張星瑤

摘 要：針對(duì)城市軌道交通線路高峰時(shí)段客流壓力大、站內(nèi)過(guò)度擁擠等問(wèn)題，文章從系統(tǒng)優(yōu)化的角度出發(fā)，將運(yùn)輸服務(wù)供給與客流需求控制作為一個(gè)整體進(jìn)行研究。首先，引入了列車(chē)時(shí)刻表變量與限流變量，以乘客等待總時(shí)間最小化為目標(biāo)函數(shù)，以列車(chē)時(shí)刻表約束、乘客進(jìn)站約束及上下車(chē)約束為條件，建立了列車(chē)時(shí)刻表與常態(tài)限流協(xié)同優(yōu)化模型。該模型動(dòng)態(tài)刻畫(huà)了列車(chē)運(yùn)行過(guò)程、車(chē)站限流過(guò)程和乘客與列車(chē)的交互過(guò)程，并運(yùn)用0-1變量累計(jì)流的思想，詳細(xì)描述了乘客排隊(duì)進(jìn)站及上車(chē)的過(guò)程，深刻貫徹了“先到先服務(wù)”的原則。通過(guò)采用CPLEX軟件編程求解，算例結(jié)果驗(yàn)證了該模型的有效性——與列車(chē)時(shí)刻表或限流的單目標(biāo)優(yōu)化相比，兩者協(xié)同優(yōu)化在減少乘客總等待時(shí)間方面具有明顯作用。其中，兩者協(xié)同優(yōu)化相較于僅考慮時(shí)刻表優(yōu)化，使乘客總等待時(shí)間減少了19.99%；相較于僅考慮限流優(yōu)化，使乘客總等待時(shí)間減少了16.66%。

關(guān)鍵詞：城市軌道交通；列車(chē)時(shí)刻表；限流；協(xié)同優(yōu)化

中圖分類(lèi)號(hào)：F572；U231.29文獻(xiàn)標(biāo)志碼：ADOI：10.13714/j.cnki.1002-3100.2023.10.024

Abstract： In response to the problems of high passenger flow pressure and overcrowding in urban rail transit during peak hours， this paper studies the control of transportation service supply and passenger flow demand as a whole from the perspective of system optimization. Firstly， the train schedule variables and flow limiting variables are introduced， with the objective function of minimizing the total waiting time of passengers. The train schedule constraints， passenger entry constraints， and boarding and alighting constraints are used as conditions to establish a collaborative optimization model for train schedules and normal flow limiting. This model dynamically depicts the train operation process， station flow restriction process， and passenger train interaction process， and adopts the idea of 0-1 variable cumulative flow to describe in detail the process of passengers queuing to enter and board the station， deeply implementing the principle of "first come， first served". By using CPLEX software programming to solve the problem， the effectiveness of the model is verified by the results of numerical examples; compared to single objective optimization of train schedules or flow limiting， the collaborative optimization of the two has a significant effect on reducing the total waiting time of passengers. Among them， compared to only considering timetable optimization， the total waiting time of passengers has been reduced by 19.99%. Compared to only considering flow restriction optimization， the total waiting time of passengers has been reduced by 16.66%.

Key words： ?urban rail transit; train timetable; passenger flow control; collaborative optimization

1 ? ?研究背景

近年來(lái)，隨著城市化進(jìn)程的加快，城市人口不斷增加，乘客出行需求增長(zhǎng)迅猛。在客流高峰時(shí)段，部分城市軌道交通線路的客流需求巨大，運(yùn)輸服務(wù)供不應(yīng)求，形成了嚴(yán)重的客流擁塞，給乘客的人身安全和車(chē)站的正常運(yùn)營(yíng)帶來(lái)了巨大的威脅。

當(dāng)前，我國(guó)主要從供需兩個(gè)方面進(jìn)行考慮，采取調(diào)整列車(chē)運(yùn)行計(jì)劃和常態(tài)限流兩項(xiàng)措施來(lái)緩解高峰時(shí)段客流擁堵問(wèn)題。在調(diào)整運(yùn)輸供給方面，國(guó)內(nèi)外學(xué)者主要通過(guò)以客流需求為導(dǎo)向設(shè)計(jì)面向服務(wù)的列車(chē)時(shí)刻表，以滿(mǎn)足動(dòng)態(tài)變化的客流需求。如?；菝竦萚1]考慮了乘客等待時(shí)間最小化，而Yin等考慮了以列車(chē)牽引能耗最小化為目標(biāo)的面向服務(wù)列車(chē)時(shí)刻表優(yōu)化。

在調(diào)整運(yùn)輸需求方面，政府主要采取限流的措施控制進(jìn)站的客流量，以緩解站內(nèi)擁擠。從實(shí)施常態(tài)限流的車(chē)站數(shù)量與關(guān)系的角度出發(fā)，常態(tài)限流可劃分為車(chē)站限流、線路限流和路網(wǎng)限流。在研究車(chē)站級(jí)別的常態(tài)限流策略時(shí)，主要通過(guò)評(píng)估車(chē)站的擁塞狀態(tài)，觀察其是否達(dá)到限流的標(biāo)準(zhǔn)，從而對(duì)單個(gè)或多個(gè)不相關(guān)的車(chē)站進(jìn)行限流。例如，禹丹丹等[2]通過(guò)視頻標(biāo)識(shí)獲取擁擠車(chē)站關(guān)鍵區(qū)域客流密度，以判斷車(chē)站擁塞狀態(tài)；豆飛等[3]根據(jù)各類(lèi)車(chē)站設(shè)施設(shè)備內(nèi)乘客聚集程度，提出了限流觸發(fā)判別方法。在研究線路級(jí)別的常態(tài)限流策略時(shí)，主要通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型研究多站協(xié)同限流，從而求解最優(yōu)的限流措施。例如，趙鵬等[4]以乘客總等待時(shí)間最少和乘客周轉(zhuǎn)量最大為優(yōu)化目標(biāo)，馬羽等[5]通過(guò)考慮各站乘客、各OD客流之間的公平性和均衡性建立了線路層車(chē)站間與時(shí)段間協(xié)同限流模型。在研究路網(wǎng)級(jí)別的常態(tài)限流策略時(shí)，權(quán)經(jīng)超[6]采用客流“溯源”的思想分析擁擠車(chē)站，以解決客流擁堵問(wèn)題；謝麗平[7]以路網(wǎng)上車(chē)人數(shù)最大化和乘客總延誤時(shí)間最小化為目標(biāo)、郇寧等[8]以列車(chē)平均運(yùn)能利用率最大化和站臺(tái)乘客滯留比差異最小化為目標(biāo)建立了多站協(xié)同限流模型。

相較于對(duì)列車(chē)時(shí)刻表和限流進(jìn)行單目標(biāo)優(yōu)化，當(dāng)前的研究將兩者緊密結(jié)合，協(xié)同優(yōu)化趨勢(shì)日益明顯，效果也更為突出。例如，李佳杰[9]構(gòu)建了換乘站站外限流與列車(chē)時(shí)刻表協(xié)同優(yōu)化模型；孟凡婷[10]等以提高列車(chē)運(yùn)行效率、減少客流乘車(chē)延誤人數(shù)為優(yōu)化目標(biāo)，建立了考慮跳停策略的列車(chē)運(yùn)行圖與車(chē)站限流協(xié)同優(yōu)化模型；Shi等以最小化乘客等待總時(shí)間為目標(biāo)建立了列車(chē)時(shí)刻表與精確限流協(xié)同優(yōu)化模型，該模型考慮在同一車(chē)站根據(jù)不同的OD分開(kāi)限流。

通過(guò)上述分析，可以總結(jié)出當(dāng)前的研究主要存在以下問(wèn)題：現(xiàn)有的研究對(duì)乘客進(jìn)站和上車(chē)規(guī)則的刻畫(huà)不符合實(shí)際，且難以實(shí)現(xiàn)；還有一部分當(dāng)前的研究對(duì)不同目的地的乘客進(jìn)行分開(kāi)限流，然而其在實(shí)際車(chē)站中無(wú)法運(yùn)用和操作。

為解決上述問(wèn)題，本文基于“先到先服務(wù)”原則，以乘客總等待時(shí)間最小化為目標(biāo)函數(shù)構(gòu)建列車(chē)時(shí)刻表與常態(tài)限流協(xié)同優(yōu)化模型。

2 ? ?問(wèn)題描述

本文考慮具有座車(chē)站的雙向城市軌道交通線路，如圖1所示。設(shè)置列車(chē)運(yùn)行方向集F={1，2}（下行方向f=1，上行方向f=2），并根據(jù)列車(chē)運(yùn)行方向，定義車(chē)站集合S={1，...，2n}。在線路上，列車(chē)采用單一交路，上下行列車(chē)成對(duì)開(kāi)行，使用集合I0={1，...，m}來(lái)表示下行方向的列車(chē)編號(hào)，I1={1，...，m}來(lái)表示上行方向的列車(chē)編號(hào)。

本文將研究時(shí)段T=[t1，t2]離散為k個(gè)時(shí)刻的集合，即T={t1，t1+1，...，t2}，t2-t1+1=k，其中t1和t2分別為研究時(shí)段T的開(kāi)始和結(jié)束時(shí)刻，各離散時(shí)刻的精度記為σ，根據(jù)實(shí)際需要進(jìn)行取值設(shè)置，可為15 s、30 s或1 min等；記t為時(shí)刻的索引，任意時(shí)段t=[t，t+1]開(kāi)始于時(shí)刻t，結(jié)束于時(shí)刻t+1。同時(shí)，定義客流種類(lèi)的集合為V，索引為v。

為方便模型的構(gòu)建，本文現(xiàn)提出以下假設(shè)。

在高峰時(shí)段，乘客不會(huì)因車(chē)站限流措施滯留站外而改變出行方式，即不計(jì)限流對(duì)客流損失的影響；列車(chē)嚴(yán)格按照運(yùn)行圖運(yùn)行，忽略干擾列車(chē)正常運(yùn)行的因素；區(qū)間運(yùn)行時(shí)間、停站時(shí)間固定，列車(chē)站站停且不允許越行；乘客進(jìn)站、上下車(chē)遵循“先到先服務(wù)”原則，即先到達(dá)的乘客先進(jìn)站，先進(jìn)站的乘客先上車(chē)。

3 ? ?模型構(gòu)建

3.1 ? ?符號(hào)說(shuō)明

為便于表述模型，本研究將需要使用的主要參數(shù)、變量的符號(hào)定義如下。

q、qin、qwait、qarr、pwait、pboard、palight、ponboard、prest分別表示到站、進(jìn)站、站外等待、到達(dá)站臺(tái)、站臺(tái)等待、上車(chē)、下車(chē)、車(chē)內(nèi)、站臺(tái)滯留乘客數(shù)；ωv、α、β分別為客流v站外、總乘客站外、總乘客站臺(tái)等待時(shí)間權(quán)重系數(shù)；trun、tdwell、twalk、tdep、tarr、thead分別表示列車(chē)運(yùn)行、列車(chē)停站、乘客換乘走行、列車(chē)到站、列車(chē)出發(fā)、列車(chē)發(fā)車(chē)間隔時(shí)間；e、rmin、ctrain、?max分別為各車(chē)場(chǎng)車(chē)底數(shù)、最小折返時(shí)間列車(chē)定員數(shù)及最大滿(mǎn)載率；[t1fleft，t1fright]表示第一列列車(chē)始發(fā)時(shí)間范圍；[hmin，hmax]表示相鄰兩列車(chē)發(fā)車(chē)時(shí)間范圍；▽t為截止時(shí)間t時(shí)，已經(jīng)進(jìn)站乘客的最晚到達(dá)時(shí)間；△i為截止列車(chē)i發(fā)車(chē)時(shí)刻，已經(jīng)上車(chē)的乘客最晚到達(dá)站臺(tái)的時(shí)間。

3.2 ? ?目標(biāo)函數(shù)

在客流高峰時(shí)段，乘客等待車(chē)輛到站時(shí)間作為乘客出行過(guò)程中時(shí)間成本的重要部分，直接決定了乘客服務(wù)水平。各到達(dá)站臺(tái)的乘客候車(chē)情況。

3.2.1 ? ?乘客站外總等待時(shí)間

3.2.2 ? ?乘客站臺(tái)總等待時(shí)間

目標(biāo)函數(shù)即乘客總等待時(shí)間最小可表達(dá)為：minαZ1+βZ2。乘客站臺(tái)候車(chē)情況見(jiàn)圖2。

3.3 ? ?約束條件

3.3.1 ? ?列車(chē)時(shí)刻表約束

式（4）為第一列列車(chē)始發(fā)范圍約束；式（5）為列車(chē)始發(fā)時(shí)刻約束；式（6）為列車(chē)區(qū)間運(yùn)行時(shí)間約束；式（7）為列車(chē)停站時(shí)間約束；式（8）為相鄰列車(chē)始發(fā)間隔約束；式（9）、式（10）為車(chē)底折返約束，車(chē)底折返示意圖如圖3所示。

3.3.2 ? ?車(chē)站限流約束

式（11）表示的是站外等待乘客數(shù)，在時(shí)間t內(nèi)（準(zhǔn)確來(lái)講，是時(shí)間t末）站外等待的乘客數(shù)可由時(shí)間t-1內(nèi)的站外等待乘客數(shù)、時(shí)間t內(nèi)新到乘客數(shù)和進(jìn)站乘客數(shù)計(jì)算得出；式（12）為允許進(jìn)站乘客數(shù)，在允許乘客進(jìn)站時(shí)，到達(dá)乘客按到站時(shí)間排隊(duì)，通過(guò)比較截止時(shí)間t和t-1，已知已經(jīng)進(jìn)站乘客的最晚到達(dá)時(shí)間▽t和▽t+1，可以得到在時(shí)間范圍[▽t-1+1，▽t]內(nèi)到站的乘客在時(shí)間t內(nèi)進(jìn)站；式（13）為進(jìn)站時(shí)間不得早于到達(dá)時(shí)間的約束。

3.3.3 ? ?乘客與列車(chē)交互約束

式（14）為到達(dá)站臺(tái)乘客數(shù)，由進(jìn)站乘客與站內(nèi)走行時(shí)間決定；式（15）為站臺(tái)候車(chē)乘客數(shù)，由與前一列車(chē)發(fā)車(chē)時(shí)間間隔內(nèi)站臺(tái)到達(dá)乘客數(shù)和受前列車(chē)運(yùn)力限制而滯留站臺(tái)的乘客數(shù)決定；式（16）為上車(chē)乘客數(shù)，通過(guò)比較截止列車(chē)i、i-1發(fā)車(chē)，已知已經(jīng)上車(chē)的乘客最晚到達(dá)站臺(tái)的時(shí)間為△i、△i-1，可以得到在時(shí)間范圍[△i-1+1，△i]內(nèi)到達(dá)站臺(tái)的乘客可以登上列車(chē)i；式（17）為下車(chē)乘客數(shù)；式（18）、（19）為站臺(tái)滯留乘客數(shù)；式（20）保證研究時(shí)段內(nèi)到達(dá)的乘客均能上車(chē)；式（21）、（22）為列車(chē)區(qū)間滿(mǎn)載率約束。

4 ? ?算例分析

4.1 ? ?算例描述

本文考慮具有4座車(chē)站的雙向城市軌道交通線路，從下行方向開(kāi)始依次命名為s1、s2、s3、s4。每個(gè)方向各運(yùn)行5列列車(chē)，共有本線和換乘兩種客流需求。為建立整數(shù)線性規(guī)劃模型且便于計(jì)算，將整個(gè)研究時(shí)段劃分為41個(gè)研究時(shí)刻，每一時(shí)間間隔為σ=60s。假設(shè)各區(qū)間運(yùn)行時(shí)間、各站臺(tái)停站時(shí)間一直固定，分別為240s、60s。其他參數(shù)設(shè)置如表1所示，客流需求如表2所示，且在研究時(shí)間范圍內(nèi)乘客到達(dá)服從正態(tài)分布。

4.2 ? ?結(jié)果分析

通過(guò)使用MATLAB調(diào)用Cplex軟件編程，上述規(guī)劃模型的最優(yōu)解在488s后計(jì)算得出。

4.2.1 ? ?列車(chē)時(shí)刻表分析

圖4展示了最優(yōu)解中的列車(chē)時(shí)刻表及乘客在站臺(tái)的候車(chē)情況，其中藍(lán)色（綠色）線條表示下行（上行）方向的列車(chē)，藍(lán)色（綠色）方框中的數(shù)字表示下行（上行）方向站臺(tái)內(nèi)候車(chē)的乘客，藍(lán)色（綠色）圓圈中的數(shù)字表示列車(chē)在下行（上行）方向上的區(qū)間載客數(shù)。由圖4可以看出，在客流需求大的時(shí)段，列車(chē)開(kāi)車(chē)間隔小，這一安排與該時(shí)刻表是以客流需求為導(dǎo)向制定的理念相符。同時(shí)，結(jié)果數(shù)據(jù)表明列車(chē)3和4在區(qū)間s2—s3滿(mǎn)載率極高，且存在下行方向的乘客在車(chē)站s2、上行方向的乘客在車(chē)站s3因列車(chē)容量有限而滯留站臺(tái)的情況。

4.2.2 ? ?乘客進(jìn)站分析

圖5展示了各車(chē)站的最佳進(jìn)站乘客數(shù)和站外等待乘客數(shù)變化曲線。為避免乘客在站內(nèi)擁擠，在保證乘客服務(wù)水平的前提下，我們盡可能地安排乘客在站外等待。隨著乘客的到達(dá)，站外等待的乘客數(shù)逐漸增加；等到列車(chē)到站時(shí)，上車(chē)的乘客和受最大限流強(qiáng)度約束的乘客進(jìn)站，站外等待乘客數(shù)減少；當(dāng)列車(chē)出發(fā)后，站外乘客又逐漸累積，如此循環(huán)，站外等待乘客數(shù)量隨著列車(chē)到發(fā)規(guī)律發(fā)生重復(fù)變化。以圖5（a）為例，當(dāng)t∈[9，11]時(shí)，到達(dá)乘客累積在站外等待。此后，為登上在時(shí)刻14到達(dá)的列車(chē)，乘客在時(shí)刻12和13陸續(xù)進(jìn)站，站外等待乘客減少，但為保證下游乘客能夠順利上車(chē)，仍有部分站外等待乘客被限制進(jìn)站，繼續(xù)在站外等待。

4.2.3 ? ?對(duì)比分析

為驗(yàn)證協(xié)同優(yōu)化模型的有效性，本文將協(xié)同優(yōu)化后的效果同不限流，以及不考慮列車(chē)時(shí)刻表優(yōu)化下僅限流的效果進(jìn)行對(duì)比，對(duì)比結(jié)果如表3所示。結(jié)果表明，在不設(shè)置限流措施時(shí)，乘客全部在站臺(tái)等待，站臺(tái)等待時(shí)間較協(xié)同優(yōu)化增加了99.95%，總時(shí)間增加了19.99%；而在僅考慮限流優(yōu)化時(shí)，雖然乘客被限制進(jìn)站，乘客站臺(tái)等待時(shí)間較無(wú)限流措施時(shí)卻有了極大程度的減少，但與協(xié)同優(yōu)化相比仍增加了9.64%，總時(shí)間增加了15.29%。由此可知，列車(chē)時(shí)刻表與限流協(xié)同優(yōu)化對(duì)于減少乘客站臺(tái)等待時(shí)間和總等待時(shí)間具有顯著效果。除此之外，換乘乘客站外等待時(shí)間為0，表明在進(jìn)站條件允許下，換乘客流先于本線客流進(jìn)站，限流遵循“先限本線，后限換乘”的原則。

各時(shí)刻站臺(tái)聚集乘客數(shù)體現(xiàn)了站臺(tái)瞬時(shí)聚集的乘客量，包括站臺(tái)等待乘客數(shù)和列車(chē)到站下車(chē)乘客數(shù)，是站臺(tái)擁擠程度的直觀反映。本文以車(chē)站s1為例，將未采取限流措施、給定時(shí)刻表下限流和列車(chē)時(shí)刻表與限流協(xié)同優(yōu)化下的站臺(tái)聚集乘客數(shù)進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖6所示。在不進(jìn)行限流時(shí)，乘客在時(shí)刻13、14時(shí)大量聚集在站臺(tái)，站臺(tái)擁擠度最高。而僅限流時(shí)，雖然在一定程度上降低了站臺(tái)最大的聚集峰值，但推遲了部分乘客聚集的時(shí)間。相較之下，協(xié)同優(yōu)化整體既減少了站臺(tái)的聚集乘客數(shù)，又降低了站臺(tái)平均擁擠度，對(duì)緩解站臺(tái)擁擠具有重要作用。

5 ? ?結(jié) ? ?語(yǔ)

本文通過(guò)研究列車(chē)運(yùn)行過(guò)程、車(chē)站限流過(guò)程和乘客與列車(chē)交互過(guò)程，構(gòu)建了以乘客總等待時(shí)間最小化為目標(biāo)函數(shù)的列車(chē)時(shí)刻表與常態(tài)限流協(xié)同優(yōu)化模型，并采用小規(guī)模算例對(duì)模型進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，得出如下結(jié)論。

本文構(gòu)建的協(xié)同優(yōu)化模型從供需兩側(cè)出發(fā)，提高了列車(chē)運(yùn)能與客流需求的匹配程度，相較于兩者單一優(yōu)化而言在減少乘客等待時(shí)間方面具有明顯作用。其中，較僅考慮時(shí)刻表優(yōu)化，乘客總等待時(shí)間減少了19.99%；較僅考慮限流優(yōu)化，乘客總等待時(shí)間減少了16.66%。

在協(xié)同優(yōu)化的研究中，要求到站乘客盡可能地在站外排隊(duì)等待，再根據(jù)列車(chē)到發(fā)規(guī)律排隊(duì)進(jìn)站，從整體上降低了站臺(tái)乘客的聚集程度，緩解了站臺(tái)擁擠。

最大限流強(qiáng)度的取值決定了乘客的進(jìn)站情況，進(jìn)而影響到乘客服務(wù)水平和乘客等待時(shí)間，故合理確定最大限流強(qiáng)度對(duì)提高乘客服務(wù)水平、減少乘客等待時(shí)間具有重要意義。

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