陳 洋,丁徐鍇,李宏生

(東南大學(xué)儀器科學(xué)與工程學(xué)院,江蘇南京 210096)

0 引言

微半球諧振陀螺儀是一種基于哥氏效應(yīng)工作的高精度振動(dòng)陀螺儀[1],利用徑向振動(dòng)駐波的進(jìn)動(dòng)效應(yīng)來(lái)檢測(cè)基座旋轉(zhuǎn)。其具有體積小,性能好,抗噪聲等優(yōu)點(diǎn)[2],是工業(yè)領(lǐng)域廣泛使用的慣性導(dǎo)航器件[3]。

微半球諧振陀螺儀通常有力平衡和全角2種工作模式。在全角模式下,通過(guò)外界給定激勵(lì)產(chǎn)生駐波振型,當(dāng)外界存在旋轉(zhuǎn)時(shí),根據(jù)Bryan效應(yīng)[4],哥氏力將引起駐波進(jìn)動(dòng)。當(dāng)外界旋轉(zhuǎn)角頻率遠(yuǎn)小于諧振子的諧振頻率時(shí),可以認(rèn)為振型的進(jìn)動(dòng)角度與外界旋轉(zhuǎn)角速度成正比,因此通過(guò)對(duì)振型角速度的計(jì)算可以得出外界旋轉(zhuǎn)角速度的大小。

然而,由于全角模式對(duì)諧振子結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性要求十分嚴(yán)格,目前的加工工藝不可避免地會(huì)引入結(jié)構(gòu)誤差,使得諧振子能量損耗不均勻,進(jìn)而導(dǎo)致頻率裂解以及阻尼失配等固有誤差[5],極大地影響角速度測(cè)量精度。趙萬(wàn)良[6]通過(guò)對(duì)采集數(shù)據(jù)和擬合數(shù)據(jù)求出理想進(jìn)動(dòng)角和實(shí)際進(jìn)動(dòng)角之間的誤差,并通過(guò)數(shù)學(xué)補(bǔ)償?shù)姆椒?降低了角度測(cè)量誤差。加州福利亞大學(xué)歐文分校團(tuán)隊(duì)[7]通過(guò)識(shí)別和補(bǔ)償增益失配,角度誤差降為原來(lái)的1/10。方海斌等[8]通過(guò)改進(jìn)信號(hào)處理方式以及降低電路熱噪聲的方式,減少了半球陀螺的輸出噪聲。朱楓等[9]提出用跟蹤微分器對(duì)陀螺角速度信號(hào)進(jìn)行濾波,縮短了系統(tǒng)的上升時(shí)間與調(diào)整時(shí)間,提高了航空光電穩(wěn)定平臺(tái)的視軸穩(wěn)定精度。

本文將根據(jù)半球陀螺儀的通用運(yùn)動(dòng)方程對(duì)微半球諧振子角度解算進(jìn)行分析,針對(duì)常規(guī)解算方法得出的角速度信號(hào)中有跳點(diǎn)的現(xiàn)象,采用一種基于偏導(dǎo)法的解算方法,消除角速度信號(hào)中的跳點(diǎn),并通過(guò)仿真和實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證;針對(duì)角速度信號(hào)噪聲較大的現(xiàn)象,利用自抗擾控制算法,減小角速度信號(hào)的噪聲,并通過(guò)理論分析、仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了抑制角速度信號(hào)噪聲的可行性。

1 微半球陀螺測(cè)控原理與角度解算原理

根據(jù)Lynch半球諧振陀螺理論模型[10],半球諧振陀螺的運(yùn)動(dòng)方程為:

(1)

式中:Ω為外界角速度;fx和fy為電極上施加的靜電力;θω為頻率主軸方位角;θτ為阻尼主軸方位角;ω為諧振頻率;τ為時(shí)間衰減常數(shù)。

且有:

(2)

式中:ω1為陀螺諧振子頻率主軸x的諧振頻率;ω2為頻率主軸y的諧振頻率;τ1和τ2為2個(gè)主軸的衰減時(shí)間常數(shù)。

理想情況下陀螺諧振子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖1所示。圖1中,a為理想諧振子橢圓軌道長(zhǎng)半軸,q為短半軸,θ為長(zhǎng)軸方位角,φ′為理想諧振子振動(dòng)的相位。

圖1 微半球諧振子理想軌道模型

使用平均法[10]對(duì)式(1)進(jìn)行分析,可以獲得如下緩變量:

(3)

式中:E為陀螺振幅,Q為陀螺正交誤差量;R、S用于解算進(jìn)動(dòng)角;L用于表征相位誤差;sx,cx,sy,cy分別為x、y方向位移信號(hào)的正余弦分量;φ為諧振子振動(dòng)的相位。

在全角模式下,諧振子振型隨外界輸入角速度而自由進(jìn)動(dòng),且振型角速度與外界輸入角速度成正比。當(dāng)諧振子工作在諧振頻率時(shí),用較小的驅(qū)動(dòng)力可以獲得較大的振幅,但諧振子工作環(huán)境的改變會(huì)導(dǎo)致諧振頻率不斷變化,需要設(shè)計(jì)鎖相環(huán)回路實(shí)現(xiàn)相位鎖定,保證激勵(lì)電壓頻率與諧振頻率一致。為了使幅度E不受損耗,需要不斷補(bǔ)充能量,設(shè)計(jì)幅度控制回路,保持幅度E穩(wěn)定。同時(shí),為了抑制陀螺諧振子的正交誤差,設(shè)計(jì)正交控制回路,將Q控制在0附近。此時(shí),根據(jù)諧振子的振型進(jìn)動(dòng)角速度可以反推出外界角速度的大小。

根據(jù)式(3)可推出振型進(jìn)動(dòng)角度θ的表達(dá)式為

(4)

然而,由于arctan函數(shù)的局限性,式(4)計(jì)算出的θ范圍為[-π/2,π/2],為了能夠在直角坐標(biāo)系下正確地觀察振型進(jìn)動(dòng),對(duì)θ進(jìn)行如下擴(kuò)展[11]:

(5)

擴(kuò)展后θ的范圍為[-π,π]。

2 基于偏導(dǎo)法的角速度解算優(yōu)化

利用常規(guī)的微分法可得角速度為

(6)

由式(5)可知,角度在-π和π處會(huì)發(fā)生突變,故用微分法得出的角速度會(huì)在此處產(chǎn)生跳點(diǎn)。在Simulink中搭建仿真模型,設(shè)置外界旋轉(zhuǎn)速度為30(°)/s,角增益因子為-0.5,此時(shí)振型角速度應(yīng)為

(7)

通過(guò)仿真得到的角速度信號(hào)如圖2所示。

圖2 原始算法角速度信號(hào)仿真

由圖2可知仿真結(jié)果與理論計(jì)算一致,但跳點(diǎn)現(xiàn)象十分明顯。常規(guī)做法為設(shè)置閾值η,當(dāng)θ發(fā)生變化時(shí),判斷|θnow-θlast|與η的大小,其中,θnow為當(dāng)前角度值,θlast為上一時(shí)刻角度值。出現(xiàn)跳點(diǎn)時(shí),在角速度解算中減去對(duì)應(yīng)跳變值,即

(8)

在Simulink中進(jìn)行仿真,參數(shù)與之前設(shè)置相同,仿真得到的角速度信號(hào)如圖3所示。

圖3 常規(guī)算法角速度信號(hào)仿真

由圖3可見(jiàn),常規(guī)算法在理想模型中消除了跳點(diǎn)現(xiàn)象。但由于硬件電路等噪聲信號(hào)的存在會(huì)影響式(5)中cx和S的值,導(dǎo)致判別出錯(cuò),實(shí)際實(shí)驗(yàn)中,在某些時(shí)刻仍會(huì)出現(xiàn)跳點(diǎn)現(xiàn)象。

針對(duì)常規(guī)算法仍不能完全解決跳點(diǎn)現(xiàn)象的問(wèn)題,利用偏導(dǎo)法對(duì)角速度進(jìn)行求解,根據(jù)式(6)可得:

(9)

式中

U2=R2+S2

(10)

根據(jù)式(3)可知,緩變量S和R不會(huì)發(fā)生突變,故式(9)為連續(xù)函數(shù),且此時(shí)θ的范圍為[-π,π],利用函數(shù)連續(xù)性便可消除跳點(diǎn)現(xiàn)象。在Simulink中進(jìn)行仿真,得到的角速度信號(hào)如圖4所示。

圖4 偏導(dǎo)法消除跳點(diǎn)仿真圖

由圖4可見(jiàn),利用偏導(dǎo)法消除了角速度信號(hào)中的跳點(diǎn)現(xiàn)象。

3 基于自抗擾控制的角速度噪聲抑制

在半球諧振陀螺全角控制模式下,由于諧振子的結(jié)構(gòu)不夠理想以及硬件噪聲等問(wèn)題,利用常規(guī)微分的方式得出的角速度信號(hào)噪聲較大,考慮利用自抗擾控制算法中的跟蹤微分器對(duì)信號(hào)噪聲進(jìn)行抑制。

自抗擾控制算法主要包括3個(gè)部分:ESO(狀態(tài)觀測(cè)器),非線性PID控制器以及TD(跟蹤微分器)。ESO目的是根據(jù)系統(tǒng)輸出估計(jì)出系統(tǒng)變量的擴(kuò)張狀態(tài),并輸出系統(tǒng)變量的估計(jì)值,根據(jù)系統(tǒng)輸入與觀測(cè)器的輸出估計(jì)值,得到輸入信號(hào)的誤差,利用非線性PID進(jìn)行控制,由此可以對(duì)總擾動(dòng)量進(jìn)行估計(jì)和補(bǔ)償,增強(qiáng)了系統(tǒng)的魯棒性。TD的目的是為了給輸入信號(hào)安排過(guò)渡過(guò)程,利用TD可以有效避免信號(hào)發(fā)生突變,而是使得輸入信號(hào)緩慢變化過(guò)去,有效避免常規(guī)微分器在輸入信號(hào)發(fā)生突變時(shí),輸出信號(hào)出現(xiàn)較大波動(dòng)的現(xiàn)象,從而改善輸出信號(hào)的信噪比,其離散化形式為

(11)

式中:T為系統(tǒng)采樣時(shí)間,本文T=0.001 s;r為速度因子,決定跟蹤微分器的跟蹤速度;v0(k)為跟蹤微分器輸入;x1(k)為過(guò)渡信號(hào),是跟蹤v0(k)的信號(hào);x2(k)為x1(k)的微分;y(k)為跟蹤微分器輸出。

由于存在硬件噪聲等問(wèn)題,在式(9)中利用常規(guī)微分器獲取角速度信號(hào)時(shí),S、R信號(hào)中通?；煊性肼曅盘?hào)γS(t)和γR(t),此時(shí)角速度輸出為

(12)

式中:

(13)

由式(12)可見(jiàn),當(dāng)采樣時(shí)間越小,對(duì)噪聲的放大作用越明顯,在Simulink中搭建仿真模型,在原始的R和S信號(hào)中分別加入均值為0,方差為1×10-10的隨機(jī)噪聲,角速度信號(hào)如圖5所示。

圖5 偏導(dǎo)法角速度信號(hào)仿真

根據(jù)圖5可見(jiàn),常規(guī)微分器下噪聲信號(hào)對(duì)角速度信號(hào)影響較大。

為減弱噪聲的放大效應(yīng),針對(duì)式(9)中的微分項(xiàng),將跟蹤微分器替代常規(guī)微分器,此時(shí)角速度為

(14)

式中:T1和T2均為采樣時(shí)間,且有

(15)

由式(14)可見(jiàn),跟蹤微分器對(duì)噪聲信號(hào)起到了抑制作用。在Simulink進(jìn)行仿真,其余參數(shù)與之前相同,仿真圖如圖6所示,仿真結(jié)果表明,跟蹤微分器減小了角速度信號(hào)噪聲。

圖6 跟蹤微分算法角速度信號(hào)仿真

4 實(shí)驗(yàn)

4.1 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)和測(cè)控系統(tǒng)

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文所提算法的正確性,對(duì)微半球諧振陀螺進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,圖7為測(cè)控電路。

圖7 測(cè)控電路實(shí)物圖

4.2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

將測(cè)控電路與半球陀螺諧振子放置在轉(zhuǎn)臺(tái)上,接通測(cè)控電路電源,設(shè)置陀螺儀輸出采樣頻率為125 Hz,設(shè)置轉(zhuǎn)臺(tái)以+30 (°)/s的速率進(jìn)行轉(zhuǎn)動(dòng)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖8所示,可以看出常規(guī)算法存在跳點(diǎn)現(xiàn)象,利用偏導(dǎo)法進(jìn)行角速度解算后實(shí)現(xiàn)了跳點(diǎn)現(xiàn)象的消除,但存在較大噪聲,通過(guò)自抗擾控制算法,角速度信號(hào)的噪聲得到明顯抑制。

圖8 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)圖

由式(7)可知,當(dāng)外界角速度為30(°)/s時(shí),振型進(jìn)動(dòng)角速度為-0.261 8 rad/s,與實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致。

根據(jù)式(11),速度因子r對(duì)噪聲抑制效果有較大影響,設(shè)置陀螺儀外界輸入角速度為0 (°)/s,采樣時(shí)間30 min,不同速度因子下角速度噪聲如表1所示。

表1 速度因子對(duì)噪聲的影響

由表1可見(jiàn),隨著速度因子r的增大,跟蹤微分器對(duì)噪聲抑制效果越好,并且隨著r的增大,跟蹤微分器對(duì)噪聲的抑制效果越來(lái)越不明顯。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證自抗擾控制算法抑制噪聲的有效性,設(shè)置陀螺儀輸出采樣頻率為1 Hz,采樣時(shí)間1.5 h,零偏穩(wěn)定性以及角度隨機(jī)游走對(duì)比結(jié)果如表2所示。

表2 陀螺噪聲性能對(duì)比

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,通過(guò)自抗擾控制算法,有效抑制了陀螺儀角速度信號(hào)的噪聲。由表2可知,輸出角速度信號(hào)的零偏穩(wěn)定性提高了25.63%,角度隨機(jī)游走降低了83.89%。

5 結(jié)論

本文針對(duì)微半球諧振陀螺在工作狀態(tài)下輸出角速度信號(hào)存在跳點(diǎn)現(xiàn)象的問(wèn)題,用偏導(dǎo)法對(duì)角速度解算方法進(jìn)行優(yōu)化,實(shí)驗(yàn)證明該方法可以消除跳點(diǎn)現(xiàn)象。針對(duì)輸出角速度信號(hào)噪聲較大的問(wèn)題,通過(guò)自抗擾控制算法進(jìn)行處理,測(cè)試結(jié)果表明,通過(guò)自抗擾控制算法,輸出角速度信號(hào)的噪聲得到明顯抑制,具有應(yīng)用價(jià)值。