王文萍，劉偉潮

(廣州城市理工學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，廣東廣州 510000)

0 前言

機(jī)器人行業(yè)逐漸成為“中國制造2025”和“工業(yè)4.0”時(shí)代下代表一個(gè)國家科技創(chuàng)新和高端制造行業(yè)水平的行業(yè)。目前協(xié)作型機(jī)器人的類型主要有主動(dòng)柔順控制型、被動(dòng)柔順型和輕量化繩驅(qū)動(dòng)型[1]。前兩種柔順型機(jī)器人通過人機(jī)交互過程進(jìn)行柔順響應(yīng)，仿人協(xié)作輕量繩驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂將成為未來協(xié)作型機(jī)器人的研究重點(diǎn)。文獻(xiàn)[2]提出一種新型的通過繩索驅(qū)動(dòng)、壓縮彈簧支承的柔性并聯(lián)腕部康復(fù)機(jī)構(gòu)，保證人體腕部生理運(yùn)動(dòng)空間處于機(jī)構(gòu)有效工作空間之中。文獻(xiàn)[3]為獲得更好的柔性度，設(shè)計(jì)使用氣體動(dòng)力肌肉模擬腕關(guān)節(jié)的康復(fù)機(jī)器人；文獻(xiàn)[4]設(shè)計(jì)一氣動(dòng)腕關(guān)節(jié)外骨骼康復(fù)機(jī)器人，構(gòu)建三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)；文獻(xiàn)[5]提出一種將動(dòng)、靜平臺(tái)通過一個(gè)球副與繩索牽引實(shí)現(xiàn)腕關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)功能；文獻(xiàn)[6]提出一種3-RRR球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)，以機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣條件數(shù)為優(yōu)化對象，進(jìn)行遺傳算法設(shè)計(jì)；文獻(xiàn)[7]設(shè)計(jì)了一款繩索混合驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)，并對并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)進(jìn)行分析，得出動(dòng)平臺(tái)位姿與繩索長度的關(guān)系滿足運(yùn)動(dòng)學(xué)反解模型；文獻(xiàn)[8]提出一種繩驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)械臂位姿正解的Dogleg算法迭代方法；文獻(xiàn)[9]設(shè)計(jì)一種3-PRC并聯(lián)機(jī)構(gòu)，并對該并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行MATLAB、ADAMS、Por/E多軟件聯(lián)合建模與運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真；文獻(xiàn)[10]引用一種三維切片法用于分析并聯(lián)機(jī)構(gòu)末端在實(shí)際工作空間中高度與偏轉(zhuǎn)角的運(yùn)動(dòng)性能。

根據(jù)人體上肢手臂腕關(guān)節(jié)的解剖學(xué)結(jié)構(gòu)及運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，設(shè)計(jì)帶有多個(gè)支鏈連桿結(jié)構(gòu)的腕關(guān)節(jié)并聯(lián)機(jī)構(gòu)。利用MATLAB進(jìn)行結(jié)構(gòu)參數(shù)篩選優(yōu)化，得出該并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，驗(yàn)證該腕關(guān)節(jié)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的可行性與設(shè)計(jì)方法的合理性。

1 并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

1.1 人體腕關(guān)節(jié)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)

人體腕關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)形式主要有前屈后伸與外展內(nèi)收以及小范圍旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)[11]。如圖1所示，從解剖學(xué)角度確定手腕轉(zhuǎn)動(dòng)方向是通過將手掌自然伸展；手掌向大拇指的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)為橈屈，向小拇指方向的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)為尺屈，向手肘內(nèi)側(cè)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)為屈曲，向手肘外側(cè)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)為背伸；同時(shí)手腕向身體內(nèi)側(cè)與外側(cè)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)分別為內(nèi)旋與外旋。

圖1 腕關(guān)節(jié)的解剖學(xué)結(jié)構(gòu)及運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)

為使腕關(guān)節(jié)工作空間與人體手腕的工作空間相似，優(yōu)化腕關(guān)節(jié)并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作可行性，設(shè)置與腕關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)角度相似的設(shè)計(jì)要求，如表1所示。

表1 腕關(guān)節(jié)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的基本運(yùn)動(dòng)范圍

1.2 腕關(guān)節(jié)并聯(lián)機(jī)構(gòu)主體設(shè)計(jì)

文中研究的并聯(lián)機(jī)構(gòu)主要應(yīng)用于輕量繩驅(qū)動(dòng)協(xié)作機(jī)器人腕關(guān)節(jié)模塊的三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)，如圖2所示。腕關(guān)節(jié)并聯(lián)機(jī)構(gòu)三維模型、簡化模型與機(jī)構(gòu)簡圖分別如圖3、圖4與圖5所示。其中腕關(guān)節(jié)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的機(jī)械原理結(jié)構(gòu)為三自由度的3-RRRR-(UPU)并聯(lián)機(jī)構(gòu)，其中R表示轉(zhuǎn)動(dòng)副，P表示移動(dòng)副，U表示虎克鉸。腕關(guān)節(jié)并聯(lián)機(jī)構(gòu)主體由動(dòng)靜平臺(tái)、連接動(dòng)靜平臺(tái)的4根弓形連桿、UPU連桿串聯(lián)機(jī)構(gòu)、滑輪安裝架、驅(qū)動(dòng)滑輪組與腕關(guān)節(jié)末端手爪安裝法蘭組成。同時(shí)為避免長時(shí)間使用后，繩索張力失效對腕關(guān)節(jié)并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生不良影響，本文作者在機(jī)械臂中設(shè)計(jì)了一套自適應(yīng)繩索張緊裝置，如圖6所示。

圖2 輕型仿人繩驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂總體裝配

圖3 腕關(guān)節(jié)并聯(lián)機(jī)構(gòu)整體三維模型

圖4 腕關(guān)節(jié)并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡化模型

圖5 腕關(guān)節(jié)并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡圖

圖6 繩索張緊機(jī)構(gòu)模型示意

腕關(guān)節(jié)并聯(lián)機(jī)構(gòu)靜平臺(tái)中的旋轉(zhuǎn)滑輪帶動(dòng)UPU連桿實(shí)現(xiàn)腕關(guān)節(jié)并聯(lián)機(jī)構(gòu)末端手爪法蘭繞腕關(guān)節(jié)末端坐標(biāo)系的Z方向進(jìn)行滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)，模擬人體手臂外旋/內(nèi)旋運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)；繩索連接動(dòng)靜平臺(tái)，通過滑輪組一端固定于靜平臺(tái)，另一端固定于動(dòng)平臺(tái)，通過牽引其中一端改變動(dòng)靜平臺(tái)距離，改變腕關(guān)節(jié)末端動(dòng)平臺(tái)位姿，實(shí)現(xiàn)末端機(jī)構(gòu)繞X軸與Y軸滾動(dòng)，完成模仿人體腕關(guān)節(jié)橈屈/尺屈、背伸/屈曲運(yùn)動(dòng)，實(shí)現(xiàn)末端平臺(tái)作球面純滾動(dòng)，如圖7與圖8所示。弓形連桿與動(dòng)靜平臺(tái)通過鉸鏈連接，隨動(dòng)平臺(tái)、靜平臺(tái)位姿關(guān)系變化而轉(zhuǎn)動(dòng)。通過繩索牽引實(shí)現(xiàn)對手爪的靈活控制，腕關(guān)節(jié)末端手爪法蘭的位姿狀態(tài)與機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)形式可實(shí)現(xiàn)模仿人類手腕動(dòng)作的仿生運(yùn)動(dòng)。

圖7 腕關(guān)節(jié)并聯(lián)機(jī)構(gòu)末端動(dòng)平臺(tái)橈屈/尺屈的運(yùn)動(dòng)仿真

圖8 腕關(guān)節(jié)并聯(lián)機(jī)構(gòu)端動(dòng)平臺(tái)背伸/屈曲運(yùn)動(dòng)仿真

根據(jù)Grubler-Kutzbach公式，計(jì)算腕關(guān)節(jié)并聯(lián)機(jī)構(gòu)可動(dòng)度：

(1)

設(shè)定當(dāng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)靜平臺(tái)固定不動(dòng)時(shí)，計(jì)算關(guān)節(jié)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度數(shù)目。令n表示并聯(lián)機(jī)構(gòu)中連桿的數(shù)量，g表示并聯(lián)機(jī)構(gòu)中關(guān)節(jié)的數(shù)量，對于第i個(gè)關(guān)節(jié)，ui表示該關(guān)節(jié)約束數(shù)目；引入fi表示該關(guān)節(jié)自由度數(shù)目，空間結(jié)構(gòu)中ui=6-fi。簡化式(1)，通過各個(gè)關(guān)節(jié)自由度之和以及關(guān)節(jié)數(shù)量與并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度關(guān)系可知：

(2)

將n為14、g為16、機(jī)構(gòu)中所有關(guān)節(jié)自由度數(shù)目之和為20，代入式(2)中得腕關(guān)節(jié)并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度為2，滿足實(shí)現(xiàn)并聯(lián)機(jī)構(gòu)繞X軸與Y軸的運(yùn)動(dòng)要求。腕關(guān)節(jié)并聯(lián)機(jī)構(gòu)通過貫穿動(dòng)靜平臺(tái)幾何中心的UPU連桿實(shí)現(xiàn)并聯(lián)機(jī)構(gòu)繞Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)，增加1個(gè)可動(dòng)度，整體并聯(lián)機(jī)構(gòu)可動(dòng)度為3，符合人體手腕三自由度的運(yùn)動(dòng)特征，滿足設(shè)計(jì)要求。

1.3 腕關(guān)節(jié)并聯(lián)機(jī)構(gòu)原理分析與誤差優(yōu)化

為簡化運(yùn)動(dòng)算法，同時(shí)便于控制以及提高定位精度，將曲形桿與并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)靜平臺(tái)相連的鉸鏈均布于直徑為S的圓上。腕關(guān)節(jié)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的原理是通過相對兩根連桿相互交叉，并與并聯(lián)機(jī)構(gòu)的靜平臺(tái)以及動(dòng)平臺(tái)形成一個(gè)以動(dòng)靜平臺(tái)為底邊、曲形桿為斜邊的直角三角形，構(gòu)成直角三角形的斜邊兩兩相交，交點(diǎn)隨動(dòng)平臺(tái)相對靜平臺(tái)作球面純滾動(dòng)形成橢圓運(yùn)動(dòng)軌跡。圖中S為動(dòng)靜平臺(tái)上鉸鏈均布圓的直徑，L為曲形桿鉸鏈中心連線長度且為直角三角形斜邊，R為動(dòng)靜平臺(tái)幾何中心點(diǎn)距離，此時(shí)兩個(gè)直角三角形構(gòu)成一個(gè)矩形，圖9虛線表示交點(diǎn)運(yùn)動(dòng)形成的橢圓形軌跡。

圖9 交點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡

由于并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)末端運(yùn)動(dòng)軌跡形成橢圓，橢圓軌跡各點(diǎn)曲率變化導(dǎo)致末端隨著動(dòng)平臺(tái)做球面滾動(dòng)時(shí)出現(xiàn)ZW方向距離變化，驅(qū)動(dòng)繩索的松緊度呈現(xiàn)非線性變化，引發(fā)張力失效。為實(shí)現(xiàn)驅(qū)動(dòng)繩索平穩(wěn)控制動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)角度與速度，擬以圓形運(yùn)動(dòng)軌跡逼近橢圓運(yùn)動(dòng)軌跡達(dá)到機(jī)械臂設(shè)計(jì)精度要求，減少誤差，同時(shí)降低對腕關(guān)節(jié)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)模擬難度，提高可控度。

如圖10所示，圖中點(diǎn)C為虛擬等效圓圓心，設(shè)置在距離坐標(biāo)原點(diǎn)為D的Z軸負(fù)半軸。以點(diǎn)C到交點(diǎn)的距離為r做等效圓，假設(shè)由一直線經(jīng)過點(diǎn)C并與橢圓相交于Pe，與等效圓相交于點(diǎn)Pc。由以上條件可知直線、等效圓與橢圓方程分別為

圖10 橢圓與虛擬圓示意

f(x)=tanA·x+D

(3)

x2+(z+D)2=r2

(4)

S2+R2=L2

(5)

(6)

公式(3)為過點(diǎn)C到并聯(lián)機(jī)構(gòu)極限位置時(shí)的交點(diǎn)直線方程；公式(4)為以點(diǎn)C為圓心的虛擬圓方程表達(dá)式；公式(5)為S、R以及L的關(guān)系式；公式(6)為交點(diǎn)的橢圓軌跡方程。聯(lián)立以上方程可求直線分別同橢圓及等效圓的交點(diǎn)坐標(biāo)。如圖10所示，可得橢圓與等效圓之間距離d：

d=f(x，z)=[(xc-xe)2+(zc-ze)2]1/2

(7)

d值接近于0時(shí)，并聯(lián)機(jī)構(gòu)可形成繞等效圓的純滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)?？紤]實(shí)際加工條件，可將d值誤差控制在0.03 mm以內(nèi)或更低以獲得更高運(yùn)動(dòng)精度，文中擬設(shè)定誤差為0.03 mm。運(yùn)用SoildWorks對d值條件進(jìn)行編程仿真分析，模擬出不同S值下D值的變動(dòng)對并聯(lián)機(jī)構(gòu)的誤差d影響，SoildWorks與MATLAB聯(lián)合仿真。具體聯(lián)合仿真的數(shù)據(jù)采樣流程如圖11所示。

圖11 仿真數(shù)據(jù)采樣流程

仿真分析可知：當(dāng)S取值為[30，55]mm，弓形連桿長度L的取值區(qū)間為[110，130]mm，可得滿足并聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)定誤差時(shí)D的數(shù)值分布。用MATLAB對采集數(shù)據(jù)進(jìn)行插值優(yōu)化處理，如圖12所示。仿真模擬可得兩點(diǎn)相交直線與Y軸之間角度A的分布圖，插值優(yōu)化處理后如圖13所示。對仿真獲得數(shù)據(jù)進(jìn)行插值優(yōu)化可知：在腕關(guān)節(jié)并聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)中，考慮機(jī)械零部件安裝及運(yùn)動(dòng)精度要求，將并聯(lián)機(jī)構(gòu)S設(shè)定為40 mm，確定D數(shù)值為3.1 mm時(shí)，動(dòng)靜平臺(tái)之間最大誤差值為0.02 mm，符合并聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)及加工要求。

圖12 對D值的數(shù)據(jù)采集(a)及插值優(yōu)化模型(b)

圖13 角度A的數(shù)據(jù)采集(a)及插值優(yōu)化模型(b)

2 腕關(guān)節(jié)并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

2.1 腕關(guān)節(jié)模塊并聯(lián)機(jī)構(gòu)正運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

將腕關(guān)節(jié)模塊并聯(lián)機(jī)構(gòu)分為上下兩個(gè)部分，并聯(lián)機(jī)構(gòu)上部分為末端動(dòng)平臺(tái)，并聯(lián)機(jī)構(gòu)下部分為固定平臺(tái)即靜平臺(tái)，如圖14所示。

圖14 并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)簡圖

以并聯(lián)機(jī)構(gòu)固定平臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)幾何中心點(diǎn)O為固定坐標(biāo)系原點(diǎn)，X軸與Y軸設(shè)置在并聯(lián)機(jī)構(gòu)靜平臺(tái)上，Z軸垂直于靜平臺(tái)平面。以動(dòng)平臺(tái)幾何中心點(diǎn)O′為坐標(biāo)系原點(diǎn)，X′軸與Y′軸設(shè)置在并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)平面上，使X′軸平行且同向于固定坐標(biāo)系O-XYZ的X軸。連接點(diǎn)O與點(diǎn)O′，使θ1為垂直于并聯(lián)機(jī)構(gòu)靜平臺(tái)方向上OO′投影與固定坐標(biāo)系O-XYZ上X軸之間的夾角。θ2表示俯仰角即OO′相對固定坐標(biāo)系Z軸的夾角。由此可知，并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)坐標(biāo)系O′-X′Y′Z′相對于并聯(lián)機(jī)構(gòu)靜平臺(tái)固定坐標(biāo)系O-XYZ的空間位姿可用兩個(gè)角度與一個(gè)平移位移表示，即繞Z軸旋轉(zhuǎn)角度為θ1、繞當(dāng)前Y軸旋轉(zhuǎn)角度θ2與沿坐標(biāo)系Z軸平移距離h。旋轉(zhuǎn)-平移矩陣的齊次方程表達(dá)式為

其中：RZ(θ1)表示沿坐標(biāo)系Z軸的旋轉(zhuǎn)矩陣的齊次表達(dá)式，具體為

(8)

RY(θ2)表示沿坐標(biāo)系Y軸的旋轉(zhuǎn)矩陣齊次表達(dá)式，具體為

(9)

TZ(h)表示沿坐標(biāo)系Z軸平移的齊次表達(dá)式，具體為

(10)

式中：Ci表示cosθi，Si表示sinθi。

將平移-旋轉(zhuǎn)的齊次矩陣表達(dá)式相乘得到：

(11)

2.2 腕關(guān)節(jié)并聯(lián)機(jī)構(gòu)繩驅(qū)動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

使用N型繩驅(qū)動(dòng)構(gòu)型如圖15所示，使用單個(gè)驅(qū)動(dòng)電機(jī)控制關(guān)節(jié)實(shí)現(xiàn)單自由度運(yùn)動(dòng)，N型繩驅(qū)動(dòng)構(gòu)型使用一條繩索作為驅(qū)動(dòng)繩索，不考慮外界因素對繩索長度影響，繩索伸長量與收縮量相等[12]。

圖15 N型繩驅(qū)動(dòng)構(gòu)型

(12)

聯(lián)立公式(9)與(10)，結(jié)合繩索長度與末端動(dòng)平臺(tái)空間變換齊次矩陣的轉(zhuǎn)換關(guān)系，得到繩索長度變化量與末端動(dòng)平臺(tái)位姿關(guān)系的角度關(guān)系為

(13)

其中K與V分別代表末端動(dòng)平臺(tái)繞X軸與Y軸的偏轉(zhuǎn)，將式(13)與式(11)代入矩陣可得

2.3 腕關(guān)節(jié)并聯(lián)機(jī)構(gòu)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

圖16 腕關(guān)節(jié)并聯(lián)機(jī)構(gòu)支鏈運(yùn)動(dòng)簡圖

(14)

通過第2.1節(jié)正運(yùn)動(dòng)分析得到LOO′、LCTi與LCTi+1為

其中：α1與α2為轉(zhuǎn)動(dòng)副R11以及R21轉(zhuǎn)動(dòng)角度。聯(lián)立式(14)得各個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副Ri轉(zhuǎn)動(dòng)角度αi：

3 結(jié)論

根據(jù)人體上肢手臂腕關(guān)節(jié)解剖學(xué)結(jié)構(gòu)及運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，設(shè)計(jì)一種有多個(gè)支鏈連桿結(jié)構(gòu)的腕關(guān)節(jié)并聯(lián)機(jī)構(gòu)。通過4條連桿支鏈以及4根繩索，形成并聯(lián)機(jī)構(gòu)支撐與驅(qū)動(dòng)結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)人體手臂腕關(guān)節(jié)2個(gè)可動(dòng)度的仿生設(shè)計(jì)，最終通過UPU支鏈實(shí)現(xiàn)腕關(guān)節(jié)并聯(lián)機(jī)構(gòu)三自由度運(yùn)動(dòng)。其腕關(guān)節(jié)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)可行性與可動(dòng)度通過G-K公式進(jìn)行驗(yàn)算，驗(yàn)算結(jié)果正確。

分析腕關(guān)節(jié)并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)軌跡，提出腕關(guān)節(jié)并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)函數(shù)方程。分析方程，構(gòu)建并聯(lián)機(jī)構(gòu)誤差數(shù)學(xué)模型，基于SoildWorks與MATLAB進(jìn)行聯(lián)合仿真與數(shù)據(jù)采集，插值法優(yōu)化處理采集數(shù)據(jù)，獲得S與L的范圍及最優(yōu)參數(shù)組合，結(jié)果顯示末端動(dòng)平臺(tái)在運(yùn)動(dòng)角度為±90°時(shí)，D=3.1 mm時(shí)誤差最小。

腕關(guān)節(jié)并聯(lián)機(jī)構(gòu)通過Denavit-Hartanberg分析，推導(dǎo)出末端動(dòng)平臺(tái)坐標(biāo)系與并聯(lián)機(jī)構(gòu)靜平臺(tái)固定坐標(biāo)系的變化關(guān)系數(shù)學(xué)表達(dá)式，完成并聯(lián)機(jī)構(gòu)的正、逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析；基于運(yùn)動(dòng)分析結(jié)果，引入繩驅(qū)動(dòng)關(guān)于末端動(dòng)平臺(tái)位姿變化的繩索變化關(guān)系研究，推導(dǎo)出繩索伸縮量與末端位姿角度變化的函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)一步驗(yàn)證腕關(guān)節(jié)并聯(lián)機(jī)構(gòu)可行性與運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的合理性。