王 雪，謝 淼＊，周玲菲，王林軍

（1.成都理工大學，四川 成都；2.成都理工大學數(shù)學地質(zhì)四川省重點實驗室，四川 成都）

引言

自然界中許多數(shù)據(jù)都屬于成分數(shù)據(jù)，由于成分數(shù)據(jù)各行的和為一個定值（通常為常數(shù)1），導致數(shù)據(jù)組分之間具有閉合效應[1]，存在一定的偽相關關系。同時成分數(shù)據(jù)的取值都介于（0，1），其所屬空間屬于“單形”空間，因此常用的統(tǒng)計分析方法在單形空間上存在很大的局限性。為了解決成分數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析的局限性，J.艾奇遜[2]在《成分數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析》中提出，常見的對數(shù)比方法能夠打開成分數(shù)據(jù)之間存在的封閉性。周蒂[1]通過對前人在處理成分數(shù)據(jù)時相關方法的分析，提出了對數(shù)比轉(zhuǎn)換作為成分數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析的依據(jù)及存在的問題，并有針對性地尋找對數(shù)比轉(zhuǎn)換后保留在數(shù)據(jù)中的重要信息的方法。大多數(shù)統(tǒng)計分析方法基于完整的數(shù)據(jù)集使用，無法直接應用于包括缺失值的數(shù)據(jù)集。目前李春軒[3], 張曉琴[4]等人對基于對數(shù)比變換后的成分數(shù)據(jù)空間插值進行了一系列的研究，形成了一套比較完整的成分數(shù)據(jù)缺失值填補處理體系。基于對數(shù)比變換的成分數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析在國內(nèi)外都得到了廣泛的分析與應用[7-10]，并且都取得了不錯的成就，如張堯庭[6]在《成分數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析引論》中，闡述了成分數(shù)據(jù)與多種分布（如邏輯正態(tài)分布、狄式分布族等）有關，并在此基礎上介紹了成分數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析的理論與方法等。

本文針對成分數(shù)據(jù)在進行主成分分析時，對于處理數(shù)據(jù)方法的選擇進行研究。分別比較三種常用的對數(shù)比轉(zhuǎn)換后的數(shù)據(jù)進行主成分分析后的效果，得到最優(yōu)的數(shù)據(jù)處理方法，為成分數(shù)據(jù)的主成分分析建立一個初級的完整分析體系，文章結(jié)論可以廣泛的應用在成分數(shù)據(jù)分析中，如對于大氣成分數(shù)據(jù)的檢測系統(tǒng)[11]等。

1 數(shù)據(jù)展示

本文對“2022 年高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽C 題”古代玻璃文物的66 條化學成分比例數(shù)據(jù)進行收集、整理。對該數(shù)據(jù)進行描述統(tǒng)計分析，不同化學元素含量值的最小值、最大值、均值、標準偏差、方差的結(jié)果如表1 所示（N 為有效個案數(shù)）。

表1 描述統(tǒng)計

依據(jù)原始數(shù)據(jù)的描述統(tǒng)計分析結(jié)果可以看出玻璃的化學成分含量的差異性，玻璃文物中二氧化硅和氧化鉛的標準偏差分別為24.419 42 和19.425 37，這說明不同類型的玻璃文物中二氧化硅和氧化鉛的含量值的離散性較大。

由于玻璃的化學成分含量數(shù)據(jù)屬于典型的成分數(shù)據(jù)，因此下文將原始數(shù)據(jù)進行一定的對數(shù)比轉(zhuǎn)換，打開玻璃成分數(shù)據(jù)的定和限制，再使用主成分分析方法進行分析。

2 方法

2.1 成分數(shù)據(jù)分析

對任意D 元向量X=（X1,X2,...,XD）滿足以下表達式：

式中，X 為D 元成分數(shù)據(jù)，記為X∈SD。D 為成分個數(shù)，Xi為第i 個成分，Xi對應的取值稱為分量，表示i成分所占的比例。

成分數(shù)據(jù)因閉合效應而產(chǎn)生偽相關，從而不服從正態(tài)分布，給統(tǒng)計分析帶來了很大的困難，對數(shù)比轉(zhuǎn)換方法通過將原始數(shù)據(jù)從“單純形”轉(zhuǎn)換為“歐幾里德”空間，解決成分數(shù)據(jù)引起的“定和效應問題”。常見的對數(shù)比轉(zhuǎn)換方法有加性對數(shù)比轉(zhuǎn)換、中心化對數(shù)比轉(zhuǎn)換和等距對數(shù)比轉(zhuǎn)換[4]。

其中，加性對數(shù)比轉(zhuǎn)換是通過構(gòu)建標準正交基將成分數(shù)據(jù)進行對數(shù)比轉(zhuǎn)換，使得成分數(shù)據(jù)從D 維的單純形數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為D-1 維歐式空間，公式如下：

式中，μi=log(X i/XD)，i=1,2,…,d 即選用最后一位成分作為分母進行對數(shù)比轉(zhuǎn)換。

中心化對數(shù)比轉(zhuǎn)換方法是數(shù)據(jù)內(nèi)每個成分分量相對于全部成分分量幾何平均值的比值，轉(zhuǎn)換后的數(shù)據(jù)是等形等距的。但由于clr 相對數(shù)據(jù)中心進行轉(zhuǎn)換，變換后不改變數(shù)據(jù)的維數(shù)，但變換后的數(shù)據(jù)各分量之和為“0”，具有共線性的特點，公式如下：

式中，vi= log(Xi/g(X))，g(X)為成分分量Xi的幾何平均值。

等距對數(shù)比轉(zhuǎn)換方法是一種正交變換，在單純形中的Aitchison 幾何與標準歐幾里德之間形成一對一關系，具有良好的幾何特性，公式如下：

式中，ei(i=1,2...，D-1)為單形空間的一組標準正交基，選用不同的標準正交基可獲得不同的變換結(jié)果。等距對數(shù)比變換滿足了全成分或子成分協(xié)方差矩陣的對稱性和滿秩要求，解決了clr 變換產(chǎn)生的數(shù)據(jù)共線性缺點。

2.2 主成分分析

主成分分析也稱主分量分析，是利用降維的思想，在損失很少信息的前提下將n 維特征映射到k 維上，這k 維是全新的正交特征也被稱為主成分。主成分是P 個隨機變量X,X,...,X的一些特殊的線性組合，其主要依賴于X,X,...,X的協(xié)方差矩陣A（或者是相關矩陣P），設隨機向量有協(xié)方差矩陣A，其特征值為 λ1≥ λ2≥...≥ λp≥0[12]

考慮線性組合

即可得到

第一主成分即為方差最大的線性組合，同理依次可以得到所有主成分的線性組合表達式。

3 結(jié)果分析

研究數(shù)據(jù)主要包括兩類玻璃（鉛鋇玻璃、高鉀玻璃）的化學成分含量，兩種玻璃在氧化鉀、氧化鉛、氧化鋇三種化學成分的含量上存在較大的差異。利用R計算出該批玻璃中氧化鉀、氧化鉛、氧化鋇的偏度和峰度如表2 所示。

由上述結(jié)果顯示，原始數(shù)據(jù)的偏度和峰度都比較高，與正態(tài)分布相差甚遠，因此不能直接進行統(tǒng)計分析。將原始數(shù)據(jù)在進行了對數(shù)比變換后，數(shù)據(jù)的偏度和峰度明顯降低，其中等距對數(shù)比變換數(shù)據(jù)與正態(tài)分布的峰度和偏度相似度較高，效果更好。

在用統(tǒng)計分析方法研究多變量的問題時，變量個數(shù)太多會增加問題的復雜性。在很多情形下，變量之間相關性會導致不同變量反映問題時信息重疊。主成分分析是一種廣泛使用的數(shù)據(jù)降維算法，通過正交變換將一組可能存在相關性的變量轉(zhuǎn)換為一組線性不相關的變量。此外新變量之間不僅是相互獨立的，在反映問題的信息方面也要盡可能保持原有的信息。

本文首先對原始數(shù)據(jù)、加性對數(shù)比變換、中心對數(shù)比變換和等距對數(shù)變換后的數(shù)據(jù)進行KMO 和Bartlett 的檢驗，判斷是否可以進行主成分分析。

對于KMO 值：0.8 上非常合適做主成分分析，0.7～0.8 之間一般適合，0.6～0.7 之間不太適合，0.5～0.6 之間表示差，0.5 下表示極不適合，對于Bartlett 的檢驗，若P 小于0.05，拒絕原假設，則說明可以做主成分分析，若不拒絕原假設，則說明這些變量可能獨立提供一些信息，不適合做主成分分析。因此根據(jù)表3 的數(shù)據(jù)顯示，四組數(shù)據(jù)的Bartlett 檢驗P 值均遠小于0.05，可以拒絕原假設，則說明可以做主成分分析。而四組數(shù)據(jù)只有加性對數(shù)比轉(zhuǎn)換的KMO 值0.8以上，其余幾組數(shù)據(jù)的KMO 值都比較小不太適合做主成分分析,見圖1-4。

圖1 原始數(shù)據(jù)

圖2 中心對數(shù)比變換后的數(shù)據(jù)

圖3 加性對數(shù)比變換后的數(shù)據(jù)

圖4 等距對數(shù)比變換后的數(shù)據(jù)

表3 KMO 和Bartlett 的檢驗

由碎石圖可知，若進行主成分分析，加性對數(shù)比變換后的數(shù)據(jù)只需要選擇4 個主成分就可以涵蓋全部變量的大部分信息，而原始數(shù)據(jù)、中心對數(shù)比變換、等距對數(shù)比變換后的數(shù)據(jù)均至少選擇7 個主成分才能達到加性對數(shù)比變換數(shù)據(jù)得到的效果。

綜上所述，基于KMO 值、Bartlett 檢驗以及碎石圖，經(jīng)過加法對數(shù)比轉(zhuǎn)換的成分數(shù)據(jù)更適合做主成分分析，所得效果顯著。

對主成分分析的加法對數(shù)比轉(zhuǎn)換后的數(shù)據(jù)進行進一步的因子權重分析，查看各因子的貢獻率。其中，主成分1 的權重為68.604%、主成分2 的權重為15.124%、主成分3 的權重為8.664%、主成分4 的權重為7.608%，見表4。

表4 因子權重分析

由成分矩陣表可以分別得出主成分1、主成分2、主成分3和主成分4 的模型表達式F。根據(jù)F 表達式來計算綜合得分，并將綜合得分按照降序進行排序，由此來得到樣本的綜合得分和排名情況。成分矩陣表如表5 所示，前五個樣本的綜合得分情況如表6 所示。

表5 成分矩陣表

表6 綜合得分

4 結(jié)論

本文通過對成分數(shù)據(jù)進行3 種不同的對數(shù)比變換，加法對數(shù)比變換后的數(shù)據(jù)與主成分分析結(jié)合得到了顯著的效果，并有如下結(jié)論：

（1）由于定和效應的限制，成分數(shù)據(jù)不能滿足正態(tài)分布的基本要求，因此數(shù)據(jù)未能通過KMO 檢驗和Bartlett 球形度檢驗，不能進行主成分分析。

（2）成分數(shù)據(jù)經(jīng)過對數(shù)比轉(zhuǎn)換后，等距對數(shù)比轉(zhuǎn)換相較于加性、中心化的結(jié)果，其分布情況與正態(tài)分布相似度最高，正態(tài)檢驗效果顯著。

（3）由于加性對數(shù)比轉(zhuǎn)換過程中，數(shù)據(jù)從D 維度降至D-1 維度，即轉(zhuǎn)換后每個維度的數(shù)據(jù)都可以表示為原始數(shù)據(jù)最后一列數(shù)據(jù)的線性組合，在降維分析中具有極大的優(yōu)勢。因此對加性對數(shù)比轉(zhuǎn)換后的數(shù)據(jù)引入主成分分析，能夠更有效地獲取原始數(shù)據(jù)中所含的相關信息。