蔣玲鳳, 安新磊, 任雁瀾

(蘭州交通大學(xué)數(shù)理學(xué)院, 蘭州 730070)

在復(fù)雜的非線性系統(tǒng)中通過設(shè)置適當(dāng)?shù)膮?shù)通?？梢杂^察到混沌現(xiàn)象,在過去的幾十年里,混沌行為的相關(guān)問題一直受到廣泛的研究。例如,許多混沌系統(tǒng)被設(shè)計(jì)以產(chǎn)生特定的吸引子[1-3],利用混沌電路設(shè)計(jì)信號(hào)振蕩器[4]、實(shí)現(xiàn)安全通信和圖像加密[5-8]。此外,還提出了很多混沌控制和實(shí)現(xiàn)同步的方法[9-11]。結(jié)果表明,自適應(yīng)控制法要比其他控制方法更具優(yōu)勢(shì),因?yàn)楹线m的控制器可以消耗更低的能量和更短的瞬態(tài)周期來達(dá)到目標(biāo)軌道。

混沌電路之間的同步實(shí)現(xiàn)可以提高信號(hào)的輸出功率和強(qiáng)度?；陔娮璧碾妷厚詈鲜浅Ｒ姷鸟詈戏绞?但在實(shí)現(xiàn)同步的過程中耦合電阻會(huì)消耗焦耳熱。近幾年,Ma等[12]、Xu等[13]基于生物學(xué)和物理學(xué)觀點(diǎn)提出了場(chǎng)耦合的概念,通過非線性器件耦合混沌電路和神經(jīng)元電路,發(fā)現(xiàn)在不同非線性器件耦合作用下,耦合系統(tǒng)可以表現(xiàn)出豐富的動(dòng)力學(xué)特征[14-18]。例如,Liu等[16]通過電容器橋接Chua電路,結(jié)果發(fā)現(xiàn)這種場(chǎng)耦合可以在不消耗焦耳熱的情況下調(diào)節(jié)無量綱混沌電路之間的同步穩(wěn)定性。Yao等[17]使用可調(diào)電感線圈連接兩個(gè)Chua電路,研究發(fā)現(xiàn),電感耦合有利于實(shí)現(xiàn)兩個(gè)混沌系統(tǒng)的同步。張秀芳等[18]利用光電管耦合FHN (fitz hugh-nagumo)神經(jīng)元并分析其動(dòng)力學(xué)特性,結(jié)果表明在耦合強(qiáng)度較小時(shí), 耦合系統(tǒng)由于受迫共振表現(xiàn)為完全同步,耦合強(qiáng)度較大時(shí), 耦合系統(tǒng)傾向于相位同步。

可調(diào)電容在調(diào)節(jié)動(dòng)態(tài)特性和輸出方面起著重要的作用,其機(jī)理是耦合電容器的連續(xù)充放電改變了電容器中的電場(chǎng),能量流交換得到增強(qiáng),這樣就可以有效地改變耦合電路的輸出,使兩個(gè)混沌電路實(shí)現(xiàn)同步。通過電感線圈連接神經(jīng)元可以激發(fā)磁場(chǎng)耦合,有效地描述化學(xué)突觸耦合[19]。事實(shí)上,電容器和電感線圈這些耦合電子元件都可以有效地橋接非線性電路來實(shí)現(xiàn)可能的同步,所以場(chǎng)耦合可以增強(qiáng)非線性電路之間的能量傳播,因此電場(chǎng)和磁場(chǎng)耦合均可以為神經(jīng)元之間的信息傳遞提供一種可能的有效方式[20]。

約瑟夫森結(jié)是利用超導(dǎo)材料制作的一種具有高度非線性性的新型器件,它不僅具有高工作頻率、低噪聲和低功耗等優(yōu)點(diǎn),而且約瑟夫森結(jié)及其相關(guān)電路中存在著復(fù)雜的混沌動(dòng)力學(xué)行為[21],因此約瑟夫森結(jié)是構(gòu)建混沌電路的理想元件。Shukrinov等[22]發(fā)現(xiàn),輻射會(huì)在單結(jié)中產(chǎn)生混沌效應(yīng),但結(jié)間耦合的效應(yīng)是不同的,它可以通過與單結(jié)不同的路徑產(chǎn)生混沌現(xiàn)象。Zhang等[23]利用約瑟夫森結(jié)與電阻并聯(lián)形成混合突觸來耦合FHN神經(jīng)元電路,可以通過在結(jié)之間產(chǎn)生加性相位誤差來估計(jì)外部磁場(chǎng)的影響,結(jié)果表明通過調(diào)控參數(shù)可以穩(wěn)定兩個(gè)FHN神經(jīng)回路之間的同步。

現(xiàn)以Chua電路為研究對(duì)象,并引入約瑟夫森結(jié),通過數(shù)值模擬給出分岔圖、相圖,分析該電路的放電行為。運(yùn)用電容器耦合該系統(tǒng),引入外界磁場(chǎng),基于同步誤差原理討論不同參數(shù)、不同外界磁場(chǎng)下兩個(gè)系統(tǒng)的完全同步行為。

1 模型描述

Chua電路經(jīng)常被用于研究混沌同步和控制,是一種常見的混沌電路。該電路由兩個(gè)電容器(C1,C2)、兩個(gè)電阻器(R1,R2)、一個(gè)電感線圈L和一個(gè)非線性電阻RN組成,是一個(gè)三階自治系統(tǒng),其電路的狀態(tài)變化主要依賴于電容、電感和電阻值,且對(duì)其變化的影響及其敏感。在Chua電路的基礎(chǔ)上引入約瑟夫森結(jié),得到電路如圖1(a)所示,圖1(b)為非線性電阻RN的電流電壓曲線圖。

圖1 Chua電路并聯(lián)約瑟夫森結(jié)的電路圖和非線性電阻的電流電壓曲線圖Fig.1 The circuit diagram of the parallel Josephson junction of the Chua’s circuit and the current and voltage curve of the nonlinear resistor

圖1(a)中,通過約瑟夫森結(jié)的電流為

IJ=ICsinφ

(1)

式(1)中:IC為約瑟夫森結(jié)的臨界電流;φ為超導(dǎo)電子波函數(shù)相位差。

根據(jù)基爾霍夫定律及伏安關(guān)系可得圖1(a)的電路方程為

(2)

式(2)中:?為普朗克常數(shù)除以2π;VC1為約瑟夫森結(jié)兩端的電壓;e為單元電荷電量。

圖1(b)的分段函數(shù)可以描述為

iNR=GbVC1+0.5(Ga-Gb)(|VC1+E|-|VC1-E|)

(3)

為了方便數(shù)值計(jì)算和進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析,通過標(biāo)準(zhǔn)尺度變換將電路方程映射到無量綱動(dòng)力系統(tǒng),其標(biāo)準(zhǔn)尺度變換公式為

(4)

得到無量綱方程為

(5)

f(x)=m1x+0.5(m0-m1)(|x+1|-|x-1|)

(6)

事實(shí)上,外界恒定磁場(chǎng)對(duì)約瑟夫森結(jié)的通道電流和相位誤差的影響表達(dá)式為

(7)

式(7)中:A表示磁矢勢(shì);1、2表示約瑟夫森結(jié)的左右兩側(cè),外磁場(chǎng)作用下的電路如圖2所示。

圖2 外界磁場(chǎng)下Chua電路并聯(lián)約瑟夫森結(jié)的電路圖Fig.2 Circuit diagram of Chua’s circuit in parallel with Josephson junction under external magnetic field

當(dāng)約瑟夫森結(jié)連接的神經(jīng)電路暴露在外磁場(chǎng)中,庫柏對(duì)的傳播將受到磁場(chǎng)的影響,從而使結(jié)電流受到周期性擾動(dòng)[24]?？紤]到磁場(chǎng)對(duì)約瑟夫森結(jié)的隨機(jī)干擾,其電路的動(dòng)力學(xué)方程描述為

(8)

式(8)中:G表示外部磁場(chǎng)產(chǎn)生的加性相位誤差,可以通過強(qiáng)度和方向的變化對(duì)其調(diào)整。

混沌同步的概念是在20世紀(jì)80年代末被首次提出的,是實(shí)現(xiàn)混沌保密通信的關(guān)鍵技術(shù),此外,同步是大腦記憶和存儲(chǔ)信息等活動(dòng)的重要因素,對(duì)神經(jīng)元處理以及傳遞生物信息有著重要意義。因此研究系統(tǒng)的同步問題是有必要的,用電容器C耦合系統(tǒng)(8),其電路如圖3所示。

圖3 電容器耦合系統(tǒng)(8)的電路圖Fig.3 Circuit diagram of capacitor coupling system (8)

來自電容器的反饋電流為

(9)

(10)

(11)

(12)

當(dāng)誤差函數(shù)θ隨時(shí)間減小到零,則說明耦合系統(tǒng)達(dá)到了完全同步。由式(11)可知,可以控制參數(shù)k來調(diào)節(jié)軌道距離,從而使耦合系統(tǒng)的完全同步穩(wěn)定。在實(shí)踐中,可以應(yīng)用飽和增益法,即稍微增加耦合強(qiáng)度來尋找其臨界閾值以支持完全同步的獲得。

2 數(shù)值結(jié)果

在數(shù)值模擬中,采用四階龍格庫塔算法,積分步長(zhǎng)h=0.01,計(jì)算的時(shí)間為t=1 000。選取兩系統(tǒng)的初值分別為(0.2,0.1,0.1,0.1)和(0.02,0.01,0.01,0.01),選取參數(shù)為m0=-1.296,m1=-0.738,β=19,d=2,f=0.07?？紤]到系統(tǒng)(8)在不同的參數(shù)下會(huì)呈現(xiàn)不同的放電模式,因而可能會(huì)導(dǎo)致電路的動(dòng)力學(xué)行為發(fā)生變化,首先繪制了系統(tǒng)(8)隨參數(shù)α變化的分岔圖,如圖4所示。

圖4 系統(tǒng)(8)在G=0時(shí)關(guān)于參數(shù)α∈[4,10]的分岔圖Fig.4 Bifurcation diagram of system (8) with respect to parameterα∈[4,10] when G=0

由圖4可知,隨著參數(shù)α的增加,系統(tǒng)(8)從周期放電通向混沌放電,當(dāng)α∈[4,8.4]時(shí),系統(tǒng)為周期態(tài),當(dāng)α∈[8.4,10]時(shí),系統(tǒng)為混沌態(tài)。為了更清晰的觀察系統(tǒng)隨參數(shù)α的變化而呈現(xiàn)的不同放電狀態(tài),分別取α=6和α=10,得到系統(tǒng)的時(shí)間序列圖及相圖如圖5所示。

圖5 系統(tǒng)(8)的時(shí)間序列圖及相圖Fig.5 Time series diagrams and phase diagrams of system (8)

圖5的結(jié)果表明吸引子的形成取決于參數(shù)的設(shè)置。當(dāng)α=6時(shí),系統(tǒng)處于周期1簇放電,當(dāng)α=10時(shí),系統(tǒng)處于混沌放電,此時(shí)系統(tǒng)表現(xiàn)出雙渦卷振蕩。該結(jié)果與圖4結(jié)果一致,進(jìn)一步驗(yàn)證了圖4的正確性。對(duì)于耦合系統(tǒng)(11),主要探究耦合系統(tǒng)完全同步的實(shí)現(xiàn)與系統(tǒng)放電狀態(tài)的關(guān)系,分別對(duì)電容器耦合兩個(gè)周期系統(tǒng)、兩個(gè)混沌系統(tǒng)以及一個(gè)周期一個(gè)混沌系統(tǒng)進(jìn)行討論。

首先考慮兩個(gè)參數(shù)相同的周期系統(tǒng)(α=6),為了探究耦合強(qiáng)度k和外界磁場(chǎng)G對(duì)系統(tǒng)的影響,繪制了在外界磁場(chǎng)G=0和G=0.7時(shí)耦合系統(tǒng)關(guān)于耦合強(qiáng)度k的最大誤差分岔圖,如圖6所示。

圖6 外界磁場(chǎng)下系統(tǒng)(11)的最大誤差分岔圖Fig.6 Maximum error bifurcation diagrams of system (11) under external magnetic field

圖6結(jié)果表明,外界磁場(chǎng)能夠改變耦合系統(tǒng)的放電模式。從圖6(a)可以看出,當(dāng)耦合強(qiáng)度增加到0.045時(shí)系統(tǒng)的最大誤差趨于零,系統(tǒng)出現(xiàn)了不同步到完全同步的現(xiàn)象;從圖6(b)可以看出,當(dāng)耦合強(qiáng)度增加到0.03時(shí)系統(tǒng)的最大誤差也趨于零,系統(tǒng)也出現(xiàn)了不同步到同步的現(xiàn)象,進(jìn)一步增加耦合強(qiáng)度到0.31時(shí),系統(tǒng)出現(xiàn)了去同步現(xiàn)象。因此,無論是否有外界磁場(chǎng)的作用,都能使系統(tǒng)達(dá)到完全同步。耦合系統(tǒng)在外界磁場(chǎng)G=0.7時(shí)的誤差演化圖如圖7所示。

圖7 電容耦合下兩個(gè)周期系統(tǒng)的誤差演化圖Fig.7 Error evolution diagrams of two periodic systems with capacitor coupling

從圖7(a)和圖7(b)可以看出,隨著k的增加,同步誤差減小,系統(tǒng)靠近完全同步;當(dāng)k=0.2時(shí),由圖7(c)可以看出系統(tǒng)的同步誤差隨時(shí)間逐步減小,最終穩(wěn)定于零,因此在k=0.2時(shí)耦合系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)完全同步;而當(dāng)k=0.4時(shí),同步誤差隨時(shí)間逐步增加,系統(tǒng)未能達(dá)到完全同步。圖7的結(jié)果與圖6(b)對(duì)應(yīng),隨著耦合強(qiáng)度的增加,系統(tǒng)經(jīng)歷從不同步到完全同步再到去同步的過程。因此,在合適的耦合強(qiáng)度下,電容器耦合兩個(gè)全同周期系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)完全同步。

下面考慮電容器耦合兩個(gè)參數(shù)相同的混沌系統(tǒng)(α=9),同樣,首先繪制了外界磁場(chǎng)G=0和G=0.1時(shí)耦合系統(tǒng)關(guān)于耦合強(qiáng)度k的最大誤差分岔圖,如圖8所示。

圖8 外界磁場(chǎng)下系統(tǒng)(11)的最大誤差分岔圖。Fig.8 Maximum error bifurcation diagrams of system (11) under external magnetic field

圖8表明,外界磁場(chǎng)可以調(diào)控系統(tǒng)達(dá)到完全同步時(shí)耦合強(qiáng)度的范圍,在該系統(tǒng)中,外界磁場(chǎng)使得系統(tǒng)能夠達(dá)到完全同步的耦合強(qiáng)度范圍減小。當(dāng)外界磁場(chǎng)G=0時(shí),耦合強(qiáng)度增加到0.03時(shí)系統(tǒng)的最大誤差減小到趨于零,系統(tǒng)出現(xiàn)不同步到完全同步的現(xiàn)象;當(dāng)外界磁場(chǎng)G=0.1時(shí),耦合強(qiáng)度增加到0.09時(shí)系統(tǒng)的最大誤差減小到趨于零,系統(tǒng)也出現(xiàn)了不同步到完全同步的現(xiàn)象。因此,無論是否有外界磁場(chǎng)的作用,都能使兩個(gè)不同步的混沌系統(tǒng)達(dá)到完全同步。圖9繪制了外界磁場(chǎng)G=0.1時(shí)系統(tǒng)的誤差演化圖。

圖9 電容耦合下兩個(gè)混沌系統(tǒng)的誤差演化圖Fig.9 Error evolution diagrams of two chaotic systems with capacitor coupling

從圖9可以看出,隨著耦合強(qiáng)度的增加,同步誤差趨于減小,最終穩(wěn)定于零,耦合系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)完全同步。當(dāng)k=0和k=0.04時(shí),存在誤差,系統(tǒng)未達(dá)到同步;當(dāng)k=0.1和k=0.4時(shí),由放大圖可以看出同步誤差最終穩(wěn)定于零,因此在k=0.2和k=0.4時(shí)耦合系統(tǒng)達(dá)到了完全同步,且k=0.4時(shí)效果更好。該結(jié)果與圖8(b)完全對(duì)應(yīng),因此,在合適的耦合強(qiáng)度下,電容器耦合兩個(gè)全同混沌系統(tǒng)也可以實(shí)現(xiàn)完全同步。

下面考慮電容器耦合一個(gè)周期系統(tǒng)(α=6)和一個(gè)混沌系統(tǒng)(α=9),即兩個(gè)參數(shù)不同的系統(tǒng)。首先給出了外界磁場(chǎng)G=0時(shí)耦合系統(tǒng)關(guān)于耦合強(qiáng)度k的最大誤差分岔圖,如圖10(a)所示。

圖10 電容器耦合周期和混沌系統(tǒng)的最大誤差分岔圖Fig.10 Maximum error bifurcation diagrams of a capacitor coupling a period and a chaotic system

圖10(a)結(jié)果表明,無論耦合強(qiáng)度如何改變系統(tǒng)都存在誤差,因此在沒有外界磁場(chǎng)的作用下系統(tǒng)無法實(shí)現(xiàn)完全同步。為了找到可能使耦合系統(tǒng)達(dá)到完全同步的外界磁場(chǎng)值,固定k=0.3,繪制了關(guān)于外界磁場(chǎng)G的最大誤差分岔圖,如圖10(b)所示。從圖10(b)的放大圖可以看出,當(dāng)G∈[0.55,0.65]時(shí),系統(tǒng)的最大誤差小于10-3,因此系統(tǒng)在G∈[0.55,0.65]時(shí)可能達(dá)到完全同步,進(jìn)一步增加磁場(chǎng)強(qiáng)度,系統(tǒng)的誤差也逐漸增加,因此系統(tǒng)在G∈[0.65,1]時(shí)無法實(shí)現(xiàn)完全同步。為了驗(yàn)證G∈[0.55,0.65]時(shí)系統(tǒng)可以達(dá)到完全同步,取G=0.6,繪制了系統(tǒng)的誤差演化圖,如圖11所示。

圖11 電容耦合下周期和混沌系統(tǒng)的誤差演化圖Fig.11 Error evolution diagrams of a periodic and a chaotic system under capacitor coupling

從圖11可以看出,當(dāng)k=0.1和k=0.2時(shí)系統(tǒng)未達(dá)到完全同步;當(dāng)k=0.3和k=0.4時(shí),同步誤差隨時(shí)間逐步減小,由放大圖知同步誤差最終并未減小到零,但誤差非常小,因此在k=0.3和k=0.4時(shí)耦合系統(tǒng)幾乎達(dá)到了完全同步,將它稱為幾乎完全同步。因此,在合適的外界磁場(chǎng)以及一定的耦合強(qiáng)度下,電容器耦合周期和混沌系統(tǒng)可以達(dá)到幾乎完全同步。

綜上所述,在沒有外界磁場(chǎng)時(shí),調(diào)控耦合強(qiáng)度可以使電容器耦合兩個(gè)全同周期系統(tǒng)和兩個(gè)全同混沌系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)完全同步,但無法使兩個(gè)參數(shù)不同的系統(tǒng)達(dá)到完全同步。當(dāng)存在外界磁場(chǎng)時(shí),不僅可以使兩個(gè)全同周期系統(tǒng)和兩個(gè)全同混沌系統(tǒng)達(dá)到完全同步,并且在外界磁場(chǎng)G=0.6時(shí),還可以使電容器耦合周期和混沌系統(tǒng)達(dá)到幾乎完全同步。

3 結(jié)論

首先通過對(duì)約瑟夫森結(jié)連接的Chua電路方程無量綱化得到一般的動(dòng)力學(xué)方程,并結(jié)合數(shù)值模擬分析了該系統(tǒng)的放電行為。其次,用電容器耦合該系統(tǒng),分類討論了耦合系統(tǒng)在不同放電模式下達(dá)到完全同步所需要的條件,結(jié)果表明,在合適的外界磁場(chǎng)和一定的耦合強(qiáng)度下,耦合系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)完全同步或者幾乎完全同步。對(duì)比Chua電路,該系統(tǒng)可以產(chǎn)生更復(fù)雜的混沌行為,而混沌時(shí)間序列可以生成安全密鑰來進(jìn)行安全通信,因此可以將此系統(tǒng)用于通信保密。