曾濤　呂麗軍

摘要：由鏡和光柵組成的 XUV 光學(xué)系統(tǒng)具有平面對(duì)稱的性質(zhì)，結(jié)合 Lu平面對(duì)稱光柵系統(tǒng)的波像差理論和均方根像差評(píng)價(jià)函數(shù)得到用以優(yōu)化 XUV 光學(xué)系統(tǒng)的多參量目標(biāo)函數(shù)。為求解該多自變量且大取值區(qū)間的目標(biāo)函數(shù)，提出了一種基于十進(jìn)制的實(shí)數(shù)編碼遺傳算法，并將其用于兩種 XUV 光學(xué)系統(tǒng)的優(yōu)化求值。將求得的優(yōu)化值用光學(xué)仿真軟件 Shadow進(jìn)行追跡，并和參考文獻(xiàn)進(jìn)行對(duì)比。結(jié)果顯示本文優(yōu)化后的光學(xué)系統(tǒng)在成像質(zhì)量上有明顯上升，表明波像差理論及本文的實(shí)數(shù)編碼遺傳算法可以有效地優(yōu)化 XUV 光學(xué)系統(tǒng)，為此類系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了新的思路。

關(guān)鍵詞：波像差理論；實(shí)數(shù)編碼；XUV 光學(xué)系統(tǒng)；點(diǎn)列圖

中圖分類號(hào)： TN 23；TH 744；O 435 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

Optimization of XUV optical system by real-coded genetic algorithm based on wave aberration theory

ZENG Tao，LYU Lijun

（Department of Precision Mechanical Engineering， Shanghai University， Shanghai 200072， China）

Abstract： The XUV optical system composed of mirrors and gratings has the property of plane- symmetry. Combining the wave aberration theory of the Lu plane symmetric grating system and the root mean aquare aberration evaluation function， the multi-parameter objective function for optimizing the XUV optical system is obtained. In order to solve the objective function with multiple independent variables and a large value interval， a real-coded genetic algorithm based on decimal is developed in this paper， and it is used for the optimization of two XUV optical systems. The optimized value obtained is traced with the optical simulation software Shadow， and compared with the reference. The results show that the optical system optimized in this paper has a significant improvement in imaging quality， indicating that the wave aberration theory and the real-codedgenetic algorithm in this paper are effective in optimizing the XUV optical system， which provides a new idea for the optimal design of such systems.

Keywords： wave aberration theory；real number coding；XUV optical system；spot diagram

引言

在同步輻射研究中，基于平面對(duì)稱布置的 XUV 光學(xué)系統(tǒng)有著重要的應(yīng)用[1]。不同的文獻(xiàn)中對(duì) XUV 的定義頗為不同，本文將 XUV 定義為從軟 X 射線到極紫外波段的光源。超短脈沖的 XUV 光源具有高的空間分辨率和時(shí)間分辨率，有助于人們獲得晶體、分子結(jié)構(gòu)和電子軌道的結(jié)構(gòu)信息和動(dòng)力學(xué)信息，進(jìn)而更好地認(rèn)識(shí)物質(zhì)世界[2]。在以往的 XUV 光學(xué)儀器設(shè)計(jì)中，人們傾向于選擇在某個(gè)固定工作波長(zhǎng)的條件下，分別使由光程函數(shù)得到的幾個(gè)像差（目標(biāo)函數(shù)）達(dá)到最小，或在一定波長(zhǎng)范圍內(nèi)相互抵消[3-4]。這對(duì)于單個(gè)光學(xué)元件的優(yōu)化設(shè)計(jì)來(lái)說(shuō)是準(zhǔn)確且有效的，但是當(dāng)光學(xué)元件數(shù)量增多，且光學(xué)元件的子午焦點(diǎn)與弧矢焦點(diǎn)不重合時(shí)，光程函數(shù)發(fā)展而來(lái)的像差系數(shù)并不能準(zhǔn)確描述 XUV光學(xué)系統(tǒng)最終的成像位置[5]。因而針對(duì)多元件光學(xué)系統(tǒng)成像的精確像差理論以及對(duì)成像質(zhì)量進(jìn)行分析評(píng)價(jià)的目標(biāo)函數(shù)在 XUV 儀器設(shè)計(jì)中顯得格外重要。

2008年，呂麗軍教授在Chrisp的全息光柵波像差理論[6]的基礎(chǔ)上發(fā)展了多個(gè)光學(xué)元件的平面對(duì)稱光柵系統(tǒng)的波像差理論（Lu 波像差理論）[7]，這個(gè)理論對(duì)入射光源在光學(xué)元件表面的孔徑光線采取了線性近似處理，采用多項(xiàng)式擬合得到了比光線追跡解析法更簡(jiǎn)潔的成像像差計(jì)算公式，非常適用于具有平面對(duì)稱特性的 XUV 光學(xué)系統(tǒng)的成像。1994年，Koike 等[5]提出了對(duì)光柵系統(tǒng)成像點(diǎn)列圖進(jìn)行像質(zhì)評(píng)估的均方根（rms）評(píng)價(jià)函數(shù)，它的定義為成像點(diǎn)在光譜色散方向（子午） rms 與垂直色散方向（弧矢）rms 的加權(quán)求和[5]。該評(píng)價(jià)函數(shù)納入了所有可能的像差以及入瞳高度等因素，因而比以往的單個(gè)像差作為評(píng)價(jià)函數(shù)更具有優(yōu)勢(shì)。

在優(yōu)化算法方面，過去的光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)常采用阻尼最小二乘法，但該算法是一種局部?jī)?yōu)化算法，遇到極值容易過早收斂[8]。遺傳算法因具有隱含并行性和全局搜索能力強(qiáng)等特點(diǎn)[9-10]，在當(dāng)前的光學(xué)系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)中得到了廣泛應(yīng)用。徐挺等[11-12]在優(yōu)化極紫外光譜儀時(shí)采用了一種基于二進(jìn)制編碼的合作型協(xié)同進(jìn)化遺傳算法，提高了常規(guī)遺傳算法的尋優(yōu)能力，但當(dāng)搜索空間較大時(shí)種群仍會(huì)過早收斂陷入局部極值。王澤民等[13]在優(yōu)化超大視場(chǎng)光學(xué)系統(tǒng)時(shí)，在實(shí)數(shù)編碼遺傳算法的基礎(chǔ)上混入了逃逸函數(shù)，改善了算法的魯棒性。方翔等[14]在優(yōu)化魚眼鏡頭時(shí)將自適應(yīng)變異概率加入實(shí)數(shù)編碼算法中，并將參數(shù)進(jìn)行歸一化處理，從而大大提高了算法脫離局部極值的能力。本文采用實(shí)數(shù)編碼遺傳算法，并結(jié)合逃逸函數(shù)以及自適應(yīng)變異概率來(lái)提高全局尋優(yōu)能力。

本文擬對(duì)一個(gè)單元件的全息球面光柵單色儀和一個(gè)具有前置超環(huán)面聚焦鏡的超環(huán)面全息光柵光譜儀進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)：將平面對(duì)稱光學(xué)系統(tǒng)的波像差理論和 rms 評(píng)價(jià)函數(shù)結(jié)合得到本設(shè)計(jì)的非線性多元目標(biāo)函數(shù)，在波像差理論的基礎(chǔ)上發(fā)展伴有逃逸函數(shù)的自適應(yīng)歸一化實(shí)數(shù)編碼遺傳算法，并用其對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化求值。第1節(jié)主要介紹 Lu 波像差理論以及其在像質(zhì)評(píng)價(jià)函數(shù)中的應(yīng)用，第2節(jié)闡述本文運(yùn)用的實(shí)數(shù)編碼遺傳算法，第3節(jié)分析待優(yōu)化的兩套光學(xué)系統(tǒng)的相關(guān)設(shè)計(jì)參數(shù)并對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化，運(yùn)用光學(xué)仿真軟件 Shadow 對(duì)本文優(yōu)化結(jié)果和參考文獻(xiàn)[15]的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證分析。結(jié)果表明本文建立的針對(duì) XUV 光學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化的算法求取的結(jié)果對(duì)提高系統(tǒng)的成像質(zhì)量有明顯的效果。

1 Lu 波像差理論與 rms 像差評(píng)價(jià)函數(shù)

1.1 多光學(xué)元件系統(tǒng)的 Lu 波像差理論

Lu 波像差理論是在單個(gè)元件被主光線斜入射的基礎(chǔ)上得到各像差系數(shù)。此處說(shuō)明各物理參量的意義。圖1為其平面對(duì)稱元件的光學(xué)成像示意圖。其中，超環(huán)面光學(xué)元件（鏡或光柵）的頂點(diǎn)位于點(diǎn)，是用于描述該元件表面形狀的坐標(biāo)系，原點(diǎn)位于，且是系統(tǒng)的對(duì)稱平面。是一個(gè)平面外的光源，發(fā)出的主光線與光學(xué)元件表面交于點(diǎn)，反射后成像于點(diǎn)。在點(diǎn)建立的坐標(biāo)系稱為孔徑（aperture stop）坐標(biāo)系，用以描述入射光線在光學(xué)元件表面的位置，其 z 軸沿著點(diǎn)處的法線方向。光源在對(duì)稱平面的投影為，對(duì)稱平面內(nèi)的稱為基光線。垂直于的像平面為，為像平面上的像點(diǎn)，場(chǎng)角（field angle）和分別表示和的夾角、和的夾角，為入射角和反射角，為物距和像距。

當(dāng)存在多個(gè)光學(xué)元件時(shí)，圖 2 為連續(xù)相鄰的光學(xué)元件在弧矢平面中的光路示意圖。一般的光學(xué)元件面的形狀可由如下四階方程[7] 表達(dá)，為面形系數(shù)：

u 和 γ 一般都非常小，且通常用 γ 表示物方視場(chǎng)角，表示物方弧矢焦距，表示物方子午焦距。為了表征在 η 軸的方向與點(diǎn) O 的距離，引入一個(gè)非物理參量：

由圖 2 中的幾何關(guān)系容易導(dǎo)出如下關(guān)系式：

式中：；。本文中參數(shù)帶有一撇（'）則表示的是像方參數(shù)，。以上參數(shù)將用于波像差系數(shù)中。文獻(xiàn) [7] 給出系統(tǒng)的總波像差 W 為

式中：wijk是波像差系數(shù)，由物方波像差系數(shù)Mijk（α; rm ; rs; l）和像方波像差系數(shù)Mijk（β; rm（′）; rs（′）; l′）組成；Mijk由文獻(xiàn)[7]的式（78）～（93）給出；ΛNijk項(xiàng)考慮了光柵刻槽的影響，對(duì)于鏡元件該項(xiàng)的值為0，Λ=（）Γ ， m 是光柵級(jí)次，λ是工作波長(zhǎng)，系數(shù)Nijk和光柵刻槽密度分布系數(shù)nij相關(guān)，文獻(xiàn)[7]的表1給出了Nijk的表達(dá)式，Γ和nij由文獻(xiàn)[16]的式（20）～（22）給出。

由文獻(xiàn)[7]的下述像差公式可以得到圖1像平面 x′ O1y′上任一已知入射光線的像點(diǎn)位置：

式中：dijk和hijk叫作橫向像差系數(shù)，由文獻(xiàn)[7]的式（94）～（113）給出； x和 y 是入射光線在光學(xué)元件表面的照射點(diǎn)在孔徑坐標(biāo)系xyz中的坐標(biāo)； u為物方場(chǎng)角。當(dāng)系統(tǒng)中存在多個(gè)光學(xué)元件時(shí)，成像公式（8）中各參數(shù)都應(yīng)替換成被入射光線照射的最后一個(gè)光學(xué)元件的物理參數(shù)。如何從一個(gè)元件的位置參數(shù)計(jì)算得到最后一個(gè)元件的相應(yīng)參數(shù)，需要用到相關(guān)的轉(zhuǎn)化系數(shù)。對(duì)于有 n 個(gè)光學(xué)元件的系統(tǒng)，第 h（h =1，2，··· ， n-1）個(gè)元件與第 n 個(gè)元件由文獻(xiàn)[7，17-18]給出了如下轉(zhuǎn)換關(guān)系式

式中： x（h）、y（h）、 u（h）為光線在第 h 個(gè)光學(xué)元件上的投影點(diǎn)坐標(biāo)和場(chǎng)角； A（h）、 B（h）是第 h 個(gè)元件與最后一個(gè)元件間的轉(zhuǎn)換系數(shù)。由上述公式，系統(tǒng)總波像差 W[式（9）]的計(jì)算可以轉(zhuǎn)化為最后一個(gè)元件的波像差計(jì)算：

式中： Wijk是總波像差系數(shù)；wijk（h）是第 h 個(gè)光學(xué)元件的波像差系數(shù)?，F(xiàn)在，對(duì)于多元件光學(xué)系統(tǒng)的成像計(jì)算來(lái)說(shuō)，式（8）也同樣適用，只需要在求dijk、hijk時(shí)，用式（14）的Wijk替換wijk，其他物理參數(shù)用最后一個(gè)光學(xué)元件的參數(shù)。至此已完成平面對(duì)稱的多元件光學(xué)系統(tǒng)任意一條入射光線的成像數(shù)值計(jì)算。

1.2 rms 像差評(píng)價(jià)函數(shù)

當(dāng)光學(xué)系統(tǒng)最終成像的像面坐標(biāo)可以由式（8）確定后，我們就可以對(duì)成像點(diǎn)進(jìn)行像質(zhì)分析。對(duì)于某一工作波長(zhǎng)λt 下物距為 r0的物點(diǎn)光源，可以追跡有限數(shù)量的點(diǎn)。參考文獻(xiàn)[5]定義的 rms 像質(zhì)評(píng)價(jià)函數(shù)為

式中：！是衡量像點(diǎn)的 x′對(duì) y′相對(duì)重要性的權(quán)重因子（！<1）。X、Y 是第一個(gè)光學(xué)元件表面被入射光照射的區(qū)域在孔徑坐標(biāo)系xyz中的xOy面上投影的寬度和高度。在 XUV 光學(xué)儀器中，入射光的主光線一般會(huì)經(jīng)過光學(xué)元件的中心 O，即圖1中點(diǎn) P（?）和點(diǎn) O 會(huì)重合，故 x 和 y 的積分域是對(duì)稱的（（? ;）、（? ;））。 x′用于衡量像點(diǎn)在 x′方向上的平均分散程度，由于此類光學(xué)系統(tǒng)是水平對(duì)稱的，所以 y′方向平均分散程度 y ′積分計(jì)算后為0。U 是考慮入瞳高度時(shí)物點(diǎn)光源對(duì)光學(xué)元件的場(chǎng)角。將式（8）和式（17）代入式（16）和式（18）就得到本文的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù) Q（λt ）的關(guān)鍵兩項(xiàng)Qx′（λt ）、Qy′（λt ）的表達(dá)通式：

目標(biāo)函數(shù) Q（λt ）有一個(gè)很重要的特點(diǎn)：完全由系統(tǒng)中各光學(xué)元件的物理參數(shù)決定。這給我們后續(xù)優(yōu)化光學(xué)元件的結(jié)構(gòu)參數(shù)指明了方向。為了使儀器光譜分辨率更高，成像應(yīng)該越小越好，即選擇最佳的光學(xué)元件結(jié)構(gòu)參數(shù)使目標(biāo)函數(shù) Q（λt ）達(dá)到最小。在優(yōu)化 XUV 光學(xué)儀器時(shí)，通常在工作波長(zhǎng)范圍內(nèi)選擇 n 個(gè)波長(zhǎng)同時(shí)進(jìn)行優(yōu)化，最終的像質(zhì)評(píng)價(jià)函數(shù) Q 為

式中ε（λt ）是各波長(zhǎng)λt 對(duì)應(yīng)的像質(zhì)權(quán)重因子。

2 混入逃逸函數(shù)的自適應(yīng)歸一化實(shí)數(shù)編碼遺傳算法

本文像質(zhì)評(píng)價(jià)的非線性目標(biāo)函數(shù)公式（21）中，在設(shè)計(jì)之初先確定常量 X、Y、U，那么變量就完全由各像差系數(shù)dijk、hijk組成，而這些像差系數(shù)又是只和光學(xué)系統(tǒng)中各個(gè)鏡或光柵的物理參數(shù)相關(guān)，如何選擇各物理參數(shù)使得像質(zhì)評(píng)價(jià)函數(shù)最小的問題實(shí)際上是多元函數(shù)求最小極值的問題。光學(xué)設(shè)計(jì)領(lǐng)域中常用的牛頓迭代法和阻尼最小二乘法在求極值時(shí)很容易陷入局部極值的尷尬，在近年來(lái)的文獻(xiàn)調(diào)研中，遺傳算法（GA）被廣泛用于多參量的光學(xué)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中，其尋優(yōu)能力較以往的方法有很大改善。

傳統(tǒng)的二進(jìn)制編碼（編碼符號(hào)集為{0，1}）的 GA 在優(yōu)化多維高精度連續(xù)函數(shù)時(shí)存在如下缺點(diǎn)：1）表示同一變量域時(shí)，二進(jìn)制代碼串比十進(jìn)制代碼串長(zhǎng)很多，同時(shí)還要頻繁地編碼和解碼，極大地增加了計(jì)算量和內(nèi)存，導(dǎo)致算法運(yùn)算效率低[19]；2）當(dāng)變量域較大時(shí)，若采用較短的二進(jìn)制編碼長(zhǎng)度則會(huì)人為地將連續(xù)變量空間離散化（比如相鄰的兩個(gè)編碼串對(duì)應(yīng)的變量差值可能相差好幾個(gè)整數(shù)量）[14]，該類編碼串大概率會(huì)遺漏最優(yōu)解，若采用長(zhǎng)的編碼串雖然可以提高精度，但卻導(dǎo)致 GA 的運(yùn)算量急速增大，尋優(yōu)能力下降；3）實(shí)數(shù)域下相鄰的整數(shù)變量對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制編碼可能有很大的海明距離，但歐氏距離很小，也就是海明懸崖問題[20]，這會(huì)影響交叉和變異操作，從而降低遺傳算子的搜索效率[13]。

為克服上述二進(jìn)制編碼存在的缺點(diǎn)，本文引入實(shí)數(shù)編碼的遺傳算法（ RCGA）來(lái)求解目標(biāo)函數(shù)的極值。實(shí)數(shù)編碼（編碼符號(hào)集為{0，1，2，···，9}）采用解空間的形式進(jìn)行編碼，以變量的取值數(shù)來(lái)確定編碼長(zhǎng)度，與同精度的二進(jìn)制編碼串相比短很多，能對(duì)整個(gè)尋優(yōu)空間進(jìn)行搜索，且保持足夠的精度。將每個(gè)變量均編碼到[0， 1）內(nèi)的實(shí)數(shù)范圍，相當(dāng)于一個(gè)歸一化的過程，取各小數(shù)位作基因。以自變量取值[0， 600]為例，可取編碼位數(shù)為4，編碼歸一化為0.0000～0.9999，對(duì)應(yīng)的編碼則是0000～9999，相鄰的兩個(gè)編碼對(duì)應(yīng)的變量差值約為0.06，則能達(dá)到0.1的精度，編碼位數(shù)為其他值時(shí)亦可同理計(jì)算。

本文的適應(yīng)度函數(shù)采用式（21）的倒數(shù)，采用輪盤賭選擇算子，交叉算子采用均勻交叉和多點(diǎn)交叉并行的方式，變異算子采用基因變異。 RCGA 的交叉、變異算子沒有二進(jìn)制編碼靈活，擺脫局部極值的能力較弱，因此考慮改善不同適應(yīng)度個(gè)體的變異能力、提高算法搜索能力，在基因變異階段，引入文獻(xiàn)[21]中的自適應(yīng)公式來(lái)動(dòng)態(tài)調(diào)整種群中各個(gè)體的變異概率：

式中：Pm 是個(gè)體的變異概率； f 是個(gè)體的適應(yīng)度；favg是種群的平均適應(yīng)度； Pm_ max 和Pm_min是預(yù)設(shè)的最大與最小變異概率，這里分別為0.1和0.025。 fmax 一favg是用來(lái)衡量算法的收斂程度的尺度，當(dāng)算法收斂到局部最優(yōu)， fmax 一favg值減小，Pm 會(huì)增大，從而使算法盡快脫離局部最優(yōu)。 fmax 一f 是衡量個(gè)體優(yōu)良程度的尺度，當(dāng)個(gè)體的適應(yīng)度 f 低于種群的平均適應(yīng)度f(wàn)avg時(shí)，說(shuō)明個(gè)體性能不好，此時(shí)取最大的變異概率；而性能好的個(gè)體的適應(yīng)度高于favg， fmax 一f 也較小，取較小的變異概率來(lái)保證優(yōu)良個(gè)體不因變異而被破壞[21]。

為了進(jìn)一步增強(qiáng)算法跳出局部極值的能力，本文引入逃逸函數(shù)，其思想是當(dāng)算法搜尋到一個(gè)已知的局部極小值時(shí)，在逃逸函數(shù)的影響下，此時(shí)“局部地形”發(fā)生改變，從而跳出極小值[13]。逃逸函數(shù)表達(dá)式如下：

式中： xi是第i個(gè)優(yōu)化參量；xiL是用不帶逃逸函數(shù)的 RCGA 得到的第i個(gè)優(yōu)化參量的極小值。H 和 W 的值通過 k、次試驗(yàn)計(jì)算得到，初值 H0=0.8 ， W0=0.1。圖3是本文的算法流程圖。

3 XUV 光學(xué)系統(tǒng)優(yōu)化實(shí)例

3.1 球面全息光柵單色儀的優(yōu)化

當(dāng)超環(huán)面光柵或者變線距光柵被用于 XUV 光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，光學(xué)元件的數(shù)量可以減少，而單個(gè)光學(xué)元件的單色儀一般可以通過采用球形或者超環(huán)面光柵來(lái)實(shí)現(xiàn)[4]。文獻(xiàn)[15]給出了圖4所示的固定偏轉(zhuǎn)角的 XUV 單色儀裝置，其主要的光學(xué)工作元件是一塊變線距球面全息光柵，工作點(diǎn)光源 A 以及全息刻錄相干點(diǎn)光源 C、D 均位于對(duì)稱平面內(nèi)，此時(shí)孔徑坐標(biāo)系xyz與全局坐標(biāo)系χηz、重合，場(chǎng)角 u 為0，且參量 l =一l、=0。全息記錄的角度參數(shù)δ、γ和記錄波長(zhǎng)λ0要滿足關(guān)系式

由于該單色儀裝置的光學(xué)元件面形為半徑已知的球形，并且放置參數(shù)（α、β、r0、r0（、））也預(yù)先固定，那么待優(yōu)化的參數(shù)只剩下光柵的全息記錄參數(shù)（δ、γ、rc、rd），這幾項(xiàng)與式（7）相關(guān)。由式（25）可以得到δ和γ的關(guān)系，則待求參數(shù)變?yōu)椋é?、rc、rd）。

系統(tǒng)的總體參數(shù)見表1，固定偏轉(zhuǎn)角 K =α一β=69.733O ，某一工作波長(zhǎng)為λ的光源入射角α和衍射角β要滿足如下光柵方程（衍射級(jí)次m =一1）：

該單色儀工作光源的波長(zhǎng)為200…600nm ，可以選擇優(yōu)化波長(zhǎng)λ1=200 nm ，λ2=250 nm ，λ3=400 nm ，λ4=600 nm 代入目標(biāo)評(píng)價(jià)函數(shù)[式（21）]，ε（λt ）均取1，ω取0.8。最終的目標(biāo)函數(shù)可以抽象為 Q = Q（λ1）+ Q（λ2）+ Q（λ3）+ Q（λ4）= f（rc ; rd ;δ），在 MATLAB 中利用本文第2節(jié)所闡述的算法（RCGA）進(jìn)行求解，計(jì)算20次的結(jié)果如圖5所示。

取上述結(jié)果中的最小 Q 值對(duì)應(yīng)的各個(gè)變量，則本文的優(yōu)化結(jié)果如表2所示。

通過式（26）和式（27）可以求得不同波長(zhǎng)光源的入射角和衍射角，利用幾何關(guān)系可以求得在仿真軟件中設(shè)置的光源發(fā)散角，如表3所示。在 MATLAB 中，將我們的優(yōu)化結(jié)果代入基于波像差理論[式（8）]編寫的點(diǎn)列圖成像程序（追跡大約2500條光線），并在光學(xué)仿真軟件 Shadow 中光線追跡模擬實(shí)際的成像結(jié)果，兩者結(jié)果對(duì)比如圖6所示。

3.2 前置超環(huán)面聚焦鏡的超環(huán)面全息光柵光譜儀的優(yōu)化

采取與3.1節(jié)相同的優(yōu)化策略，對(duì)文獻(xiàn)[15]給出的 XUV 光譜儀進(jìn)行優(yōu)化并和原文比較。該光譜儀具有平直的光譜聚焦面，適合用光電探測(cè)儀器測(cè)量空間分辨或時(shí)間分辨光譜[22]，故也稱為平場(chǎng)光柵光譜儀。圖7為該 XUV 平場(chǎng)光譜儀的系統(tǒng)示意圖。光譜儀工作波段為3～6 nm，該波段的光源在光學(xué)元件表面的反射率極低，通常采用掠入射的方式提高反射率。其前置超環(huán)面聚焦鏡可以有效地聚焦弧矢方向的能量，從而減小像散[23]；采用后置的選取了適當(dāng)參數(shù)的全息光柵可以有效校正成像面子午方向的離焦。主光線通過第一個(gè)光學(xué)元件的中心，第一塊元件對(duì)應(yīng)的非物理參量 l1=?l1（′）=0，利用式（4）計(jì)算得到第二塊光學(xué)元件對(duì)應(yīng)的非物理參量 l2=?l2（′）= e ，其中 e 是兩個(gè)光學(xué)元件間的間隔。

此系統(tǒng)由兩個(gè)光學(xué)元件組成，所以要先利用式（14）計(jì)算系統(tǒng)的總波像差系數(shù)Wijk。其中光學(xué)元件間的轉(zhuǎn)換系數(shù) A 、B 計(jì)算公式為

然后利用式（8）計(jì)算系統(tǒng)最終的成像像差，在代入計(jì)算時(shí)，用總波像差系數(shù)Wijk代替dijk、hijk中的wijk ，其他參數(shù)使用最后一個(gè)光學(xué)元件的參數(shù)。

該系統(tǒng)的可優(yōu)化參數(shù)為：前置聚焦鏡的弧矢半徑（ρ1），超環(huán)面全息光柵的子午方向與弧矢方向的曲率半徑（R2、ρ2），全息光柵的記錄參數(shù)（δ、γ、rc、rd）。根據(jù)式（25）可知，只需要求取6個(gè)參數(shù)（ρ1、R2、ρ2、δ、rc、rd）即可。其他的系統(tǒng)參數(shù)與參考文獻(xiàn)相同，如表4所示。

取優(yōu)化波長(zhǎng)λ1=3 nm ，λ2=4：4 nm ，λ3=6 nm ，ε（λt ）依次取1、2、1，！取1，同時(shí)代入式（21）得到目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)：

利用第2節(jié)所述算法對(duì)上式進(jìn)行優(yōu)化求解，結(jié)果如表5所示。利用 Shadow對(duì)本文的優(yōu)化結(jié)果和文獻(xiàn)[15]結(jié)果分別進(jìn)行光線仿真追跡，如圖8所示。

本文與參考文獻(xiàn)的光線追跡點(diǎn)列圖在水平方向、垂直方向的半峰全寬（FWHM）值（ F_X 、 F_Y ）對(duì)比如表6所示。

4 優(yōu)化結(jié)果分析

球面全息光柵單色儀優(yōu)化結(jié)果分析。對(duì)比圖6的（A1、A2、A3、A4）與（B1、B2、B3、B4）點(diǎn)列圖，可以看到由本文程序得到的點(diǎn)列圖很好地描述了系統(tǒng)成像的位置，這也表明 Lu 波像差理論在預(yù)測(cè)系統(tǒng)成像像差上的準(zhǔn)確性。對(duì)比圖6的（B1、B2、B3、B4）和（ C1、C2、C3、 C4）點(diǎn)列圖，在波長(zhǎng)較短時(shí)，基于本文算法優(yōu)化得到的系統(tǒng)參量能與參考文獻(xiàn)達(dá)到近乎一致的成像品質(zhì)，在工作波長(zhǎng)較長(zhǎng)時(shí)成像更為清晰。表2中可以看到本文優(yōu)化得到的 Q 值比參考文獻(xiàn)的數(shù)據(jù)得到的 Q 值略小。這說(shuō)明本文采用的像質(zhì)評(píng)價(jià)函數(shù)以及優(yōu)化算法對(duì)于優(yōu)化 XUV 光學(xué)系統(tǒng)的參量是有效的。

前置超環(huán)面聚焦鏡的超環(huán)面全息光柵光譜儀優(yōu)化結(jié)果分析。對(duì)比圖8的（A1、A2、A3）和（B1、B2、B3）點(diǎn)列圖，基于直觀結(jié)果分析，本文優(yōu)化值得到的像點(diǎn)在橫向和縱向的像差均比參考文獻(xiàn)值更小。一般以 FWHM 值作為成像分辨率的評(píng)價(jià)指標(biāo)?；诒?進(jìn)行定量分析，工作波長(zhǎng)在3 nm 和6 nm 時(shí)，本文優(yōu)化后得到的系統(tǒng)分辨率只在水平方向較優(yōu)，而在中心工作波長(zhǎng)4.4 nm 處，水平方向和垂直方向結(jié)果均優(yōu)于參考文獻(xiàn)的系統(tǒng)分辨率。利用式（30）計(jì)算可得本文優(yōu)化后Qmine =1：6736，參考文獻(xiàn)Qref =1：9105，再次驗(yàn)證了較小的目標(biāo)函數(shù)值對(duì)于系統(tǒng)成像質(zhì)量的提升是有效的。

5 結(jié)論

XUV 光學(xué)系統(tǒng)通常具有多個(gè)參量，且參量取值跨度大，將本文基于波像差理論的實(shí)數(shù)編碼遺傳算法應(yīng)用于 XUV 光學(xué)系統(tǒng)的優(yōu)化，可以得到各變量取值的較優(yōu)組合，較以往的方法更易實(shí)現(xiàn)全局尋優(yōu)。通過光線追跡驗(yàn)證了用本文方法優(yōu)化得到的兩種光學(xué)系統(tǒng)在成像質(zhì)量上有一定程度的提升。當(dāng)光學(xué)元件的數(shù)量增多時(shí)，依然可以結(jié)合 Lu波像差理論和 rms 像質(zhì)評(píng)價(jià)函數(shù)得到目標(biāo)函數(shù)，再用本文方法進(jìn)行優(yōu)化求解。綜上，本文的研究具有延伸意義。

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（編輯：張磊）