楊年西

摘 要：環(huán)具有加法群和乘法群的二元代數(shù)運(yùn)算結(jié)構(gòu)，利用有限莫利秩的群的性質(zhì)具有降鏈條件，與在無(wú)限域上的代數(shù)擴(kuò)張的伽羅瓦理論結(jié)合，來(lái)研究有限莫利秩的無(wú)限域的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)，主要成果為：有限莫利秩的無(wú)限域K，任意a∈K，整數(shù)n＞0，方程xn=a在域K中有解；假設(shè)域K是有限莫利秩的無(wú)限域，那么域K一定是代數(shù)閉域.

關(guān)鍵詞：無(wú)限域；有限莫利秩的群；代數(shù)擴(kuò)域；代數(shù)閉域

模型論是數(shù)理邏輯的分支，與代數(shù)學(xué)聯(lián)系非常密切.近代很多學(xué)者用模型論的方法和理論來(lái)研究其他數(shù)學(xué)學(xué)科，如A. Robinson用模型論的理論開(kāi)創(chuàng)了非標(biāo)準(zhǔn)分析，國(guó)內(nèi)學(xué)者王世強(qiáng)用模型論理論一直研究數(shù)論，試圖用模型論的理論來(lái)證明孿生素?cái)?shù)猜想［1］.模型論主要研究一階邏輯形式語(yǔ)言中的模型完全理論和理論的完全性，而現(xiàn)代模型論熱點(diǎn)研究方向穩(wěn)定理論及其應(yīng)用，ω-穩(wěn)定理論是一階邏輯形式語(yǔ)言中完全性理論的一種特殊形式，有很高的研究?jī)r(jià)值，能夠應(yīng)用于群論、環(huán)論及代數(shù)幾何等基礎(chǔ)數(shù)學(xué)學(xué)科和計(jì)算機(jī)理論中，來(lái)解決其他學(xué)科的一些問(wèn)題.尤其A. Borovik發(fā)現(xiàn)了秩群的結(jié)構(gòu)和ω穩(wěn)定的群結(jié)構(gòu)一致的，隨后學(xué)者Poizat證明了這個(gè)結(jié)論，就稱秩群是有限莫利秩的ω穩(wěn)定的群，簡(jiǎn)稱有限莫利秩的群；類似有限莫利秩的ω穩(wěn)定的環(huán)，簡(jiǎn)稱有限莫利秩的環(huán).伽羅瓦為多項(xiàng)式方程的根解提供新的判別方法，開(kāi)創(chuàng)研究域的結(jié)構(gòu)和域的擴(kuò)張與群論相結(jié)合的方法.本文把有限莫利秩的群研究的理論成果與伽羅瓦理論相結(jié)合，探討有限莫利秩的域的代數(shù)結(jié)構(gòu)和性質(zhì).

1 預(yù)備知識(shí)

二十世紀(jì)初，伽羅瓦的思想和方法才被重視，解決多項(xiàng)式的根解問(wèn)題，如果方程f（x）=0是否有根式解，轉(zhuǎn)化成判別域E對(duì)于域F的擴(kuò)域的伽羅瓦群是否可解.有關(guān)有限莫利秩的群的相關(guān)成果，如有限莫利秩2的群一定是可解群；群G含有最小的有限指數(shù)的確定子群G0，稱子群G0是群G的連通部分，且群G0是群G的正規(guī)子群和連通的分支是唯一的，有限莫利秩的無(wú)限群含有確定的無(wú)限交換子群，K*表示域K的全體非零元素組成乘群，RM（X）表示集合X的莫利秩的數(shù)量.

反證法，假設(shè)K不是代數(shù)閉域，在域K上存在次數(shù)n＞1不可分多項(xiàng)式f（x），設(shè)域L是K的代數(shù)擴(kuò)域，且L是K上的不可分多項(xiàng)式f（x）的分裂域.根據(jù)引理1.4，L：k是有限的.又由引理1.5，RM（K）=RM（L），根據(jù)引理1.6，可知域L和域K都是連通的，且KL，可得域K=L，推出f（x）多項(xiàng)式在域K上可分的.與前提假設(shè)矛盾，即任何次數(shù)大于1的多項(xiàng)式f（x）都是可分的，在域K上不存在代數(shù)擴(kuò)域，即域K是代數(shù)閉域.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 王世強(qiáng).一些4次數(shù)環(huán)的具有Goldbach性質(zhì)的擴(kuò)環(huán)［J］.北京師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2005，41（4）：343345.