鄒良浩 ，潘小旺 ，樊星妍 ?，梁樞果

（1.武漢大學 土木建筑工程學院，湖北 武漢 430072；2.湖北省城市綜合防災與消防救援工程技術研究中心（武漢大學），湖北 武漢 430072）

為方便高層建筑抗風設計，結構風工程界提出了等效靜力風荷載的概念［1-3］.等效靜力風荷載能反映動力荷載下結構的極值響應，被廣泛應用于結構抗風設計中［4-7］.

對于質(zhì)量中心和剛度中心重合的傳統(tǒng)非偏心高層建筑，其在風荷載作用下的順風向、橫風向和扭轉(zhuǎn)向的風致響應互不相關，因此可以單獨計算分析而不用考慮各方向之間的荷載相關性［8］.針對非偏心高層建筑等效靜力風荷載的研究，最早可以追溯到Davenport［9］提出的陣風荷載因子法（Gust Loading Factor，GLF）.在此基礎上，又有多位學者針對此方法進行了改進和發(fā)展［10-13］.

在實際工程中，有相當一部分建筑出現(xiàn)質(zhì)量和剛度中心發(fā)生偏離的情況，如南寧華潤大廈、深圳華僑城大廈等［14-15］.這些偏心結構的彎曲振型和扭轉(zhuǎn)振型相互耦合［16］，再加上結構三維氣動力的相關性，大大增加了該類建筑三維風振響應與等效靜力風荷載評估的難度.Kareem［17］發(fā)現(xiàn)橫風向和扭轉(zhuǎn)向的耦合作用將大大增加結構風致響應.Islam 等［18］發(fā)現(xiàn)結構偏心會導致扭轉(zhuǎn)加速度響應顯著增加.

目前針對偏心結構風效應的研究大多集中在響應計算方面［19-20］，在等效靜力風荷載方面的研究相對較少.Chen 等［21-22］提出了一種偏心高層建筑考慮耦合情況的三維等效靜力風荷載計算方法，并通過高頻測力天平試驗驗證了該方法的合理性.該方法采用的廣義荷載模型只能考慮結構一階振型的貢獻，其等效靜力風荷載沿高分布采用了一定的近似處理方法.然而，三維等效靜力風荷載的沿高分布情況在高層建筑抗風設計中至關重要，它不僅反映了結構不同高度處的受荷情況，也直接決定了對應高度輸出的響應大小［23］.

與廣義荷載模型相比，通過多點同步測壓試驗可以得到建筑風荷載準確的沿高分布，近年來被廣泛應用于結構抗風風洞試驗項目與等效靜力風荷載的研究中［24-25］.汪大海等［26］利用多點同步測壓試驗，建立了基于層內(nèi)力等效且可考慮荷載沿高分布的順風向靜力風荷載模型.鄒良浩等［27］推導了可考慮高階振型貢獻的非偏心高層建筑三維等效靜力風荷載評估方法.以上研究對象為非偏心結構，暫未考慮偏心結構等效靜力風荷載評估方法.

鑒于此，本文在非偏心截面三維等效靜力風荷載評估方法的基礎上，結合剛性模型測壓試驗，推導了偏心高層建筑耦合體系的各層擬靜力項與慣性力項的內(nèi)力響應計算公式.在此基礎上，得到了以偏心結構各層內(nèi)力響應為等效目標且可考慮其沿高分布的三維等效靜力風荷載.同時，通過比較3 種不同矩形截面高層建筑在6 種偏心率下的結構等效靜力風荷載，分析了荷載相關性、結構偏心率和截面長寬比對等效靜力風荷載的影響.

1 偏心高層建筑風致內(nèi)力響應分析

1.1 結構風致響應分析

將高層建筑簡化為串聯(lián)力學層間模型進行風振分析，如圖1 所示.其風致響應可由動力學基本方程計算得到：

圖1 高層建筑結構簡化模型示意圖Fig.1 Sketch map of high-rise building structure models

式中：t為時間；P(t)為結構隨機風荷載（力或扭矩）向量；Y(t)為結構位移（角位移）向量；M、C和K分別為結構質(zhì)量（轉(zhuǎn)動慣量）、阻尼和剛度矩陣.

對于質(zhì)心與形心重合，而剛心偏離的高層建筑（如圖1 所示），每層有2 個平動和1 個轉(zhuǎn)動自由度，結構的總自由度數(shù)為3n.以每層質(zhì)心CMi為坐標原點對三維風荷載進行正交分解，即認為荷載作用于每層樓板的質(zhì)心，樓板上任一點的運動均可視為隨樓板質(zhì)心的平動和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的合成，CKi為相應樓層的剛度中心.結構橫風向x和順風向y與扭轉(zhuǎn)方向θ相互耦合，對于耦合結構體系，其M、C和K可表示如下：

式中：Yx(t)、Yy(t)和Yθ(t)以及Px(t)、Py(t)和Pθ(t)分別為結構x、y和θ方向的位移和荷載向量；ex、ey、eθ分別為結構x、y和θ方向偏心距離.

采用振型分解法，令

將式（6）代入式（1）中，解耦可以得到關于第i階振型的廣義坐標qi(t)：

對于三維耦合振動結構，其各階振型頻率十分接近，因此其振型交叉項不可忽略.根據(jù)隨機振動頻域法，其第i階振型和第m階振型廣義坐標加速度協(xié)方差可表示為：

式中：SP(ω)為結構荷載譜矩陣，對于三維耦合結構，其三維風荷載譜如下.

式中：Ssc(ω)(s=x，y，θ；c=x，y，θ)為結構s方向和c方向風荷載互譜矩陣，該三維風荷載譜可由多點測壓風洞試驗得到，也可由現(xiàn)有的三維風荷載譜擬合經(jīng)驗公式得到.

1.2 風致內(nèi)力響應分析

在脈動風荷載作用下，結構內(nèi)力可看作其彈性恢復力，由式（1）可計算如下：

對于高層建筑等小阻尼體系，可略去阻尼項，這里忽略阻尼力分量并不意味著忽略建筑物的模態(tài)阻尼比.事實上，建筑物的模態(tài)阻尼對于評估方程式（1）中的風致響應至關重要，并且在推導模態(tài)方程（6）的解時已經(jīng)充分考慮了它的影響，則彈性恢復力近似解可表示為：

式中：δ為截斷振型數(shù)；等式右邊第一項為擬靜力項部分，僅與外部風荷載有關；第二項為慣性力項部分，考慮到高層建筑結構頻率一般隨振型階數(shù)變化增長較快，等式右邊第二項中改善了收斂性.

可令fB(t)=P(t)為擬靜力項，相當于風荷載的背景分量為慣性力項，是相關的諧振分量，則風致彈性力可以重寫為：

彈性恢復力f(t)的協(xié)方差矩陣，在忽略相比其他兩項很小的交叉項后，可表示為：

對于三維耦合結構體系，不失一般性，結構擬靜力項和慣性力項第n層的x、y和θ項任意內(nèi)力響應方差可表示如下：

對于剪力或扭矩響應：

式中：zi和zm分別為結構第i層和第m層樓層標高.

對于剪力、扭矩和彎矩響應：

1.3 內(nèi)力等效靜力風荷載評估

高層建筑s方向第n層在各風向角下內(nèi)力等效靜力風荷載可統(tǒng)一表示為：

將上述推導代入相關參數(shù)，并結合結構荷載譜信息，結構各方向第n層擬靜力項內(nèi)力方差表示為：

考慮內(nèi)力等效，則由擬靜力項等效靜力風荷載引起的各方向第n層內(nèi)力等于擬靜力項引起的第n層內(nèi)力響應均方根：

將式（25）～（30）聯(lián)立可得各層擬靜力項等效靜力風荷載.各方向第n層慣性力項內(nèi)力方差為：

考慮內(nèi)力等效，則由慣性力項等效靜力風荷載引起的各方向第n層內(nèi)力應該等于慣性力項引起的第n層內(nèi)力響應均方根：

將式（31）～（36）聯(lián)立可以求得各層慣性力項等效靜力風荷載.需要說明的是，為了保持統(tǒng)一，等效靜力風荷載作用點仍為建筑每層的質(zhì)心.

2 風洞試驗

結構剛性模型測壓試驗在武漢大學WD-1 邊界層風洞實驗室進行.試驗模擬C 類地貌如圖2 所示，模擬風速譜如圖3 所示.模型長寬比共3 種，截面為矩形，模型參數(shù)見表1，幾何縮尺比均為1/400，用來模擬360 m 高、72 層的矩形截面高層建筑，每個模型布置6 層共192 個測壓點，模型照片如圖4 所示.定義偏心率為rx=2ex/B，ry=2ey/D，每個試驗模型計算工況參數(shù)見表2.為簡單起見，設所有樓層的結構偏心率相同，以長寬比為1∶1的模型M1為例，圖5顯示了每個偏心情況下質(zhì)心CM和剛度中心CK的位置.

表1 模型參數(shù)統(tǒng)計表Tab.1 Model parameters

表2 不同計算工況偏心率Tab.2 Eccentricities of different calculation conditions

圖2 平均風速與C類地貌湍流度模擬Fig.2 Simulation of average velocity and turbulence profile of class C boundary layer

圖3 歸一化風速譜Fig.3 Normalized wind speed power spectrum

圖4 試驗模型Fig.4 Tested models

圖5 M1模型偏心示意圖（B/D=1/1）Fig.5 Eccentricity cases in building M1（B/D=1/1）

采用的剛性模型試驗暫未考慮氣彈效應的影響，此部分誤差可以通過引入氣彈參數(shù)進行修正，已有不少學者對此進行了研究并給出了氣彈參數(shù)建議值［28-30］.

3 算例與分析

3.1 建立模型

根據(jù)不同截面模型的長寬比建立360 m 高的M1、M2、M3 有限元模型，以確定結構的動態(tài)特性.表3列出了每棟建筑模型構件的詳細信息，圖6為三座建筑物有限元模型立面和截面示意圖.需要指出的是，此有限元模型是非偏心模型，在得到非偏心結構的特征矩陣后（即質(zhì)量和剛度矩陣），引入不同工況下的偏心距e，利用公式（2）～（4）得到偏心結構的質(zhì)量和剛度矩陣，最終代入下述特征方程得到偏心結構的模態(tài)屬性：

表3 有限元模型構件尺寸Tab.3 Dimensions of structural elements of the FEM buildings

圖6 M1、M2和M3建筑結構體系（單位：m）Fig.6 Structural systems of building M1、M2 and M3（unit：m）

式中：K、M分別為偏心結構的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣；ω和φ分別為所求的頻率和振型.

根據(jù)有限元建立非偏心模型，得到其前6 階振型頻率，見表4.圖7 為非偏心結構前3 階振型圖，對于非偏心結構每階頻率只呈現(xiàn)一個主要模態(tài).若以雙偏心在偏心率為30%時為例，圖8 顯示了每種結構的前3階振型，此時偏心建筑出現(xiàn)耦合振型.

表4 結構前6階頻率Tab.4 The first six frequencies of the structure

圖7 非偏心結構的前3階振型Fig.7 First three mode shapes of constructed buildings without structural eccentricities

圖8 偏心結構的前3階振型Fig 8 The first three modes of the eccentric structure with structural eccentricities

在確定偏心高層建筑等效靜力風荷載時，需要考慮模態(tài)相關性以及荷載相關性.其中，Chen［21-22］等學者對模態(tài)相關而導致SRSS 和CQC 結果之間存在的差異進行了系統(tǒng)的研究，而荷載相關性對等效靜力風荷載的影響卻少有學者涉及.由方程式（31）和（36）可以看出，橫風向、順風向和扭轉(zhuǎn)風荷載都將影響偏心建筑物的風致扭矩.由于等效靜力風荷載是根據(jù)內(nèi)力等效性確定的，因此等效靜態(tài)扭轉(zhuǎn)風荷載將受到荷載相關性的影響，本節(jié)除了要考慮結構偏心率和截面長寬比的影響外，還將研究荷載相關性對高層建筑等效靜力風荷載的影響.

3.2 不同計算方法下的等效靜力風荷載

為比較廣義風荷載模型和本文提出的沿高分布的荷載模型在計算等效靜力風荷載時的差異，以雙偏心且偏心率為30%的高層建筑M1模型為例，采用廣義荷載（Generalized Wind Loading，GWL）模型和沿高分布荷載（Along-height Distributed Wind Loading，AWL）模型計算結構等效靜力風荷載.圖9（a）～（c）為采用兩種不同計算方法得到的等效靜力風荷載對比圖.圖9（a）為順風向等效靜力風荷載對比情況，可以看出，在1/2H高度以下的等效剪力被低估了，在60 m 時出現(xiàn)最大絕對誤差-120 kN，相對誤差達到31%.而在4/5H高度范圍等效靜力風荷載又被過多地考慮，在300 m 時相對誤差達13%.圖9（b）和圖9（c）為橫風向和扭轉(zhuǎn)向等效靜力風荷載對比情況，橫風向在較低高度時等效靜力風荷載相對誤差甚至超過了100%，扭轉(zhuǎn)向在個別樓層相對誤差也達到了30%.

圖9 不同計算方法下的等效靜力風荷載對比Fig 9 Comparison of ESWLs under different methods

上述結果表明，雖然使用兩種風荷載模型得到的等效靜力風荷載的總體趨勢接近，但在多數(shù)特定樓層結果顯示出顯著差異.直接原因是廣義風荷載模型缺乏風荷載的空間信息，不能考慮樓層間荷載相關性，而沿高度分布風荷載模型可以彌補此種不足.因此，采用本文提出的等效靜力風荷載分析方法可以更準確和清晰地體現(xiàn)等效靜力風荷載在結構上的沿高分布，結果可為相關設計人員提供參考.

3.3 荷載相關性對等效靜力風荷載的影響

從前述1.3 節(jié)公式（25）～（36）可以看出，體現(xiàn)荷載相關性的Sxθ、Syθ和μxθ、μyθ等項并不會影響水平方向x、y的等效剪力，因此本節(jié)將僅研究荷載相關性對等效扭矩的影響.圖10 為荷載相關性對等效扭矩背景分量和共振分量的影響，其中橫坐標Twith為考慮荷載相關效應的各樓層等效扭矩，Tnot為忽略荷載相關效應的各樓層等效扭矩.

圖10 荷載相關性對等效扭矩的影響Fig.10 The effect of load-correlation on the equivalent torques

如圖10（a）所示，對于順風向、橫風向和雙向偏心的情況，背景等效扭矩值都在斜對角線以下，表明不考慮荷載相關性會低估偏心高層建筑的正等效扭矩或高估負等效扭矩.特別地，對于順風向偏心和雙偏心情況，等效扭矩受荷載相關性的影響更大，這是因為橫風與扭轉(zhuǎn)方向之間的荷載相關性強于順風和扭轉(zhuǎn)方向之間的荷載相關性.因此，耦合貢獻項在順風偏心和雙偏心模型情況下對風致響應的影響大于橫風向偏心情況.如圖10（b）所示，共振分量在考慮和不考慮荷載相關效應時差異同樣明顯，所有工況下等效扭矩的共振分量散點都低于斜對角線.因此，在估計等效扭矩的背景和共振分量時，應特別考慮荷載相關性的影響.

3.4 結構偏心率對等效靜力風荷載的影響

不同的結構偏心率會產(chǎn)生不同的結構耦合效果，也意味著帶來不同的等效靜力風荷載.因此，本節(jié)將研究結構不同偏心率對等效靜力風荷載的影響.文中第3.4節(jié)和第3.5節(jié)中的等效靜力風荷載為公式（24）中定義的總等效靜力風荷載，且峰值因子取2.5.

引入用來描述結構偏心對等效靜力風荷載的偏心因子ηr，其定義如下所示：

式中：PSecc為偏心結構等效基底靜力風荷載；PSsym為非偏心結構等效基底靜力風荷載；下標S 可為x、y和θ，分別對應橫風、順風或扭轉(zhuǎn)方向.

圖11（a）～（c）依次為順風向、橫風向和扭轉(zhuǎn)向等效基底荷載的偏心因子比較.偏心因子ηr=1 時表明偏心對結構等效靜力風荷載沒有影響，當該值偏離1 時表明偏心對結構等效靜力風荷載存在影響，且偏離值越大影響越大.如圖11（a）和（b）所示，無論哪種偏心以及偏心程度，偏心因子在1 附近基本不變，這說明結構偏心對x、y方向等效靜力風荷載的影響是微不足道的.相比之下，結構偏心對等效靜風扭矩有顯著影響.如圖11（c）所示，當結構為順風向偏心時，偏心因子與結構偏心率負相關，在偏心率為40%時，ηr出現(xiàn)最小值0.66.對于橫風向偏心和雙偏心情況，偏心因子隨著偏心率的增加而快速增加.特別是對于橫風向偏心情況，在偏心率為50%時對結構等效扭矩影響最大，此時偏心因子為3.17.因此，可以說明當結構存在橫風向偏心時對扭轉(zhuǎn)向等效靜力風荷載影響最為明顯且偏心率越大影響越大.

圖11 結構偏心對等效靜力風荷載的影響Fig.11 Influence of eccentricity on ESWLs

3.5 截面長寬比對等效靜力風荷載的影響

對于矩形截面高層建筑，不同的長寬比代表著具有不同的迎風寬度和深度，也將承受著不同的風荷載，因此本節(jié)將討論截面長寬比對等效靜力風荷載的影響，引入上節(jié)所述的偏心因子ηr來衡量影響程度.在3.4節(jié)中可以看出結構偏心幾乎不影響兩個水平方向上的等效基底剪力，因此本節(jié)僅討論等效基底扭矩.

如圖12 所示，可以明顯地看出所有工況下偏心因子都偏離1，即三種不同截面形式結構的等效扭矩會受到結構偏心影響.其中，偏心因子隨著長寬比的變化而變化，當D/B=1/2 時偏心因子的范圍為0.40～2.72，D/B=1/1 時偏心因子范圍為0.66～2.65，在長寬比D/B達到最大的2/1 時范圍縮小至0.39～1.26.換言之，具有較大長寬比的建筑物往往受結構偏心的影響更小.這可以借公式（31）和（36）加以說明，從3.3節(jié)可知在三個偏心方向中橫風向偏心對等效靜力風荷載的影響最大，而對于橫風向偏心情況，在計算等效扭矩的分項［如：時都需乘相應的偏心距離μyθ，偏心距離是偏心率與寬度的乘積，當寬度B為三個模型中最小尺寸42.4 m 時，建筑物受結構偏心的影響最小.因此，截面長寬比也是影響結構等效靜力風荷載的重要參數(shù).

圖12 不同長寬比對等效扭矩偏心因子的影響Fig.12 ηr for equivalent base torques of buildings with different side ratios

4 結論

本文基于結構動力學理論和振型加速度法，結合多點測壓風洞試驗，推導了以彈性力表示的彎扭耦合體系風致內(nèi)力響應公式，進一步得到了可以體現(xiàn)高層建筑沿高分布情況的順風向、橫風向和扭轉(zhuǎn)向等效靜力風荷載.最后使用本文方法，綜合分析了荷載相關性、結構偏心率和建筑長寬比對偏心高層建筑等效靜力風荷載的影響.相關結論如下：

1）本文提出了一種較為準確和有效的評估偏心高層建筑等效靜力風荷載的方法，體現(xiàn)了更為合理的等效靜力風荷載沿高度分布特性，可以更好地了解偏心結構在不同高度處的荷載分布情況.

2）在大多數(shù)情況下，忽略荷載相關性會低估偏心高層建筑的正等效扭矩（高估負等效扭矩），特別是當結構偏心為順風向或?qū)欠较驎r.

3）當結構偏心為橫風向或雙向偏心時，等效基底力矩隨偏心率的增加而增大，即在這種情況下偏心會導致等效靜力風荷載的增加.如結構偏心工況為x5時，偏心與非偏心等效基底力矩差異最大為217%；在工況為d5的情況下差異為129%.但是，當結構偏心存在于順風向時，等效基底扭矩與結構偏心率呈負相關，即此類偏心會導致等效靜力風荷載減小.以偏心工況y4為例，此時等效基底力矩僅為非偏心情況下的66%.

4）截面長寬比也是影響結構等效靜力風荷載的重要參數(shù)，高層建筑等效靜力風荷載值在截面長寬比越小時越容易受到結構偏心的影響，而截面長寬比越大則受結構偏心的影響越小.在結構偏心比相同的情況下，D/B=1/2 的建筑物等效基底扭矩比非偏心建筑物的等效基礎扭矩增加了172%，而D/B=1/1和2/1的建筑物分別增加了165%和26%.

需要說明的是，本文等效靜力風荷載可直接通過多點測壓模型風洞試驗數(shù)據(jù)計算得到，也可由經(jīng)驗擬合公式計算，適用范圍廣泛，可為結構設計提供參考.