徐炯　臧小飛

摘要：基于Kekulé晶格，驗證了物質(zhì)拓撲相與晶格原子間耦合作用之間的關(guān)系，研究了非厄米效應(yīng)對拓撲絕緣體的影響。設(shè)計了兩種格點增益損耗分布方式，分別說明了不同增益損耗對體態(tài)能譜、邊緣態(tài)能譜的影響。隨著增益損耗值的增大，體態(tài)能譜和邊緣態(tài)能譜將經(jīng)歷能帶間隙減小，能帶在臨界值處關(guān)閉形成狄拉克點，隨后狄拉克點劈裂形成一對奇異點的過程。區(qū)別于傳統(tǒng)對Kekulé晶格的研究，在保持系統(tǒng)胞內(nèi)耦合作用相同的基礎(chǔ)上，將胞間耦合作用分化為水平方向和垂直方向的兩個量，分別進行調(diào)控，驗證了拓撲邊緣態(tài)能譜中能帶間隙的有無不僅與幾何邊界相關(guān)，也受系統(tǒng)胞間耦合相互作用的調(diào)控。

關(guān)鍵詞：Kekulé晶格；非厄米系統(tǒng)；拓撲邊緣態(tài)；狄拉克點

中圖分類號：O 433 文獻標志碼：A

Research on topological edge state in a non-Hermitian system based on the Kekulé lattice

XU Jiong1，2，ZANG Xiaofei1，2

（1. Shanghai Key Laboratory of Modern Optical System， University of Shanghai forScience and Technology， Shanghai 200093， China;

2. School of Optical-Electrical and Computer Engineering， University ofShanghai for Science and Technology， Shanghai 200093， China）

Abstract： The relationship between the topological phase of matter and interactions of the system was confirmed for the Kekulé lattice. The impact of non-Hermitian effect on topological insulator was investigated. Two types of gain and loss configurations were designed to illustrate their effects on bulk energy spectra and edge energy spectra. It is found that the bandgap decreases with the increase of the gain and loss， and is eventually closed and forms a non-Hermiticity-induced Dirac point. Finally， the Dirac point splits into a pair of singular points. Distinguishing from traditional Kekulé lattice， intercellular coupling is differentiated into horizontal and vertical dimensions for independent control based on the same intracellular coupling. This approach verifies that thegapless edge mode is not only related to geometric boundary， but also regulated by the intercellular coupling of the system.

Keywords： Kekulé lattice；non-Hermitian system；topological edge state；Dirac point

引言

20世紀，隨著整數(shù)量子霍爾效應(yīng)[1-2]被發(fā)現(xiàn)，拓撲作為近代數(shù)學(xué)分支，被引入凝聚態(tài)物理領(lǐng)域，并逐漸發(fā)展成為一門獨立的學(xué)科——拓撲電子學(xué)。隨后，人們將拓撲電子學(xué)類比到光學(xué)領(lǐng)域，將其發(fā)展成為拓撲光子學(xué)，為揭示物質(zhì)拓撲相開辟了新的方向[3-4]。依據(jù)拓撲相的不同，人們將絕緣物質(zhì)劃分為非平庸拓撲絕緣體和平庸拓撲絕緣體。一種拓撲相連續(xù)轉(zhuǎn)變至另一種拓撲相必將經(jīng)歷能帶間隙打開—關(guān)閉—再打開的過程，即拓撲相變[5]。根據(jù)體邊對應(yīng)，兩種拓撲相不同的光子晶體堆疊在一起時，其交界面會產(chǎn)生一種沿著體系邊緣單向傳輸?shù)倪吘墤B(tài)。該邊緣態(tài)受拓撲保護，無背向散射，被稱為拓撲邊緣態(tài)[6]。拓撲邊緣態(tài)出現(xiàn)在體系公共帶隙區(qū)域，以導(dǎo)模的形式存在。研究表明：在時間反演對稱性被打破的體系中，體系能帶中會出現(xiàn)一條橫跨整個帶隙的導(dǎo)模，即邊緣態(tài)[7-8]；在受時間反演對稱性保護的體系中，體系能帶中會出現(xiàn)成對的拓撲邊緣態(tài)，如螺旋邊緣態(tài)[9-10]、手性邊緣態(tài)[11]等。研究發(fā)現(xiàn)，在體系帶隙中，成對的拓撲邊緣態(tài)是否會產(chǎn)生無間隙的狄拉克點，通常與邊緣態(tài)所在界面的幾何結(jié)構(gòu)有關(guān)[12]。

相較于厄米系統(tǒng)，非厄米系統(tǒng)下的光子晶體具有復(fù)數(shù)形式的本征值及本征向量，這極大豐富了拓撲絕緣體的可研究內(nèi)容。奇異點是一對本征值實數(shù)部分重合的兼并點，它的存在是非厄米系統(tǒng)的顯著特征之一[13-14]。奇異點的出現(xiàn)引發(fā)了諸多奇特的物理現(xiàn)象，如奇異環(huán)[15]、體費米弧[16]、半整數(shù)拓撲電荷[17]。此外，結(jié)合多樣的光子晶體結(jié)構(gòu)，非厄米系統(tǒng)下的拓撲絕緣體引起了人們的廣泛關(guān)注。本文將結(jié)合Kekulé晶格，研究非厄米系統(tǒng)的拓撲邊緣態(tài)。相較于傳統(tǒng)的蜂窩晶格，Kekulé晶格最近鄰原子間的耦合作用可區(qū)分為胞內(nèi)耦合和胞間耦合作用[18-19]。當胞間耦合強度大于胞內(nèi)耦合強度時，系統(tǒng)為拓撲非平庸態(tài)；而當胞間耦合強度小于胞內(nèi)耦合強度時，系統(tǒng)為拓撲平庸態(tài)。根據(jù)交界面的幾何形狀，兩態(tài)交界面處產(chǎn)生的拓撲邊緣態(tài)可分為 Zigzag 邊緣態(tài)和 Armchair 邊緣態(tài)。其中 Zigzag 邊緣態(tài)受系統(tǒng)鏡面對稱保護，呈現(xiàn)出無間隙的狄拉克點，而 Armchair 邊緣態(tài)不具有對稱性，在其邊緣態(tài)能譜中呈現(xiàn)出有間隙的兩條邊緣態(tài)譜線。以往針對Kekulé晶格拓撲邊緣態(tài)的研究通常聚焦于厄米系統(tǒng)[20]，或單一胞間耦合相互作用下的非厄米系統(tǒng)[21]。本文基于Kekulé晶格，在保持胞內(nèi)耦合作用相同的基礎(chǔ)上，將胞間耦合作用分化為垂直方向和水平方向的量，研究了非厄米系統(tǒng)下幾何邊界對拓撲邊緣態(tài)的影響，豐富了該晶格的研究內(nèi)容。

1 模型

蜂窩晶格由6個相同的原子構(gòu)成，且原子均勻地分布在正六邊形的6個頂角。而原子間的相互作用可以通過調(diào)控其相對位置來實現(xiàn)，即兩個相互耦合的最近鄰原子間距離越大，其相互作用越?。环粗?，則其相互作用越大。在蜂窩晶格的基礎(chǔ)上，通過區(qū)分胞內(nèi)耦合和胞間耦合的相互作用，可構(gòu)建Kekulé晶格。傳統(tǒng)厄米系統(tǒng)下的Kekulé晶格的胞內(nèi)耦合和胞間耦合存在競爭關(guān)系：當胞內(nèi)耦合和胞間耦合相等時，整個晶格具有 C6對稱性，其體態(tài)能帶圖中出現(xiàn)一個狄拉克點，此時體系為狄拉克半金屬的狀態(tài)；當胞內(nèi)耦合小于胞間耦合時，狄拉克點被打開，體態(tài)能帶圖中出現(xiàn)能帶間隙，此時體系拓撲相為非平庸拓撲絕緣體；當胞內(nèi)耦合大于胞間耦合時，體態(tài)能帶圖中出現(xiàn)能帶間隙，此時體系拓撲相為平庸拓撲絕緣體，即普通絕緣體。

首先，基于Kekulé晶格討論厄米系統(tǒng)中的拓撲相。Kekulé晶格結(jié)構(gòu)如圖1所示：藍色實心圓代表Kekulé晶格格點上的原子；藍色實線代表最近鄰原子間的胞內(nèi)耦合相互作用；綠色和紅色實線均代表最近鄰原子間的胞間耦合相互作用。通過改變原子間的相對距離來調(diào)控對應(yīng)的耦合作用的強度。相較于傳統(tǒng)蜂窩晶格的正六邊形單胞，因為胞間耦合的作用，Kekulé晶格的單胞可形成7個正六邊形亞晶格，從而具有更大的單胞形式。將Kekulé晶格中亞晶格的正六邊形的邊長設(shè)為晶格常數(shù)a，晶格矢量a1= a（3/2， - p3/2）， a2= a（0， - p3）。假定胞內(nèi)耦合相互作用為 t ，垂直方向上的胞間耦合相互作用為 t1，水平方向上的胞間耦合相互作用為 t2。基于緊束縛模型[22]，采用厄米系統(tǒng)下哈密頓量 H來描述Kekulé晶格單胞內(nèi)最近鄰原子間的相互作用

式中：< i， j >為晶體中最近鄰的兩格點；tij為原子 ci和cj之間的相互耦合作用； ci ?為格點i產(chǎn)生的算符。

當原子 ci ， cj之間的相互作用為胞內(nèi)耦合時，tij = t ；當原子 ci ， cj之間的相互作用為垂直方向上的胞間耦合時，tij = t1；當原子 ci ， cj之間的相互作用為水平方向上的胞間耦合時，tij = t2。由此可得到非厄米系統(tǒng)相互耦合作用的哈密頓量核心矩陣

矩陣中 k 表示倒格子空間矢量。

設(shè)定矩陣元素的具體參數(shù)值后，求解其本征值，即可得到系統(tǒng)的體態(tài)能譜，如圖2所示。在此默認 t =1，圖2（a）中，取 t1=0.2，t2=0.9；圖2（b）中，取 t1=2.0，t2=2.0；圖2（ c）中，取 t1=2.2，t2=2.9；圖2（d）中，取 t1=2.9，t2=2.2。由圖2可知：當 t1* t2時，單胞能帶圖關(guān)于零能級水平線上下對稱，并處于半填充狀態(tài)；當 t1= t2時，能帶在布里淵區(qū)高對稱點Γ和 K 處兩兩兼并，形成一對能帶兼并點。

與非互易耦合的二聚化晶格（Su-Schrieffer- Heeger， SSH）類似，Kekulé晶格的拓撲相與胞內(nèi)耦合和胞間耦合作用有著密切的關(guān)系，且胞內(nèi)耦合作用和胞間耦合作用之間存在競爭關(guān)系，即：當胞內(nèi)耦合強度大于胞間耦合強度時，系統(tǒng)呈拓撲平庸態(tài)；當胞內(nèi)耦合強度小于胞間耦合強度時，系統(tǒng)呈拓撲非平庸態(tài)。為了驗證這一猜想，采用圖2中的各耦合作用參數(shù)，構(gòu)建圖1所示納米帶結(jié)構(gòu)，進行拓撲邊緣態(tài)的仿真，根據(jù)能譜間隙中邊緣態(tài)的有無來判斷體系是否為拓撲絕緣體。根據(jù)邊緣態(tài)幾何位置的不同，可將拓撲邊緣態(tài)劃分為 Armchair 和 Zigzag兩種。分別繪制其邊緣態(tài)能譜，如圖2（a）和（b）中第2行（Armchair）和第3行（Zigzag）所示?？梢钥吹剑簣D2（a）中 t1< t ， t2< t ，體系為拓撲平庸絕緣體，無法產(chǎn)生拓撲邊緣態(tài)；圖2（b）中， t < t1= t2，體系受鏡像對稱和幾何結(jié)構(gòu)手性對稱性保護，并，其 Zigzag拓撲邊緣態(tài)在中心點處發(fā)生兼產(chǎn)生無帶隙的狄拉克點；圖2（c）～（d）中，t < t1，t < t2，t1* t2，由于水平方向和垂直方向的胞間耦合作用不同，體系鏡像對稱被打破，原有的狄拉克點不再受幾何對稱性保護，故產(chǎn)生帶隙，兩條 Zigzag 邊緣態(tài)不再兼并。由于 Armchair 拓撲邊緣態(tài)所處的幾何結(jié)構(gòu)本身不具有對稱性，故在 t1= t2， t1* t2的兩種情況下均無法形成狄拉克點，邊緣態(tài)能譜中均存在帶隙，耦合作用的調(diào)控無法使能帶間隙關(guān)閉以形成狄拉克點，具體邊緣態(tài)能譜如圖2所示。

2 非厄米效應(yīng)

通過在原子中添加增益損耗來實現(xiàn)非厄米效應(yīng)，增益損耗分布方式如圖1（b）所示。將亞晶格內(nèi)6個格點按照逆時針方向依次編號，在兩種不同類型中，均對黑色實心圓圈所示格點上的原子施加增益，取+iγ（γ>0）；對紅色空心圓圈所示格點上的原子施加損耗，取-iγ（γ>0）。對于非厄米系統(tǒng)，用哈密頓量的核心矩陣來重新描述系統(tǒng)原子間的相互作用

為了驗證非厄米效應(yīng)對體態(tài)能譜的影響，根據(jù)哈密頓量的核心矩陣求解能量本征值，如圖3所示，藍色實線代表本征值的實數(shù)部分，綠色虛線代表虛數(shù)部分。圖3（a）中， t1=1：2，t2=2：7，γ的取值從上至下依次為0：1，0：2，0：3；圖3（b）中， t1=2：7，t2=1：2，γ的取值從上至下依次為0：100，0：358，0：500；圖3（c）中， t1=1：2，t2= 2：7，γ的取值從上至下依次為0：1，0：2，0：3；圖3（d）中， t1=2：7，t2=1：2，γ的取值從上至下依次為0：100，0：563，0：800。其中，圖3（a）和（b）對應(yīng)增益損耗 Type Ⅰ， 圖3（c）和（d）對應(yīng)增益損耗 Type Ⅱ。從圖中可以看出：γ的取值相

對較小時，其對能譜整體影響不大；隨著γ取值逐漸增大，其對能譜的調(diào)節(jié)作用逐漸明顯，能譜帶隙逐漸減小。當γ在體系中選取適當?shù)奶囟ㄖ禃r，由于結(jié)構(gòu)的幾何對稱性以及非厄米效應(yīng)的影響，Type Ⅰ對應(yīng)的圖3（a）在高對稱點Γ處出現(xiàn)狄拉克點，圖3（b）在高對稱點M處出現(xiàn)狄拉克點，且關(guān)于零能級水平線上下對稱； Type Ⅱ?qū)?yīng)的圖3（c）和（d）均在高對稱點Γ處出現(xiàn)狄拉克點，但他們所對應(yīng)的γ取值不同。當γ取值持續(xù)增大時，圖3（a）中對應(yīng)的狄拉克點隨即劈裂為一對奇異點，圖3（b）中的一對狄拉克點劈裂為兩對奇異點，并且，此時能量本征值出現(xiàn)虛部，且虛部的能譜圖為一個環(huán)形。

通過在圖1（a）所示的Kekulé晶格中分別添加圖1（b）所示的增益損耗 Type Ⅰ和 Type Ⅱ來構(gòu)建非厄米系統(tǒng)。取 t1=2：7，t2=2：2，此時 t < t1; t < t2，且t1* t2。由前文可知，該系統(tǒng)為拓撲絕緣體，其 Zigzag 拓撲邊緣態(tài)之間存在帶隙，為非厄米系統(tǒng)。圖4（a）中，γ取值分別為0：100，0：305，0：500；圖4（b）中，γ取值分別為0：050，0：059，0：070。以 Zigzag 拓撲邊緣態(tài)為例，分析非厄米效應(yīng)對拓撲邊緣態(tài)的影響。如圖4所示，由于非厄米效應(yīng)，體系邊緣態(tài)能譜出現(xiàn)虛部。隨著γ取值的增大，能帶間隙逐漸減小，直至γ=0：305 （Type Ⅰ）或γ=0：059（Type Ⅱ）的臨界值時，實部能譜帶間隙消失，兩條 Zigzag 邊緣態(tài)能帶在中心處兼并為狄拉克點，虛部能譜也逐漸豐富。當γ取值繼續(xù)增大，實部能譜中原有的狄拉克點劈裂為一對奇異點，虛部能譜由于奇異點的出現(xiàn)，呈現(xiàn)出獨特環(huán)狀能譜。

為方便起見，取 t1= t2=1：6> t ，即胞間耦合作用大于胞內(nèi)耦合作用時的場分布情況，來分析非厄米系統(tǒng)對拓撲邊緣態(tài)場分布的影響，如圖5所示。在未施加增益損耗，即γ=0時，體系為厄米系統(tǒng)，選取 Armchair邊緣態(tài)頻點，場分布如圖5（a）所示。當γ=1時，體系為非厄米系統(tǒng)，選取同一頻點，場分布如圖5（b）所示。

通過厄米系統(tǒng)、非厄米系統(tǒng)的拓撲邊緣態(tài)場分布對比可知，非厄米系統(tǒng)的引入會直接影響拓撲邊緣態(tài)的場分布，厄米系統(tǒng)下僅有 Armchair 模式，在非厄米系統(tǒng)下會引入 Zigzag 模式，場分布呈現(xiàn)兩種模式的混合態(tài)。

3 結(jié)論

基于Kekulé晶格，在保持胞內(nèi)耦合 t 不變的基礎(chǔ)上，將胞間耦合分化為垂直方向 t1和水平方向 t2兩個量，驗證了當 t1< t ， t2< t 時，系統(tǒng)為拓撲平庸絕緣體，即普通絕緣體，不存在拓撲邊緣態(tài)；當 t1> t ， t2> t 時，系統(tǒng)為拓撲非平庸絕緣體，根據(jù)交界面的幾何形狀，其邊緣態(tài)可劃分為 Zigzag 和 Armchair 兩種模式；當 t1= t2> t 時， Zigzag 邊緣態(tài)受鏡面對稱保護，呈現(xiàn)無間隙的狄拉克點，而 Armchair 拓撲邊緣態(tài)由于本身所在邊界幾何不對稱，故體系胞間耦合相互作用的調(diào)控不會使能帶間隙關(guān)閉形成狄拉克點。在Kekulé晶格的基礎(chǔ)上，利用不同增益損耗（不iγ）的分布，引入非厄米效應(yīng)。結(jié)果顯示：隨著γ取值的持續(xù)增大，系統(tǒng)邊緣態(tài)能譜會經(jīng)歷能帶間隙減小，能帶虛部能譜逐漸豐富的過程；當γ取值處于某個臨界值時，兩條拓撲邊緣態(tài)能帶兼并形成狄拉克點；隨著γ取值進一步增大，狄拉克點劈裂成為一對奇異點。相較于傳統(tǒng)的Kekulé晶格拓撲絕緣體的研究，本文增加了胞間耦合調(diào)控維度，豐富了非厄米系統(tǒng)下拓撲邊緣態(tài)的研究內(nèi)容，為非厄米系統(tǒng)下的拓撲絕緣體研究提供了一些研究思路。

參考文獻：

[1] KLITZING K V， DORDA G， PEPPER M. New method for high-accuracy determination of the fine- structure? constant? based? on? quantized? Hall resistance[J]. Physical Review Letters， 1980， 45（6）：494–497.

[2] KOHMOTO M. Topological invariant and the quantization of the Hall conductance[J]. Annals of Physics， 1985， 160（2）：343–354.

[3] LU L， JOANNOPOULOS J D， SOLJA?I? M. Topological photonics[J]. Nature Photonics， 2014， 8：821–829.

[4] LU L， JOANNOPOULOS J D， SOLJA?I? M. Topological states in photonic systems[J]. Nature Physics， 2016， 12：626–629.

[5] HALDANE F D M. Nobel lecture： topological quantum matter[J]. Reviews of Modern Physics， 2017， 89（4）：040502.

[6] BERNEVIG B A， HUGHES T L， ZHANG S C.Quantum spin Hall effect and topological phase transition in HgTe quantum wells[J]. Science， 2006， 314（5806）：1757–1761.

[7] WANG Z， CHONG Y D， JOANNOPOULOS J D， et al. Reflection-free one-way edge modes in a gyromagnetic photonic crystal[J]. Physical Review Letters， 2008， 100（1）：013905.

[8] WANG Z， CHONG Y D， JOANNOPOULOS J D， et al. Observation of unidirectional backscattering-immune topological electromagnetic states[J]. Nature， 2009， 461（7265）：772–775.

[9] KANE C L， MELE E J. Z2 topological order and the quantum spin Hall effect[J]. Physical Review Letters， 2005， 95（14）：146802.

[10] KANE C L， MELE E J. Quantum spin Hall effect in graphene[J]. Physical Review Letters， 2005， 95（22）：226801.

[11] LU J Y， QIU C Y， KE M Z， et al. Valley vortex states in sonic crystals[J]. Physical Review Letters， 2016， 116（9）：093901.

[12] OCHIAI T， ONODA M. Photonic analog of graphene model and its extension： Dirac cone， symmetry， and edge states[J]. Physical Review B， 2009， 80（15）：155103.

[13] CEJNAR P， HEINZE S， MACEK M. Coulomb analogy for non-Hermitian degeneracies near quantum phase transitions[J]. Physical Review Letters， 2007， 99（10）：100601.

[14] HEISS W D. The physics of exceptional points[J]. Journal of Physics A： Mathematical and Theoretical， 2012， 45（44）：444016.

[15] SHEN H T， ZHEN B， FU L. Topological band theory for non-Hermitian Hamiltonians[J]. Physical Review Letters， 2018， 120（14）：146402.

[16] WAN X G， TURNER A M， VISHWANATH A， et al. Topological semimetal and Fermi-arc surface states in the electronic structure of pyrochlore iridates[J]. Physical Review B， 2011， 83（20）：205101.

[17] NAGAI Y， QI Y， ISOBE H， et al. DMFT reveals the non-Hermitian topology and Fermi arcs in heavy- fermion systems[J]. Physical Review Letters， 2020， 125（22）：227204.

[18] HOU C Y， CHAMON C， MUDRY C. Electron fractionalization in two-dimensional graphenelike structures[J]. Physical Review Letters， 2007， 98（18）：186809.

[19] BAO C H， ZHANG H Y， ZHANG T， et al. Experimental evidence of chiral symmetry breaking in Kekulé-ordered graphene[J]. Physical Review Letters，2021， 126（20）：206804.

[20] FREENEY S， VAN DEN BROEKE J J， HARSVELDVAN DER VEEN A J J， et al. Edge-dependent topology in Kekulé lattices[J]. Physical Review Letters， 2020， 124（23）：236404.

[21] XU QY， LIU F， CHEN C Z， et al. Edge states in a non- Hermitian topological crystalline insulator[J]. Physical Review B， 2022， 105（7）：075411.

[22] SU W P， SCHRIEFFER J R， HEEGER A J. Solitons in polyacetylene[J]. Physical Review Letters， 1979， 42（25）：1698.

（編輯：李曉莉）