2.1 視線方向上制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

定理1［7］：如果存在一個(gè)含有n 個(gè)節(jié)點(diǎn)的系統(tǒng)可以用G=（V，E，A）描述，并且節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)可以用一階動(dòng)態(tài)環(huán)節(jié)表達(dá)，那么對(duì)于任意給定的初值ξi（0），?i?V，當(dāng)t→∞時(shí)，有ξi=ξj，?i，j?V，則稱系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)之間的狀態(tài)能夠達(dá)到漸進(jìn)一致。

式中，ξi?Rm用于描述第i 個(gè)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)；ui?Rm用于描述第i 個(gè)節(jié)點(diǎn)的輸入。

一種常見(jiàn)的一致性算法表達(dá)形式如下：

假設(shè)節(jié)點(diǎn)間的通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)保持固定，采用式（8）的控制算法，使得系統(tǒng)狀態(tài)能夠達(dá)到漸進(jìn)一致的必要條件是G 中存在有向生成樹(shù)，系統(tǒng)最終的一致?tīng)顟B(tài)由狀態(tài)初值、通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和加權(quán)矩陣共同決定［8］。特別地，如果G 是無(wú)向圖，那么系統(tǒng)狀態(tài)將會(huì)達(dá)到平均一致，一致?tīng)顟B(tài)為：

為方便起見(jiàn)，令導(dǎo)彈同時(shí)啟動(dòng)發(fā)射的時(shí)刻為時(shí)間原點(diǎn)，記為t=0 時(shí)刻，在此后的飛行過(guò)程中，記Ri為t 時(shí)刻第i 枚導(dǎo)彈與目標(biāo)的相對(duì)距離，vi為t 時(shí)刻第i 枚導(dǎo)彈與目標(biāo)的接近速度，Ri、vi均是關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)。

對(duì)Ri關(guān)于時(shí)間t 求導(dǎo)有：

式中，Ri的值可以根據(jù)導(dǎo)彈和目標(biāo)的位置坐標(biāo)求出，vi的值可以分別將導(dǎo)彈和目標(biāo)的速度投影到視線坐標(biāo)系下得到。

根據(jù)求得的Ri和vi，即可估計(jì)出第i 枚導(dǎo)彈擊中目標(biāo)的時(shí)刻為：

式中，i=Ri/vi為第i 枚導(dǎo)彈在當(dāng)前時(shí)刻下的期望攻擊時(shí)間（expected time-of-attack，ETA）。

根據(jù)式（10），顯然有：

由式（11）可以看出，多枚導(dǎo)彈同時(shí)擊中目標(biāo)即擊中時(shí)刻一致，等價(jià)于在某一時(shí)刻t 之后各導(dǎo)彈的期望攻擊時(shí)間一致。

將式（10）兩邊同時(shí)對(duì)時(shí)間t 求導(dǎo)，并將式（9）代入可得：

將式（9）兩邊同時(shí)對(duì)時(shí)間t 求導(dǎo)：

將式（13）與式（6）第1 式代入式（12）可得：

令ui=α（i-v）ii/vi，將對(duì)aMx的控制轉(zhuǎn)化為對(duì)ui的控制，顯然有

式（16）滿足定理1，ζi為狀態(tài)變量，因此，上述所設(shè)計(jì)的算法能夠使各枚導(dǎo)彈的擊中時(shí)刻達(dá)到漸進(jìn)一致，即實(shí)現(xiàn)多導(dǎo)彈協(xié)同攻擊。

由于ζi與i等價(jià)，選取i作為狀態(tài)變量，參照式（8）、式（15）可以得到一種簡(jiǎn)潔的分布式控制算法：

根據(jù)式（17），通過(guò)設(shè)計(jì)導(dǎo)彈之間的通訊拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和加權(quán)鄰接矩陣，即可計(jì)算出各枚導(dǎo)彈的速度指令，從而得到所需要的視線方向加速度指令，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)多枚導(dǎo)彈期望攻擊時(shí)間一致。

2.2 視線法向上制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

在進(jìn)行視線方向上的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)之前，首先簡(jiǎn)要介紹有限時(shí)間理論，方便后續(xù)制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)與證明。

定理2 考慮如下非線性系統(tǒng)［9］：

假設(shè)在系統(tǒng)原點(diǎn)的鄰域U?Rn內(nèi)存在一個(gè)連續(xù)函數(shù)V（x，t），并且函數(shù)V（x，t）具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，如果再存在一個(gè)大于零的實(shí)數(shù)α，使得V（x，t）在U 上是正定的，并且使得V˙（x，t）+αVλ（x，t）在U 上是半負(fù)定的，其中，λ∈（0，1），那么稱系統(tǒng)（18）的原點(diǎn)可以達(dá)到有限時(shí)間穩(wěn)定。

因?yàn)閂（x，t）是正定的，將式（19）左右兩邊同時(shí)對(duì)時(shí)間t 積分，可以得到

且有

終端時(shí)刻tr取決于初始值x（0）=x0，那么有V（x，0）=V（x0），上界滿足

其中，x0是系統(tǒng)原點(diǎn)附近某一開(kāi)域的任意一點(diǎn)，證畢。

在導(dǎo)彈飛向目標(biāo)的過(guò)程中，導(dǎo)彈和目標(biāo)相對(duì)距離的變化率小于零，因此，只要控制視線角的變化率為零，就能保證導(dǎo)彈擊中目標(biāo)［10］，同時(shí)考慮到有期望終端視線角的約束，選取視線角速率和視線角誤差為狀態(tài)變量，法向加速度為控制輸入，具體定義如下：

其中，qθf(wàn)、qφf(shuō)為期望的終端視線傾角和視線偏角。

根據(jù)三維空間內(nèi)導(dǎo)彈-目標(biāo)相對(duì)式（6）可以得到狀態(tài)方程表達(dá)如下：

對(duì)于上述系統(tǒng)構(gòu)造滑模面：

式中，s1、s2的表達(dá)形式設(shè)計(jì)如下：

其中，β1、β2=const>0，0<α1、α2=const<1，s1表示縱向運(yùn)動(dòng)滑模面，s2表示側(cè)向運(yùn)動(dòng)滑模面。

在趨近律方面構(gòu)造一種自適應(yīng)滑模趨近律，以保證系統(tǒng)有良好的動(dòng)態(tài)特性：

式中，ε=［ε1ε2］T。它的物理意義是在制導(dǎo)初期彈目相對(duì)距離R 較大，趨近滑模面的速率要小，而隨著導(dǎo)彈不斷地逼近目標(biāo)，趨近滑模面的速率不斷加快，確保導(dǎo)彈在擊中目標(biāo)前系統(tǒng)能夠進(jìn)入滑動(dòng)模態(tài)。

將式（24）兩邊同時(shí)對(duì)時(shí)間t 求導(dǎo)并將式（22）、式（25）代入可以得到制導(dǎo)律形式如下：

值得注意的是：控制率u1、u2中含有x1和x3的指數(shù)項(xiàng)，當(dāng)x1和x3趨近于0 時(shí)會(huì)出現(xiàn)奇異問(wèn)題，因此，采用非線性方法對(duì)其進(jìn)行限幅處理，即：

至此，有終端視線角約束的三維制導(dǎo)律設(shè)計(jì)完畢，利用式（26）中的制導(dǎo)方法，能夠保證三維制導(dǎo)系統(tǒng)（22）在有限時(shí)間內(nèi)收斂到滑模面s=0，并且在滑模面s=0 上系統(tǒng)的狀態(tài)也能在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零。

證明：選取李雅普諾夫函數(shù)V1=sTs，顯然V1正定。

對(duì)V1求導(dǎo)，并將制導(dǎo)律表達(dá)式（26）代入，整理得到：

式中，ε=min（ε1，ε2）

由定理2 可知，制導(dǎo)系統(tǒng)（22）能夠在有限時(shí)間內(nèi)收斂到滑模面s=0 上。

而在滑模面s1=0 上，有：

選取新的李雅普諾夫函數(shù)V2=，顯然V2正定。對(duì)V2求導(dǎo)，有：

當(dāng)α1∈（0，1）時(shí)，有∈（0，1），根據(jù)定理2 可知，系統(tǒng)狀態(tài)在終端滑模面s1=0 能夠在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零，同理可證系統(tǒng)狀態(tài)在終端滑模面s2=0 也能夠在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零。

3 仿真結(jié)果與分析

為了說(shuō)明本文所設(shè)計(jì)的三維空間內(nèi)有終端視線角約束的協(xié)同制導(dǎo)律的有效性，接下來(lái)針對(duì)4 枚導(dǎo)彈同時(shí)攻擊一個(gè)在海平面上作機(jī)動(dòng)航行的艦船這一場(chǎng)景，對(duì)制導(dǎo)律表達(dá)式（17）、式（26）進(jìn)行仿真驗(yàn)證，4 枚導(dǎo)彈之間的通訊拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)由圖2 給出，4枚導(dǎo)彈的初始位置、初始速度以及所期望的末端攻擊視線角如表1 所示，每枚導(dǎo)彈能承受的最大過(guò)載為50，g 取9.8 m/s2，仿真步長(zhǎng)取10 ms，同時(shí)為了抑制滑模態(tài)出現(xiàn)抖振現(xiàn)象，用以下的飽和函數(shù)來(lái)替代符號(hào)函數(shù)sgn（s），并取δ=0.01。

圖2 導(dǎo)彈間的通訊拓?fù)銯ig.2 Communication topology between missiles

目標(biāo)艦船的初始位置為（5 000 m，0 m，5 000 m），航行速度VT=30 m/s 恒定，初始航跡偏角為10°，并以aT=5sin（0.01t）m/s2的加速度作側(cè)向機(jī)動(dòng)，控制參數(shù)選取如下：α1=α2=0.9，β1=0.4，β2=0.2，ε1=ε2=0.2。

4 枚導(dǎo)彈的三維運(yùn)動(dòng)軌跡、彈目相對(duì)距離、預(yù)估剩余飛行時(shí)間、沿視線方向的過(guò)載nx、縱向平面內(nèi)沿視線法向的過(guò)載ny、側(cè)向平面內(nèi)沿視線法向的過(guò)載nz、視線傾角、視線偏角、視線傾角角速率和視線偏角角速率隨時(shí)間的變化曲線如圖3～圖12 所示。

圖3 彈目三維運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.3 3-D trajectory of missile and target movement

由圖3 和圖4 可以看出，即使起始點(diǎn)位置不同，但在本文設(shè)計(jì)協(xié)同制導(dǎo)律的控制作用下，4 枚導(dǎo)彈依然能夠從不同的方向沿不同路徑同時(shí)擊中在海平面上機(jī)動(dòng)的目標(biāo)。由圖5 可以看出，在分布式控制算法（17）的作用下，4 枚導(dǎo)彈在制導(dǎo)初期通過(guò)信息交互協(xié)調(diào)剩余攻擊時(shí)間，大約在5 s 時(shí)各導(dǎo)彈的剩余攻擊時(shí)間能夠達(dá)成一致。圖6 反映了4 枚導(dǎo)彈沿視線方向的過(guò)載隨時(shí)間的變化情況，過(guò)載在前5 s 變化迅速，之后逐漸趨于穩(wěn)定，這是因?yàn)樵谥茖?dǎo)前期需要過(guò)載指令的變化從而控制各導(dǎo)彈的飛行速度，進(jìn)而使各導(dǎo)彈的剩余攻擊時(shí)間達(dá)成一致，實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的協(xié)同打擊，這與圖5 所示的現(xiàn)象吻合。圖7 和圖8 反映了4 枚導(dǎo)彈沿視線法向的過(guò)載隨時(shí)間的變化情況，為了使視線角速率快速收斂至零，導(dǎo)彈過(guò)載在前期指令較大且變化較為劇烈，之后隨著視線角速率逐漸趨近于零導(dǎo)彈過(guò)載也隨之變?yōu)槠骄彶⑹諗恐亮?，過(guò)載曲線光滑且抖振抑制效果明顯。圖9～圖12 表明，在本文所設(shè)計(jì)的協(xié)同制導(dǎo)律的作用下，彈目視線傾角和視線偏角能在有限時(shí)間內(nèi)收斂到期望值，同時(shí)，彈目視線傾角角速率和視線偏角角速率能在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零。以上的分析結(jié)果表明，本文設(shè)計(jì)的有終端視線角約束的協(xié)同制導(dǎo)律，能夠保證4 枚導(dǎo)彈以期望的終端視線角同時(shí)擊中目標(biāo)，驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)的協(xié)同制導(dǎo)律的有效性。

圖4 彈目相對(duì)距離Fig.4 Relative distancebetween missile and target

圖5 剩余時(shí)間Fig.5 Time left

圖6 視線方向過(guò)載指令nxFig.6 Overload command along LOS

圖7 視線法向過(guò)載指令nyFig.7 Normal overload command ny of LOS

圖8 視線法向過(guò)載指令nzFig.8 Normal overload command nz of LOS

圖9 視線傾角Fig.9 Line of sight inclinationangle

圖10 視線偏角Fig.10 Line of sight deflectionangle

圖11 視線傾角角速度Fig.11 Line of sight inclinationpalstance

圖12 視線偏角角速度Fig.12 Line of sight deflection palstance

圖13 通訊拓?fù)淝袚QFig.13 Communication topology switching

以上仿真是假定導(dǎo)彈間的通訊拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)固定不變的，下面考慮拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)切換的情況，文獻(xiàn)［11］表明對(duì)于一致性算法式（8），即使系統(tǒng)存在隨時(shí)間切變的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，但只要保證每一相鄰有限時(shí)間隔內(nèi)所有切換子圖的并集存在有向生成樹(shù)，系統(tǒng)的狀態(tài)還是能夠在有限時(shí)間內(nèi)收斂到一致，只不過(guò)子圖切換的頻率會(huì)影響系統(tǒng)的收斂速度。

在以上仿真條件的基礎(chǔ)上，假設(shè)第3 枚導(dǎo)彈由于通訊故障在2 s 時(shí)刻與系統(tǒng)失去鏈接，在10 s 時(shí)刻恢復(fù)鏈接，即導(dǎo)彈之間的通訊拓?fù)浒凑請(qǐng)D3 所示的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)切換。

4 枚導(dǎo)彈的彈目相對(duì)距離和預(yù)估剩余時(shí)間的變化曲線如下頁(yè)圖14 和圖15 所示。

圖14 剩余時(shí)間Fig.14 Time left

圖15 彈目相對(duì)距離Fig.15 Relative distance between missile and target

由圖14 可以看出，2 s 時(shí)第3 枚導(dǎo)彈與系統(tǒng)失去鏈接，導(dǎo)致其無(wú)法與其他3 枚導(dǎo)彈達(dá)成時(shí)間一致，10 s 后恢復(fù)鏈接，新的拓?fù)鋱D存在有向生成樹(shù)，使得4 枚導(dǎo)彈重新達(dá)成時(shí)間一致，圖15 表明即使系統(tǒng)在時(shí)間段內(nèi)存在無(wú)向的通訊拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖，但在整個(gè)有限時(shí)間段內(nèi)系統(tǒng)所有子圖的并圖存在有向生成樹(shù)，所以依然能夠保證4 枚導(dǎo)彈同時(shí)擊中目標(biāo)。

4 結(jié)論

本文針對(duì)導(dǎo)彈的協(xié)同攻擊問(wèn)題，在視線坐標(biāo)系下建立了導(dǎo)彈-目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型，在此基礎(chǔ)上基于一致性理論設(shè)計(jì)了視線方向上的制導(dǎo)律，基于有限時(shí)間理設(shè)計(jì)了視線法向上的非奇異滑模制導(dǎo)律；對(duì)所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律給出了穩(wěn)定性證明；通過(guò)數(shù)學(xué)仿真實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)制導(dǎo)律的性能品質(zhì)。仿真結(jié)果表明，所設(shè)計(jì)制導(dǎo)律能夠使得多枚導(dǎo)彈以期望的視線角同時(shí)擊中目標(biāo)，具有一定的工程意義。本文考慮了目標(biāo)機(jī)動(dòng)方式已知的情況，后續(xù)可通過(guò)設(shè)計(jì)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器估計(jì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)，從而設(shè)計(jì)考慮目標(biāo)機(jī)動(dòng)未知情況下的協(xié)同制導(dǎo)律。